Objectif Général 2 — Équations et systèmes. Résolution algébrique, représentation sur la droite numérique.
Une équation du premier degré à une inconnue s'écrit ax + b = 0 avec a ≠ 0. Elle admet une unique solution : x = −b/a.
On peut ajouter/soustraire un même nombre aux deux membres, et multiplier/diviser les deux membres par un même nombre NON NUL, sans changer l'ensemble des solutions.
3x − 7 = 11 → 3x = 18 → x = 6 (vérification : 3×6−7 = 11 ✓).
2(x+3) = 10 → 2x+6 = 10 → 2x = 4 → x = 2.
Une inéquation du premier degré s'écrit ax + b > 0 (ou <, ≥, ≤). Résoudre l'inéquation, c'est trouver l'ensemble des valeurs de x qui la vérifient.
On peut ajouter/soustraire librement aux deux membres. On peut multiplier/diviser par un nombre POSITIF sans changer le sens de l'inégalité. Mais si on multiplie ou divise par un nombre NÉGATIF, il faut CHANGER LE SENS de l'inégalité.
2x−3 > 7 → 2x > 10 → x > 5, solution ]5,+∞[.
−3x+6 ≤ 0 → −3x ≤ −6 → x ≥ 2 (on a divisé par −3, donc on change le sens ≤ en ≥), solution [2,+∞[.
Notations d'intervalles : ]a,+∞[ signifie x>a ; [a,+∞[ signifie x≥a ; ]−∞,a[ signifie x<a ; ]−∞,a] signifie x≤a ; [a,b] signifie a≤x≤b. Un crochet tourné vers l'intérieur (fermé) signifie que la borne est incluse ; tourné vers l'extérieur (ouvert), la borne est exclue.
L'ensemble solution −6 ≤ x < 6 s'écrit en intervalle [−6, 6[.
Résoudre : a) 5x−3=12 b) −4x+9=1 c) 2(x+3)=10
Résoudre : a) 3x−1>8 b) −2x+5≥1 c) x/2−3<1
Résoudre 4x−3=2x+7, puis −3(x−2)≥2x+1
4x−3=2x+7 → 4x−2x=7+3 → 2x=10 → x=5 (vérif : 4×5−3=17=2×5+7 ✓).
−3(x−2)≥2x+1 → −3x+6≥2x+1 → 5≥5x → x≤1
Un commerçant vend un article à un prix x (FCFA). Ses charges fixes mensuelles sont 150000 FCFA, il vend en moyenne 40 articles/mois, coût de revient 2000 FCFA/article. Pour être bénéficiaire, il faut 40x − (150000+40×2000) > 0. Résoudre pour trouver le prix minimal (à l'entier FCFA supérieur).
40x − 230000 > 0 → 40x > 230000 → x > 5750. Le commerçant doit vendre à un prix strictement supérieur à 5750 FCFA, donc au minimum 5751 FCFA.
Résoudre et donner l'intervalle solution de : 2x−5 ≤ 3x+1 ET −x+4 > −2.
1re inéquation : 2x−5≤3x+1 → −6≤x → x≥−6.
2e inéquation : −x+4>−2 → −x>−6 → x<6 (division par −1, on change le sens).
Solution commune : [−6, 6[
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Solution de 5x−3=12 :
Solution de −4x+9=1 :
Solution de 3x−1>8 :
Solution de −2x+5≥1 :
Solution de 4x−3=2x+7 :
Solution de −3(x−2)≥2x+1 :
Quand on multiplie ou divise une inéquation par un nombre négatif, il faut :
L'ensemble solution de x≥−6 et x<6 est :
Un commerçant doit vendre à un prix x tel que 40x−230000>0. Le prix minimal (entier FCFA) est :
Résoudre 2(x+3)=10 donne x =
