Objectif Général 3 — Équations, inéquations et systèmes. Écriture de l'équation d'un cercle connaissant centre et rayon, détermination du centre et du rayon à partir de l'équation développée, représentation paramétrique.
Le cercle C de centre Ω(a ; b) et de rayon r > 0 est l'ensemble des points M(x ; y) tels que ΩM = r.
Comme ΩM = r ⟺ ΩM² = r², le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation :
(x − a)² + (y − b)² = r²
Le cercle de centre Ω(2 ; −1) et de rayon 3 a pour équation : (x − 2)² + (y + 1)² = 9.
Réciproquement, l'équation (x + 3)² + (y − 5)² = 16 est celle du cercle de centre Ω(−3 ; 5) et de rayon r = √16 = 4.
En développant (x − a)² + (y − b)² = r², on obtient une équation de la forme :
x² + y² − 2ax − 2by + c = 0, avec c = a² + b² − r²
À partir de x² + y² − 2ax − 2by + c = 0, on identifie a et b (coefficients de x et y divisés par −2), puis on calcule r² = a² + b² − c.
• Si a² + b² − c > 0 : c'est bien un cercle, de centre Ω(a ; b) et de rayon r = √(a²+b²−c).
• Si a² + b² − c = 0 : l'équation n'est vérifiée que par le point Ω (cercle réduit à un point).
• Si a² + b² − c < 0 : aucun point du plan ne vérifie l'équation (ensemble vide).
Soit l'équation x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0. On regroupe et complète le carré :
(x² − 4x) + (y² + 6y) = 3 (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 = 3 (x − 2)² + (y + 3)² = 16
C'est le cercle de centre Ω(2 ; −3) et de rayon r = 4.
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r admet la représentation paramétrique :
{ x(t) = a + r cos(t) { y(t) = b + r sin(t), t ∈ [0 ; 2π[
Chaque valeur du paramètre t correspond à un point M(t) du cercle ; lorsque t parcourt [0 ; 2π[, M(t) parcourt tout le cercle une seule fois.
Pour le cercle de centre Ω(1 ; 2) et de rayon 5 : x(t) = 1 + 5cos(t), y(t) = 2 + 5sin(t).
Pour t = 0 : M(0) = (1+5 ; 2+0) = (6 ; 2). Pour t = π/2 : M(π/2) = (1+0 ; 2+5) = (1 ; 7).
Écrire l'équation cartésienne réduite du cercle de centre Ω(2 ; −1) et de rayon 3.
D'après la formule (x−a)² + (y−b)² = r², avec a=2, b=−1, r=3 :
(x − 2)² + (y + 1)² = 9
Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation (x + 3)² + (y − 5)² = 16.
On identifie (x−(−3))² + (y−5)² = 4². Le centre est Ω(−3 ; 5) et le rayon est r = 4.
Déterminer, si elle existe, la nature de l'ensemble d'équation x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0, en précisant centre et rayon.
On regroupe les termes en x et en y puis on complète le carré :
(x² − 4x) + (y² + 6y) = 3 (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 = 3 (x − 2)² + (y + 3)² = 16
C'est l'équation d'un cercle de centre Ω(2 ; −3) et de rayon r = 4 (car 16 = 4²).
Soit le cercle de centre Ω(1 ; 2) et de rayon 5.
Étudier l'ensemble des points M(x ; y) vérifiant l'équation x² + y² − 6x + 2y + 10 = 0.
On identifie −2a = −6 donc a = 3, et −2b = 2 donc b = −1, et c = 10. On calcule :
a² + b² − c = 9 + 1 − 10 = 0
Comme a² + b² − c = 0, l'équation n'est vérifiée que par le point Ω(3 ; −1) : ce n'est pas un cercle mais un point unique. On peut le vérifier en complétant le carré :
(x − 3)² + (y + 1)² = 0
Une somme de deux carrés est nulle si et seulement si chaque terme est nul, donc x=3 et y=−1 : un seul point vérifie l'équation.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'équation du cercle de centre Ω(0 ; 0) et de rayon 5 est :
Le cercle d'équation (x−2)²+(y+1)²=9 a pour centre et rayon :
Dans la forme développée x²+y²−2ax−2by+c=0, le rayon au carré vaut :
Si a² + b² − c < 0 dans l'équation développée, l'ensemble des points est :
Le cercle x²+y²−4x+6y−3=0 a pour centre :
Le rayon du cercle x²+y²−4x+6y−3=0 vaut :
Une représentation paramétrique du cercle de centre Ω(a;b) et de rayon r est :
Pour le cercle de centre Ω(1;2), rayon 5, le point M(0) obtenu avec t=0 est :
L'équation (x−3)²+(y+1)²=0 représente :
Le cercle de centre Ω(−3;5) et de rayon 4 a pour équation réduite :
