Objectif Général 3 — Fonctions et dénombrement. Ensemble de définition, sens de variation, tableau de variation, courbe représentative et lecture graphique.
Une fonction numérique f définie sur un ensemble D associe à chaque réel x de D un unique réel noté f(x), appelé image de x par f. On dit alors que x est un antécédent de f(x) par f.
L'ensemble de définition Df de f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe (c'est-à-dire pour lesquels le calcul de f(x) est possible).
• Une fonction polynôme (comme 2x+3 ou x²−4x+3) est définie sur R tout entier.
• Une fonction avec un quotient n'est pas définie quand le dénominateur s'annule.
• Une fonction avec une racine carrée n'est définie que si l'expression sous la racine est positive ou nulle.
f(x) = 2x+3 : fonction polynôme, Df = R. On a f(2) = 2×2+3 = 7 : 7 est l'image de 2, et 2 est un antécédent de 7.
g(x) = 1/(x−2) : il faut x−2≠0, donc x≠2. Df = R\{2}. g(5) = 1/(5−2) = 1/3.
h(x) = √(x−1) : il faut x−1≥0, donc x≥1. Df = [1,+∞[.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est croissante sur I si, pour tous réels a et b de I : a < b ⟹ f(a) ≤ f(b) (les images augmentent ou restent égales quand x augmente).
f est décroissante sur I si, pour tous réels a et b de I : a < b ⟹ f(a) ≥ f(b) (les images diminuent ou restent égales quand x augmente).
Pour a et b dans I avec a < b, on calcule la différence f(b) − f(a) :
• si f(b) − f(a) > 0 pour tout a < b, alors f est croissante sur I ;
• si f(b) − f(a) < 0 pour tout a < b, alors f est décroissante sur I.
f(x) = 2x+3 : pour a < b, f(b) − f(a) = (2b+3) − (2a+3) = 2(b−a). Comme b−a>0, f(b)−f(a)>0 : f est croissante sur R.
f(x) = −3x+7 : pour a < b, f(b) − f(a) = −3(b−a) < 0 : f est décroissante sur R.
f(x) = x² : on observe f(−3)=9 et f(−1)=1 (les images diminuent quand x augmente sur les négatifs, f est décroissante sur ]−∞,0]), puis f(1)=1 et f(3)=9 (les images augmentent, f est croissante sur [0,+∞[).
Le tableau de variation résume, sur une seule ligne pour x et une pour f(x), les intervalles où f est croissante (flèche vers le haut ↗) ou décroissante (flèche vers le bas ↘), ainsi que les valeurs extrêmes (minimum ou maximum) atteintes par f.
Soit f(x) = x²−4x+3. Cette fonction admet un minimum au sommet de sa courbe, atteint en x₀ = −b/(2a) = 4/(2×1) = 2. On calcule f(2) = 4−8+3 = −1. Comme a=1>0, f est décroissante avant 2 puis croissante après 2.
| x | −∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Variations de f | ↘ | −1 (minimum) | ↗ | ||
On lit sur ce tableau : f est décroissante sur ]−∞,2] et croissante sur [2,+∞[, avec un minimum égal à −1 atteint en x=2.
Dans un repère, la courbe représentative Cf d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) pour x décrivant Df.
• Pour lire l'image d'un réel a : on trace la droite verticale d'équation x=a jusqu'à la courbe Cf, puis on lit l'ordonnée du point d'intersection obtenu.
• Pour lire les antécédents d'un réel b : on trace la droite horizontale d'équation y=b, et on relève les abscisses de tous les points d'intersection avec Cf. Un réel peut ainsi avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.
Sur la courbe de f(x)=x²−4x+3, le point de la courbe d'abscisse 0 a pour ordonnée f(0)=3 : l'image de 0 est donc 3. La droite y=3 coupe la courbe en deux points d'abscisses 0 et 4 (car f(0)=3 et f(4)=16−16+3=3) : 3 admet donc deux antécédents, 0 et 4.
Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
On considère f(x) = x²−3x+2.
Soit f(x) = −3x+7. Démontrer, à l'aide du signe de f(b)−f(a), que f est décroissante sur R.
Soit a et b deux réels quelconques avec a < b.
f(b) − f(a) = (−3b+7) − (−3a+7) = −3b+3a = −3(b−a).
Comme a < b, on a b−a > 0, donc −3(b−a) < 0, c'est-à-dire f(b) − f(a) < 0, soit f(b) < f(a).
Ceci est vrai pour tous a < b réels, donc f est décroissante sur R.
Le coût de production C(x) (en milliers de FCFA) d'une entreprise, pour x dizaines de produits fabriqués (x∈[0,10]), est donné par C(x) = 0,5x²−4x+20.
On donne le tableau de valeurs suivant d'une fonction g :
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | 11 | 5 | 1 | −1 | −1 | 1 | 5 | 11 |
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble de définition de f(x) = 1/(x−2) est :
L'ensemble de définition de g(x) = √(2x−6) est :
Si f(3) = 7, alors :
Une fonction f est croissante sur un intervalle I signifie que, pour tous a et b de I :
Le sens de variation de f(x) = −3x+7 sur R est :
Pour C(x) = 0,5x²−4x+20, le minimum sur [0,10] est atteint en :
La valeur minimale de C(x) = 0,5x²−4x+20 (atteinte en x=4) est :
D'après un tableau de valeurs où g(0)=−1 et g(1)=−1, les antécédents de −1 par g sont :
Pour lire graphiquement l'image d'un réel a sur la courbe Cf, on trace :
Un réel b peut avoir, sur la courbe d'une fonction :
