Objectif Général 2 — Équations et systèmes. Résolution algébrique et graphique de systèmes à deux inconnues.
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues x et y s'écrit :
{ ax + by = c { a'x + b'y = c'
Résoudre ce système, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations.
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans la seconde équation. On obtient une équation à une seule inconnue.
On multiplie chaque équation par un nombre choisi pour que les coefficients d'une même inconnue soient opposés, puis on additionne les deux équations pour éliminer cette inconnue.
Résoudre { 2x + 3y = 13 ; x − y = 1 }.
On multiplie la 2ᵉ équation par 3 : 3x − 3y = 3. On additionne à la 1ʳᵉ : (2x+3y) + (3x−3y) = 13 + 3, soit 5x = 16...
Astuce plus simple ici : de x − y = 1 on tire x = y + 1. On remplace dans la 1ʳᵉ : 2(y+1) + 3y = 13, soit 2y + 2 + 3y = 13, donc 5y = 11, y = 11/5. Puis x = 11/5 + 1 = 16/5.
Solution : (16/5 ; 11/5). Vérification : 2×(16/5)+3×(11/5) = 32/5+33/5 = 65/5 = 13 ✓ et 16/5 − 11/5 = 5/5 = 1 ✓.
Chaque équation linéaire représente une droite. Le couple solution du système correspond au point d'intersection des deux droites (s'il existe).
| Position des droites | Nombre de solutions |
|---|---|
| Sécantes (non parallèles) | Une seule solution (le point d'intersection) |
| Parallèles distinctes | Aucune solution |
| Confondues (même droite) | Une infinité de solutions |
Une inéquation linéaire telle que ax + by ≤ c délimite un demi-plan dont la frontière est la droite d'équation ax + by = c.
Une entreprise produit x objets de type A et y objets de type B, avec les contraintes x ≥ 0, y ≥ 0 et 2x + y ≤ 20 (contrainte de matière première).
On teste (0;0) dans 2x+y≤20 : 2×0+0 = 0 ≤ 20 ✓. Le demi-plan solution contient donc l'origine. La zone des solutions réalisables est la région du premier quadrant (x≥0, y≥0) sous la droite d'équation 2x+y=20.
Résoudre le système : { y = 2x − 1 ; 3x + y = 9 }
On remplace y par 2x−1 dans la 2ᵉ équation : 3x + (2x−1) = 9, soit 5x − 1 = 9, donc 5x = 10, x = 2.
On calcule y = 2×2 − 1 = 3.
Solution : (2 ; 3). Vérification : 3×2+3 = 9 ✓.
Résoudre le système : { x + y = 7 ; x − y = 1 }
On additionne les deux équations : (x+y)+(x−y) = 7+1, soit 2x = 8, donc x = 4.
On remplace dans la 1ʳᵉ équation : 4 + y = 7, donc y = 3.
Solution : (4 ; 3).
Résoudre le système : { 3x + 2y = 16 ; 2x − y = 6 }
On multiplie la 2ᵉ équation par 2 pour aligner les coefficients de y : 4x − 2y = 12.
On additionne à la 1ʳᵉ équation : (3x+2y)+(4x−2y) = 16+12, soit 7x = 28, donc x = 4.
On remplace dans 2x − y = 6 : 8 − y = 6, donc y = 2.
Solution : (4 ; 2). Vérification : 3×4+2×2 = 12+4 = 16 ✓.
On considère les contraintes : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 10.
Une boutique vend des paniers de deux types : x paniers « Économique » et y paniers « Premium ». Elle dispose de 60 kg de fruits et chaque panier Économique utilise 2 kg de fruits, chaque panier Premium utilise 3 kg de fruits.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Résoudre un système, c'est trouver :
Système { y = x + 1 ; x + y = 5 }. La valeur de x est :
Graphiquement, la solution d'un système de 2 équations à 2 inconnues correspond à :
Si les deux droites d'un système sont parallèles et distinctes, le système a :
Si les deux droites d'un système sont confondues, le système a :
L'inéquation 2x + y ≤ 10 délimite dans le plan :
Le point (0 ; 0) vérifie-t-il l'inéquation x + y ≤ 10 ?
Système { x − y = 1 ; x + y = 7 }. La solution est :
L'ensemble des solutions d'un système d'inéquations linéaires est :
Pour éliminer une inconnue par combinaison, on choisit de multiplier les équations pour que :
