Objectif Général 1 — Calculs numériques. Valeurs approchées, encadrements, ordre de grandeur.
Une valeur approchée par défaut à 10⁻ⁿ près d'un nombre x est le plus grand décimal ayant n chiffres après la virgule qui soit inférieur ou égal à x. La valeur approchée par excès est le plus petit décimal supérieur ou égal à x.
Arrondir un nombre à un rang donné, c'est choisir la valeur approchée (par défaut ou excès) la plus proche à ce rang.
On regarde le chiffre juste après le rang souhaité :
• s'il est inférieur à 5 : on garde le chiffre du rang (arrondi par défaut)
• s'il est supérieur ou égal à 5 : on augmente le chiffre du rang d'une unité (arrondi par excès)
Arrondi à l'unité : le chiffre des dixièmes est 3 (<5) → 7
Arrondi au dixième : le chiffre des centièmes est 8 (≥5) → 7,4
Arrondi au centième : le chiffre des millièmes est 6 (≥5) → 7,39
Un encadrement d'un nombre x est un couple de deux nombres a et b tels que a ≤ x ≤ b.
Erreur absolue = |valeur exacte − valeur approchée|. Erreur relative = erreur absolue / |valeur exacte| (souvent exprimée en %). L'erreur relative permet de juger la qualité d'une mesure, quelle que soit sa grandeur — c'est l'indicateur utilisé en gestion commerciale pour évaluer la précision d'un inventaire ou d'une pesée.
Encadrement de π à 10⁻² près : 3,14 < π < 3,15
Une balance affiche 15,25 cm pour une pièce mesurant exactement 15,3 cm. Erreur absolue = |15,3 − 15,25| = 0,05 cm. Erreur relative = 0,05 / 15,3 ≈ 0,00327 ≈ 0,33 %.
L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Méthode : on écrit le nombre en notation scientifique a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10), puis on arrondit a à 1 ou à 10 : si a < 5, l'ordre de grandeur est 10ⁿ ; si a ≥ 5, l'ordre de grandeur est 10ⁿ⁺¹.
4 850 000 = 4,85 × 10⁶ ; 4,85 < 5 → ordre de grandeur = 10⁶
720 = 7,2 × 10² ; 7,2 ≥ 5 → ordre de grandeur = 10³
0,000068 = 6,8 × 10⁻⁵ ; 6,8 ≥ 5 → ordre de grandeur = 10⁻⁴
Donner l'arrondi de 7,3861 : a) à l'unité b) au dixième c) au centième.
Sachant que π = 3,14159265…, donner un encadrement de π d'amplitude 10⁻³ puis d'amplitude 10⁻⁴.
À 10⁻³ près : 3,141 < π < 3,142
À 10⁻⁴ près : 3,1415 < π < 3,1416
Une balance commerciale affiche une masse de 12,5 kg pour un sac dont la masse réelle est 12,458 kg. Calculer l'erreur absolue puis l'erreur relative (arrondie au centième de %).
Erreur absolue = |12,5 − 12,458| = 0,042 kg
Erreur relative = 0,042 / 12,458 ≈ 0,003371 ≈ 0,34 %
Donner l'ordre de grandeur de : a) 4 850 000 b) 720 c) 0,000068
Un commerçant estime son stock à environ 50 000 articles, avec une précision de ± 3 %.
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L'arrondi de 7,386 à l'unité est :
L'arrondi de 7,386 au dixième est :
L'encadrement de π à 10⁻² près est :
Une pièce mesure exactement 15,3 cm mais est mesurée à 15,25 cm. L'erreur absolue est :
Dans la situation précédente, l'erreur relative (arrondie au centième de %) est environ :
L'ordre de grandeur de 4 850 000 est :
L'ordre de grandeur de 720 est :
L'ordre de grandeur de 0,000068 est :
Un commerçant estime son stock à 50 000 articles ± 3 %. La marge d'erreur en nombre d'articles est :
Pour arrondir un nombre à un rang donné, on augmente le chiffre de ce rang d'une unité lorsque le chiffre suivant est :
