Objectif Général 4 — Trigonométrie et fonctions. Plan orienté, cercle trigonométrique et mesures (principale et générale) d'un angle orienté.
Orienter le plan, c'est choisir un sens de rotation comme sens positif. Par convention, le sens direct (ou sens trigonométrique) est le sens contraire des aiguilles d'une montre. Le sens contraire (celui des aiguilles d'une montre) est le sens indirect.
Sur une horloge, l'aiguille des minutes tourne dans le sens indirect (sens horaire). Un point qui tourne « à l'envers » d'une montre tourne dans le sens direct.
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O (origine du repère) et de rayon 1, orienté dans le sens direct. Il permet d'associer à tout nombre réel x un unique point M du cercle, appelé point image de x.
Sur le cercle trigonométrique, en partant du point I(1;0) et en parcourant une longueur d'arc x dans le sens direct (si x>0) ou indirect (si x<0), on obtient le point M associé au réel x. Les coordonnées de M sont (cos x ; sin x).
Le point associé à x = π/2 est J(0;1) (quart de tour direct). Le point associé à x = π est (−1;0) (demi-tour).
Le radian est l'unité naturelle de mesure des angles associée au cercle trigonométrique. La relation fondamentale est :
π rad = 180°
D'où, pour convertir : radians = degrés × π/180, et degrés = radians × 180/π.
Un angle orienté (u⃗ ; v⃗) possède une infinité de mesures, toutes de la forme :
θ + 2kπ, k ∈ ℤ
où θ est une mesure quelconque. Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l'intervalle ]−π ; π] : on l'appelle la mesure principale de l'angle.
45° = 45 × π/180 = π/4 rad. Réciproquement, 3π/2 rad = 3π/2 × 180/π = 270°.
Les mesures de l'angle de mesure principale π/3 sont tous les réels π/3 + 2kπ, k∈ℤ (soit …, π/3−2π=−5π/3, π/3, π/3+2π=7π/3, …).
Convertir 45° en radians, puis 3π/2 rad en degrés.
45° = 45 × π/180 = π/4 rad.
3π/2 rad = (3π/2) × 180/π = 3×180/2 = 270°.
Sur le cercle trigonométrique, on part du point I(1;0) et on tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Dans quel sens tourne-t-on ? Ce sens est-il positif ou négatif ?
Tourner dans le sens contraire des aiguilles d'une montre correspond au sens direct (sens trigonométrique), qui est le sens positif par convention.
Déterminer la mesure principale de l'angle dont une mesure est 17π/3.
On cherche k∈ℤ tel que 17π/3 − 2kπ appartienne à ]−π ; π]. On écrit 2kπ = 6kπ/3 :
17π/3 − 18π/3 = −π/3 (avec k = 3)
Comme −π/3 ∈ ]−π ; π], la mesure principale est −π/3.
Donner les coordonnées du point M associé au réel x = 2π/3 sur le cercle trigonométrique (on donne cos(2π/3) = −1/2 et sin(2π/3) = √3/2).
Le point M associé à x a pour coordonnées (cos x ; sin x). Pour x = 2π/3 :
M(−1/2 ; √3/2)
La mesure principale d'un angle orienté est 2π/3.
3π − 2π/3 ≤ 2kπ ≤ 5π − 2π/3 7π/3 ≤ 2kπ ≤ 13π/3
En divisant par 2π : 7/6 ≤ k ≤ 13/6, soit environ 1,17 ≤ k ≤ 2,17. Le seul entier convenant est k = 2.La mesure cherchée est 2π/3 + 4π = 2π/3 + 12π/3 = 14π/3 (on vérifie bien 3π=9π/3 ≤ 14π/3 ≤ 15π/3=5π).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le sens direct (trigonométrique) correspond au sens :
Le cercle trigonométrique a pour rayon :
La relation entre radians et degrés est :
45° convertis en radians donnent :
Sur le cercle trigonométrique, le point image de x a pour coordonnées :
Toutes les mesures d'un angle orienté de mesure principale θ sont de la forme :
La mesure principale d'un angle orienté appartient à l'intervalle :
La mesure principale de l'angle dont une mesure est 17π/3 est :
3π/2 rad convertis en degrés donnent :
Le point image de x = π sur le cercle trigonométrique est :
