Ch. 03 Mathématiques · 2nde Industrielle (STI)

Valeur absolue dans R

Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Définition, propriétés, équations et inéquations avec valeur absolue.

1. Définition et propriétés

Définition

La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, est définie par :

|x| = x si x \geq 0 |x| = -x si x < 0

Autrement dit, |x| est toujours le nombre positif obtenu en « effaçant » le signe de x.

Propriétés fondamentales

• |x| ≥ 0 pour tout x, et |x| = 0 ⟺ x = 0

• |−x| = |x| (symétrie)

• |x|² = x² et √(x²) = |x| (attention : pas x !)

• |x × y| = |x| × |y| et |x / y| = |x| / |y| (y ≠ 0)

• Inégalité triangulaire : |x + y| ≤ |x| + |y|

Exemples

|−7| = 7 ; |7| = 7 ; |0| = 0 ; |3 − 8| = |−5| = 5 ; |8 − 3| = |5| = 5

√((−4)²) = √16 = 4 = |−4| (et non −4)

2. Interprétation en termes de distance

Distance entre deux réels

Sur une droite graduée, |a − b| représente la distance entre les points d'abscisses a et b, notée d(a,b) = |a − b|.

En particulier, |x| = d(x, 0) est la distance entre x et l'origine.

Exemple

La distance entre 3 et 8 est d(3,8) = |3 − 8| = 5 (ou de façon équivalente |8 − 3| = 5).

La distance entre −2 et 5 est |−2 − 5| = |−7| = 7.

3. Équations et inéquations avec valeur absolue

Cas de l'équation |x| = a (a réel donné)

• Si a < 0 : aucune solution (une valeur absolue n'est jamais négative).

• Si a = 0 : solution unique x = 0.

• Si a > 0 : deux solutions, x = a ou x = −a.

Cas des inéquations (a > 0)

• |x| ≤ a ⟺ −a ≤ x ≤ a (intervalle [−a ; a])

• |x| ≥ a ⟺ x ≤ −a ou x ≥ a (réunion ]−∞ ; −a] ∪ [a ; +∞[)

Ces équivalences se généralisent à |x − b| = a (équation) et |x − b| ≤ a / |x − b| ≥ a (inéquations) en remplaçant x par x − b.

Expression (a>0)	Équivalent	Ensemble solution
\|x−b\| = a	x−b = a ou x−b = −a	{b−a ; b+a}
\|x−b\| < a	−a < x−b < a	]b−a ; b+a[
\|x−b\| > a	x−b < −a ou x−b > a	]−∞;b−a[ ∪ ]b+a;+∞[

Exemple résolu

Résoudre |x − 3| ≤ 4 : cela équivaut à −4 ≤ x−3 ≤ 4, soit −1 ≤ x ≤ 7. Solution : x ∈ [−1 ; 7].

🧠 À retenir absolument

|x| = x si x≥0, −x si x<0 ; toujours |x| ≥ 0
√(x²) = |x| (pas x) ; |x|² = x²
|a−b| = distance entre a et b sur la droite graduée
|x| = a (a>0) : x=a ou x=−a ; |x| ≤ a : −a≤x≤a ; |x| ≥ a : x≤−a ou x≥a
Si a<0, |x|=a n'a pas de solution

Calculer des valeurs absolues

● Facile

Calculer :

|−5|
|3|
|0|
|2 − 7|
|7 − 2|

✅ Correction

|−5| = 5
|3| = 3
|0| = 0
|2−7| = |−5| = 5
|7−2| = |5| = 5

On remarque que |2−7| = |7−2| = 5 : la distance entre 2 et 7 ne dépend pas de l'ordre.

Équations simples

● Facile

Résoudre dans ℝ :

|x| = 6
|x − 4| = 0
|x + 1| = −3

✅ Correction

|x| = 6 ⟺ x = 6 ou x = −6. S = {−6 ; 6}
|x−4| = 0 ⟺ x−4 = 0 ⟺ x = 4. S = {4}
Une valeur absolue est toujours ≥ 0, or −3 < 0 : S = ∅ (aucune solution).

Inéquation « ≤ »

● Moyen

Résoudre dans ℝ : |x − 3| ≤ 4. Représenter l'ensemble solution sur une droite graduée.

✅ Correction

|x−3| ≤ 4 ⟺ −4 ≤ x−3 ≤ 4.

On ajoute 3 aux trois membres : −4+3 ≤ x ≤ 4+3, soit −1 ≤ x ≤ 7.

S = [−1 ; 7] : segment centré en 3, de rayon 4.

Inéquation « > »

● Moyen

Résoudre dans ℝ : |2x + 1| > 3.

✅ Correction

|2x+1| > 3 ⟺ 2x+1 > 3 ou 2x+1 < −3.

1er cas : 2x+1 > 3 ⟺ 2x > 2 ⟺ x > 1.

2e cas : 2x+1 < −3 ⟺ 2x < −4 ⟺ x < −2.

S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]1 ; +∞[

Deux valeurs absolues égales

● Difficile

Résoudre dans ℝ l'équation |x − 1| = |x + 3| :

Par la méthode algébrique (élever au carré les deux membres).
Vérifier le résultat par l'interprétation en distances (point équidistant de 1 et de −3).

✅ Correction

Comme les deux membres sont positifs, |x−1| = |x+3| ⟺ (x−1)² = (x+3)².
Développement : x² − 2x + 1 = x² + 6x + 9.
On simplifie les x² : −2x + 1 = 6x + 9, soit −8x = 8, donc x = −1.
Géométriquement, |x−1| = |x+3| signifie que x est à égale distance de 1 et de −3. Le point équidistant de deux points est le milieu du segment qui les joint : milieu de [−3 ; 1] = (−3+1)/2 = −1. On retrouve x = −1. Vérification : |−1−1| = 2 et |−1+3| = 2. ✔

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Question 1 / 10

|−8| est égal à :

Question 2 / 10

|a − b| représente géométriquement :

Question 3 / 10

Les solutions de |x| = 5 sont :

Question 4 / 10

L'équation |x| = 0 admet :

Question 5 / 10

L'équation |x + 2| = −3 admet :

Question 6 / 10

|x − 2| < 3 équivaut à :

Question 7 / 10

|x + 1| ≥ 2 équivaut à :

Question 8 / 10

Pour tous réels a et b, |a × b| est égal à :

Question 9 / 10

Pour tout réel x, √(x²) est égal à :

Question 10 / 10

|3 − 8| est égal à :