Objectif Général 3 — Équations, inéquations et systèmes. Régionnement du plan par des inéquations, angles inscrits, angles au centre et polygones réguliers.
Une inéquation du type ax + by + c > 0 (ou <, ≥, ≤) admet pour ensemble de solutions un demi-plan, délimité par la droite (D) d'équation ax + by + c = 0.
1. Tracer la droite frontière (D) : ax + by + c = 0 (en pointillés si l'inégalité est stricte, en trait plein sinon).
2. Choisir un point n'appartenant pas à (D) (souvent l'origine O(0;0) si elle n'est pas sur la droite) et tester s'il vérifie l'inéquation.
3. Si oui, le demi-plan solution est celui contenant ce point ; sinon, c'est l'autre demi-plan.
Pour l'inéquation 2x + y − 4 > 0 : la droite frontière est 2x+y−4=0. On teste O(0;0) : 2×0+0−4 = −4, qui n'est pas > 0. Donc O n'appartient pas au demi-plan solution : la solution est le demi-plan ne contenant pas l'origine.
Résoudre graphiquement un système d'inéquations à deux inconnues, c'est déterminer l'intersection des demi-plans solutions de chaque inéquation. Cette intersection est une région du plan, souvent polygonale.
Le système { x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y ≤ 5 } définit la région triangulaire fermée de sommets O(0;0), A(5;0) et B(0;5) : c'est l'ensemble des points du premier quadrant situés sous la droite x+y=5.
Dans un cercle de centre O : un angle au centre a pour sommet O ; un angle inscrit a son sommet sur le cercle et ses côtés passent par deux autres points du cercle.
Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors :
angle au centre = 2 × angle inscrit
Conséquence : deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.
Si un angle inscrit mesure 35°, l'angle au centre qui intercepte le même arc mesure 2 × 35° = 70°.
Cas particulier : si [BC] est un diamètre, l'angle au centre BOC = 180°, donc tout angle inscrit BAC interceptant l'arc BC mesure 90° : le triangle ABC est rectangle en A.
Un polygone régulier à n côtés (n ≥ 3) a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure ; il est inscriptible dans un cercle.
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Angle au centre (entre deux rayons consécutifs) | 360° / n |
| Somme des angles intérieurs | (n − 2) × 180° |
| Angle intérieur (mesure de chaque angle) | (n − 2) × 180° / n |
Pour un hexagone régulier (n=6) : angle au centre = 360°/6 = 60° ; angle intérieur = (6−2)×180°/6 = 720°/6 = 120°.
On considère l'inéquation 2x + y − 4 > 0. Les points A(0 ; 0) et B(3 ; 3) appartiennent-ils au demi-plan solution ?
Pour A(0;0) : 2×0+0−4 = −4, qui n'est pas > 0 : A n'appartient pas au demi-plan solution.
Pour B(3;3) : 2×3+3−4 = 5, qui est > 0 : B appartient au demi-plan solution.
Dans un cercle de centre O, un angle inscrit interceptant l'arc AB mesure 35°. Calculer la mesure de l'angle au centre AOB interceptant le même arc.
D'après le théorème de l'angle inscrit, angle au centre = 2 × angle inscrit :
angle AOB = 2 × 35° = 70°
Décrire la région du plan définie par le système { x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y ≤ 5 } et donner les coordonnées de ses sommets.
x ≥ 0 et y ≥ 0 restreignent au premier quadrant. x + y ≤ 5 restreint sous la droite d'équation x+y=5 (qui coupe les axes en (5;0) et (0;5)).
La région est donc le triangle fermé de sommets O(0;0), A(5;0) et B(0;5).
Calculer l'angle au centre et l'angle intérieur d'un hexagone régulier (n = 6).
Angle au centre = 360°/n = 360°/6 = 60°.
Angle intérieur = (n−2)×180°/n = (6−2)×180°/6 = 720°/6 = 120°.
Soit un cercle de centre O et [BC] un diamètre. A est un point du cercle distinct de B et C.
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L'ensemble des solutions de ax+by+c>0 est :
Pour l'inéquation 2x+y−4>0, le point O(0;0) vérifie-t-il l'inéquation ?
Le système {x≥0 ; y≥0 ; x+y≤5} définit une région dont les sommets sont :
Le théorème de l'angle inscrit énonce que :
Un angle inscrit interceptant un arc mesure 35°. L'angle au centre interceptant le même arc mesure :
Un angle inscrit interceptant un diamètre mesure :
L'angle au centre d'un polygone régulier à n côtés vaut :
L'angle intérieur d'un hexagone régulier (n=6) vaut :
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc :
Résoudre graphiquement un système de deux inéquations à deux inconnues revient à :
