Ch. 04 Mathématiques · 2nde Industrielle (STI)

Calculs sur les nombres rationnels et les puissances

Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Opérations sur les fractions, règles des puissances entières et rationnelles.

1. Opérations sur les fractions

Rappels

Une fraction a/b (b ≠ 0) représente le rationnel a divisé par b. Deux fractions sont égales si elles représentent le même nombre : a/b = c/d ⟺ a×d = b×c.

Règles de calcul

• Addition / soustraction (même dénominateur) : a/c ± b/c = (a±b)/c. Sinon, on réduit au même dénominateur.

• Multiplication : (a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)

• Division : (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a×d)/(b×c) — on multiplie par l'inverse

• Simplification : on divise numérateur et dénominateur par un même diviseur commun (idéalement le PGCD)

Exemples

2/3 + 5/6 = 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2 (dénominateur commun 6, puis simplification par 3)

7/4 − 1/3 = 21/12 − 4/12 = 17/12

3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 (simplification par 2)

2/3 ÷ 4/9 = 2/3 × 9/4 = 18/12 = 3/2

2. Puissances à exposant entier

Définition

Pour a ≠ 0 réel et n entier naturel non nul : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs).

Par convention : a⁰ = 1 (a ≠ 0). Et pour n entier positif : a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (a ≠ 0).

Règles de calcul (a, b ≠ 0 ; m, n entiers relatifs)

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

• aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

• (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ

• (a×b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

• (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Exemples

2³ = 8 ; 5⁰ = 1 ; 2⁻³ = 1/2³ = 1/8

2³ × 2⁻⁵ = 2³⁺⁽⁻⁵⁾ = 2⁻² = 1/4

(2³)² = 2⁶ = 64

3. Signe d'une puissance et calculs combinés

Signe de (−a)ⁿ

• Si n est pair : (−a)ⁿ = aⁿ (positif si a ≠ 0)

• Si n est impair : (−a)ⁿ = −aⁿ (garde le signe de −a)

Exemples de signe

(−2)⁴ = 16 (exposant pair) mais (−2)³ = −8 (exposant impair)

(−3)² = 9 alors que −3² = −9 (attention : −3² signifie −(3²), sans parenthèses le signe n'est pas élevé à la puissance)

Calcul combiné rationnel + puissance

Calculer (3/2)⁻² × 4/9 :

(3/2)⁻² = (2/3)² = 4/9 donc (3/2)⁻² \times 4/9 = 4/9 \times 4/9 = 16/81

🧠 À retenir absolument

Pour additionner/soustraire des fractions : même dénominateur obligatoire
Diviser par une fraction = multiplier par son inverse
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
a⁻ⁿ = 1/aⁿ ; a⁰ = 1 (a≠0)
(−a)ⁿ = aⁿ si n pair, −aⁿ si n impair ; attention à −aⁿ ≠ (−a)ⁿ en général

Opérations sur les fractions

● Facile

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

2/3 + 5/6
7/4 − 1/3

✅ Correction

2/3 = 4/6, donc 2/3 + 5/6 = 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2 (simplifié par 3)
Dénominateur commun 12 : 7/4 = 21/12 et 1/3 = 4/12, donc 21/12 − 4/12 = 17/12 (déjà irréductible)

Puissances simples

● Facile

Calculer :

2³
(−2)⁴
(−3)³
5⁰
2⁻³

✅ Correction

2³ = 2×2×2 = 8
(−2)⁴ = 16 (exposant pair) = 16
(−3)³ = −27 (exposant impair) = −27
5⁰ = 1
2⁻³ = 1/2³ = 1/8

Simplifier une expression avec puissances

● Moyen

Simplifier B = (2³ × 2⁻⁵) / 2⁻⁴ en écrivant le résultat sous la forme d'une puissance de 2, puis calculer sa valeur.

✅ Correction

Au numérateur : 2³ × 2⁻⁵ = 2³⁺⁽⁻⁵⁾ = 2⁻².

B = 2⁻² / 2⁻⁴ = 2⁻²⁻⁽⁻⁴⁾ = 2⁻²⁺⁴ = 2².

Donc B = 2² = 4.

Fraction et puissance combinées

● Moyen

Calculer C = (3/2)⁻² × 4/9, en détaillant chaque étape.

✅ Correction

(3/2)⁻² = (2/3)² = 2²/3² = 4/9 (on inverse la fraction et on change le signe de l'exposant).

Donc C = 4/9 × 4/9 = (4×4)/(9×9) = 16/81.

Démonstration et application

● Difficile

1) Soit a ≠ 0 et m, n deux entiers naturels avec m > n > 0. En écrivant aᵐ et aⁿ comme des produits de facteurs a, justifier que aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.

2) Utiliser les règles des puissances pour calculer A = (2⁵ × 3⁻²) / (2³ × 3⁻⁴), en donnant le résultat sous forme d'un nombre entier.

✅ Correction

aᵐ = a×a×…×a (m facteurs) et aⁿ = a×a×…×a (n facteurs). Dans le quotient aᵐ/aⁿ, on peut simplifier n facteurs a communs au numérateur et au dénominateur (car a≠0, aucune division par 0). Il reste m−n facteurs a au numérateur : aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
On regroupe les puissances de 2 et de 3 séparément :
2⁵/2³ = 2⁵⁻³ = 2² et 3⁻²/3⁻⁴ = 3⁻²⁻⁽⁻⁴⁾ = 3².
Donc A = 2² × 3² = 4 × 9 = 36.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Question 1 / 10

2/3 + 1/6 est égal à :

Question 2 / 10

3/4 × 2/5 est égal à :

Question 3 / 10

2/3 ÷ 4/9 est égal à :

Question 4 / 10

2⁰ est égal à :

Question 5 / 10

2⁻² est égal à :

Question 6 / 10

(−3)² est égal à :

Question 7 / 10

(−2)³ est égal à :

Question 8 / 10

Pour a ≠ 0 et m, n entiers relatifs, aᵐ × aⁿ est égal à :

Question 9 / 10

(aᵐ)ⁿ est égal à :

Question 10 / 10

2³ / 2⁵ est égal à :