Objectif Général 3 — Équations, inéquations et systèmes. Résolution algébrique et graphique des équations et inéquations du premier degré, et des systèmes de deux équations à deux inconnues.
Une équation du premier degré à une inconnue x s'écrit sous la forme ax + b = 0 avec a ≠ 0. Une inéquation du premier degré s'écrit ax + b > 0 (ou <, ≥, ≤).
ax + b = 0 ⟺ ax = −b ⟺ x = −b/a (a ≠ 0). L'équation admet une unique solution.
Pour résoudre ax + b > 0, on isole x :
• Si a > 0 : ax + b > 0 ⟺ x > −b/a (le sens de l'inégalité est conservé).
• Si a < 0 : ax + b > 0 ⟺ x < −b/a (le sens de l'inégalité est inversé car on divise par un nombre négatif).
Équation : 3x − 5 = 7 ⟺ 3x = 12 ⟺ x = 4. S = {4}
Inéquation : −2x + 5 ≤ 1 ⟺ −2x ≤ −4 ⟺ x ≥ 2 (division par −2 : on inverse le sens). S = [2 ; +∞[
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues x et y s'écrit :
{ ax + by = c { a'x + b'y = c'
Résoudre ce système, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations.
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans la seconde équation.
On multiplie chaque équation par un coefficient bien choisi de façon à annuler l'une des deux inconnues par addition ou soustraction membre à membre.
{ 2x + y = 7 { x − y = 2
De la 2ᵉ équation : x = y + 2. On substitue dans la 1ʳᵉ : 2(y+2) + y = 7 ⟺ 3y + 4 = 7 ⟺ y = 1, puis x = 3. S = {(3 ; 1)}
{ 3x + 2y = 12 { 5x − 2y = 4
On additionne membre à membre (les termes en y s'éliminent) : 8x = 16 ⟺ x = 2. En reportant : 3×2 + 2y = 12 ⟺ 2y = 6 ⟺ y = 3. S = {(2 ; 3)}
Chaque équation ax + by = c (b ≠ 0) représente une droite du plan. Résoudre le système revient à chercher les points d'intersection des deux droites associées.
| Position des deux droites | Nombre de solutions du système |
|---|---|
| Sécantes (droites non parallèles) | Une unique solution (le point d'intersection) |
| Strictement parallèles | Aucune solution (système impossible) |
| Confondues (même droite) | Une infinité de solutions |
Les droites d'équations y = 2x + 1 et y = 2x − 3 ont le même coefficient directeur 2 mais des ordonnées à l'origine différentes : elles sont strictement parallèles, le système correspondant n'a aucune solution.
Résoudre dans ℝ l'équation : 3x − 5 = 7.
3x − 5 = 7 ⟺ 3x = 12 ⟺ x = 4
S = {4}
Résoudre dans ℝ l'inéquation : −2x + 5 ≤ 1.
−2x + 5 ≤ 1 ⟺ −2x ≤ −4 ⟺ x ≥ 2 (on divise par −2, le sens s'inverse)
S = [2 ; +∞[
Résoudre le système par substitution :
{ 2x + y = 7 { x − y = 2
De la 2ᵉ équation : x = y + 2. On substitue dans la 1ʳᵉ équation :
2(y + 2) + y = 7 ⟺ 2y + 4 + y = 7 ⟺ 3y = 3 ⟺ y = 1
Puis x = y + 2 = 1 + 2 = 3.
S = {(3 ; 1)}
Résoudre le système par combinaison linéaire :
{ 3x + 2y = 12 { 5x − 2y = 4
En additionnant membre à membre les deux équations, les termes en y s'éliminent :
(3x + 2y) + (5x − 2y) = 12 + 4 ⟺ 8x = 16 ⟺ x = 2
On reporte x = 2 dans la 1ʳᵉ équation : 3×2 + 2y = 12 ⟺ 2y = 6 ⟺ y = 3.
S = {(2 ; 3)}
Un commerçant vend deux types d'articles A et B. Un client achète 3 articles A et 2 articles B pour 2 200 F CFA. Un second client achète 2 articles A et 3 articles B pour 2 300 F CFA.
{ 3a + 2b = 2200 { 2a + 3b = 2300
{ 9a + 6b = 6600 { 4a + 6b = 4600
En soustrayant membre à membre : 5a = 2000, donc a = 400. On reporte dans 3a+2b=2200 : 1200 + 2b = 2200 ⟺ 2b = 1000 ⟺ b = 500.10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La solution de 5x − 10 = 0 est :
Quand on divise les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif :
La solution de l'inéquation −3x + 6 > 0 est :
Le couple (3 ; 1) est-il solution du système {2x+y=7 ; x−y=2} ?
Graphiquement, résoudre un système de deux équations à deux inconnues revient à chercher :
Si les deux droites associées à un système sont strictement parallèles, le système a :
Si les deux droites associées à un système sont confondues, le système a :
Pour le système {3x+2y=12 ; 5x−2y=4}, en additionnant membre à membre on obtient :
La méthode qui consiste à isoler une inconnue dans une équation puis à la remplacer dans l'autre s'appelle :
Dans le problème commercial (3a+2b=2200 ; 2a+3b=2300), le prix a de l'article A vaut :
