Objectif Général 3 — Équations, inéquations et systèmes. Discriminant et résolution des équations du second degré, systèmes symétriques, inéquations du second degré, équations et inéquations irrationnelles.
Une équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On appelle discriminant le nombre :
Δ = b² − 4ac
| Signe de Δ | Nombre de solutions réelles | Formules |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Deux solutions distinctes | x₁ = (−b−√Δ)/(2a) ; x₂ = (−b+√Δ)/(2a) |
| Δ = 0 | Une solution double | x₀ = −b/(2a) |
| Δ < 0 | Aucune solution réelle | — |
Résoudre x² − 5x + 6 = 0 : a=1, b=−5, c=6. Δ = 25 − 24 = 1 > 0.
x = (5 ± 1) / 2 ⟹ x₁ = 2 et x₂ = 3
Deux nombres x et y vérifiant x + y = S et xy = P sont les solutions de l'équation du second degré :
t² − St + P = 0
Trouver deux nombres dont la somme est 7 et le produit 12. On résout t² − 7t + 12 = 0 : Δ = 49 − 48 = 1.
t = (7 ± 1) / 2 ⟹ t = 4 ou t = 3
Les deux nombres cherchés sont 3 et 4 (vérification : 3+4=7 et 3×4=12).
Si Δ > 0, le trinôme ax²+bx+c admet deux racines x₁ < x₂. Il est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé à a entre les racines.
Si Δ = 0, le trinôme est toujours du signe de a (sauf en x₀ où il s'annule). Si Δ < 0, le trinôme est toujours du signe de a, sans jamais s'annuler.
Résoudre x² − 5x + 6 > 0. Les racines sont 2 et 3 (a=1>0). Le trinôme est positif à l'extérieur des racines :
S = ]−∞ ; 2[ ∪ ]3 ; +∞[
1. Poser la condition d'existence A ≥ 0. 2. Poser la condition B ≥ 0 (car une racine carrée est toujours positive ou nulle). 3. Élever au carré : A = B². 4. Résoudre, puis vérifier que les solutions respectent les conditions posées (racines étrangères possibles).
Il faut A ≥ 0 (domaine) et B ≥ 0 (sinon impossible car √A ≥ 0), puis on élève au carré : A ≤ B², en tenant compte du domaine.
Résoudre √(x+3) = x−3. Conditions : x+3≥0 (x≥−3) et x−3≥0 (x≥3). On élève au carré :
x+3 = (x−3)² = x² − 6x + 9 ⟺ x² − 7x + 6 = 0
Δ = 49−24 = 25, x = (7±5)/2 ⟹ x=6 ou x=1. Seul x=6 vérifie x≥3 (x=1 est une racine étrangère à rejeter). S = {6}.
Résoudre dans ℝ l'équation x² − 5x + 6 = 0.
a=1, b=−5, c=6. Δ = (−5)² − 4×1×6 = 25 − 24 = 1 > 0.
x = (5 ± 1) / 2 ⟹ x₁ = 2, x₂ = 3
S = {2 ; 3}
Trouver deux nombres réels dont la somme vaut 7 et le produit 12.
Les deux nombres sont solutions de t² − 7t + 12 = 0. Δ = 49 − 48 = 1.
t = (7 ± 1) / 2 ⟹ t = 3 ou t = 4
Les deux nombres cherchés sont 3 et 4.
Résoudre dans ℝ l'inéquation x² − 5x + 6 > 0.
Les racines du trinôme sont 2 et 3 (calculées à l'exercice 1). Comme a=1>0, le trinôme est positif à l'extérieur des racines :
S = ]−∞ ; 2[ ∪ ]3 ; +∞[
Résoudre dans ℝ l'équation √(x + 3) = x − 3.
Conditions : x+3 ≥ 0 (soit x ≥ −3) et x−3 ≥ 0 (soit x ≥ 3, car le membre de droite doit être ≥ 0 comme une racine carrée).
On élève au carré : x+3 = (x−3)² = x²−6x+9 ⟺ x²−7x+6 = 0. Δ = 49−24 = 25, √Δ=5.
x = (7 ± 5) / 2 ⟹ x = 6 ou x = 1
Seul x=6 respecte la condition x≥3 (x=1 est une racine étrangère à rejeter). S = {6}.
Résoudre dans ℝ l'inéquation √(2x − 1) ≤ x − 1.
Domaine d'existence : 2x−1 ≥ 0 ⟺ x ≥ 1/2. De plus, le membre de gauche est toujours ≥ 0, donc il faut nécessairement x−1 ≥ 0, soit x ≥ 1 (condition plus restrictive que le domaine).
Sous cette condition, les deux membres sont positifs, on peut élever au carré sans changer le sens :
2x − 1 ≤ (x−1)² = x² − 2x + 1 ⟺ x² − 4x + 2 ≥ 0
Δ = 16 − 8 = 8, √Δ = 2√2. Racines : x = (4 ± 2√2)/2 = 2 ± √2.
Le trinôme (a=1>0) est positif à l'extérieur des racines : x ≤ 2−√2 ou x ≥ 2+√2. En combinant avec la condition x ≥ 1 (et comme 2−√2 ≈ 0,586 < 1), seule la branche x ≥ 2+√2 convient.
S = [2+√2 ; +∞[ (soit environ [3,41 ; +∞[).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le discriminant de ax²+bx+c=0 est :
Si Δ < 0, l'équation ax²+bx+c=0 admet :
Les solutions de x²−5x+6=0 sont :
Si x+y=S et xy=P, alors x et y sont solutions de :
Deux nombres de somme 7 et produit 12 sont :
Entre les deux racines (Δ>0), le trinôme ax²+bx+c est du signe :
La solution de x²−5x+6>0 est :
Pour résoudre √A=B, il faut avant tout poser les conditions :
En résolvant √(x+3)=x−3, on trouve x=1 ou x=6. Que dire de x=1 ?
La solution de l'inéquation √(2x−1) ≤ x−1 est :
