Ch. 08 Mathématiques · 2nde Commerciale (SG1/SH1)

Équations et inéquations du second degré dans R

Objectif Général 3 — Fonctions et dénombrement. Discriminant, formule de résolution, signe du trinôme.

1. Discriminant et résolution de ax²+bx+c=0

Définition

Une équation du second degré s'écrit ax²+bx+c=0 avec a≠0. Le discriminant est Δ = b²−4ac.

Formule de résolution

Si Δ>0 : deux solutions distinctes x₁=(−b−√Δ)/(2a) et x₂=(−b+√Δ)/(2a).

Si Δ=0 : une solution double x₀=−b/(2a).

Si Δ<0 : aucune solution réelle.

Exemples résolus

x²−5x+6=0 : Δ=25−24=1>0, x=(5±1)/2 → x₁=2, x₂=3.

2x²−4x+2=0 : Δ=16−16=0, x₀=4/4=1.

x²+x+1=0 : Δ=1−4=−3<0, aucune solution réelle.

2. Signe du trinôme

Règle du signe

Si Δ>0 (racines x₁<x₂) : le trinôme ax²+bx+c est du signe de a à l'EXTÉRIEUR de [x₁,x₂], et du signe OPPOSÉ à a ENTRE x₁ et x₂.

Si Δ≤0 : le trinôme garde toujours le signe de a sur R (il s'annule seulement en la racine double si Δ=0).

Exemple résolu

x²−5x+6 (a=1>0, racines 2 et 3) : positif pour x<2 ou x>3, négatif pour 2<x<3.

3. Résoudre une inéquation du second degré

Méthode

Pour résoudre ax²+bx+c>0 (ou <, ≥, ≤), on calcule Δ, on détermine les racines éventuelles, puis on étudie le signe du trinôme à l'aide de la règle ci-dessus.

Exemples résolus

x²−5x+6≤0 → solution [2,3].

−2x²+8x−6>0 : en divisant par −2 (on change le sens de l'inégalité), x²−4x+3<0, Δ=16−12=4, racines 1 et 3 (a=1>0, négatif entre les racines), solution ]1,3[.

🧠 À retenir absolument

Δ=b²−4ac ; Δ>0 → 2 solutions ; Δ=0 → 1 solution double ; Δ<0 → aucune solution réelle
x=(−b±√Δ)/(2a) si Δ>0 ; x₀=−b/(2a) si Δ=0
Si Δ>0 : trinôme du signe de a à l'extérieur des racines, signe opposé entre les racines
Si Δ≤0 : trinôme toujours du signe de a sur R

Résoudre des équations du second degré

● Facile

Résoudre :

x²−7x+12=0
x²−4x+4=0
x²+2x+5=0 (préciser le nombre de solutions réelles)

✅ Correction

Δ=49−48=1, x=(7±1)/2 → x=4 ou x=3.
Δ=16−16=0, solution double x=4/2=2.
Δ=4−20=−16<0, aucune solution réelle.

Calculer un discriminant

● Facile

Calculer le discriminant et donner le nombre de racines réelles de :

2x²−3x−2
9x²−6x+1
x²+x+3

✅ Correction

Δ=9−4×2×(−2)=9+16=25>0 → 2 racines réelles.
Δ=36−4×9×1=36−36=0 → 1 racine double.
Δ=1−12=−11<0 → aucune racine réelle.

Résoudre à l'aide du discriminant

● Moyen

Résoudre l'équation 2x²−3x−2=0 (on a trouvé Δ=25 à l'exercice 2a).

✅ Correction

x=(3±√25)/(2×2)=(3±5)/4.

x₁=(3+5)/4=2. x₂=(3−5)/4=−0,5.

Vérification : 2×2²−3×2−2=8−6−2=0 ✓ ; 2×(−0,5)²−3×(−0,5)−2=0,5+1,5−2=0 ✓.

Application commerciale : étude d'un bénéfice

● Moyen

Le bénéfice B(x) (en milliers de FCFA) d'une entreprise en fonction du nombre x (en centaines) d'articles vendus est B(x)=−x²+10x−16.

Résoudre B(x)=0.
En déduire, à l'aide du signe du trinôme, pour quelles valeurs de x l'entreprise réalise un bénéfice strictement positif.

✅ Correction

Δ=100−4×(−1)×(−16)=100−64=36>0. x=(−10±6)/(2×(−1))=(−10±6)/(−2). x₁=(−10+6)/(−2)=2, x₂=(−10−6)/(−2)=8.
Comme a=−1<0, le trinôme est positif ENTRE les racines : B(x)>0 pour x∈]2,8[, soit entre 200 et 800 articles vendus.

Signe d'un trinôme et inéquations

● Difficile

Étudier le signe de f(x)=x²−5x+6 puis résoudre x²−5x+6≤0.
Résoudre −2x²+8x−6>0.

✅ Correction

Racines 2 et 3 (a=1>0) : f(x)≥0 pour x≤2 ou x≥3 ; f(x)≤0 pour x∈[2,3]. Solution de f(x)≤0 : [2,3].
On divise par −2 (le sens de l'inégalité change) : x²−4x+3<0. Δ=16−12=4, racines (4±2)/2 = 3 et 1. Comme a=1>0, x²−4x+3<0 entre les racines : solution ]1,3[.

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Le discriminant de ax²+bx+c est :

Question 2 / 10

Si Δ>0, l'équation ax²+bx+c=0 admet :

Question 3 / 10

Le discriminant de x²−7x+12 est :

Question 4 / 10

Les solutions de x²−7x+12=0 sont :

Question 5 / 10

Si Δ=0, l'équation ax²+bx+c=0 admet :

Question 6 / 10

Le discriminant de x²+x+3 est :

Question 7 / 10

Si a>0 et Δ>0 (racines x₁<x₂), le trinôme est négatif :

Question 8 / 10

Solution de x²−5x+6≤0 :

Question 9 / 10

Une entreprise a un bénéfice B(x)=−x²+10x−16 (x en centaines d'articles). Le bénéfice est strictement positif pour :

Question 10 / 10

L'ensemble solution de −2x²+8x−6>0 est :