Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Simplification, opérations sur les radicaux, racines n-ièmes.
Pour a ≥ 0, la racine carrée de a, notée √a, est l'unique réel positif dont le carré vaut a : (√a)² = a et √a ≥ 0.
Pour tout réel x : √(x²) = |x| (et non x, car une racine carrée est toujours positive).
• √(a × b) = √a × √b (a≥0, b≥0)
• √(a / b) = √a / √b (a≥0, b>0)
• √a × √a = a
⚠ En général, √(a+b) ≠ √a + √b (pas de propriété pour la somme).
√((−5)²) = √25 = 5 = |−5|
√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√3
√(9/25) = √9/√25 = 3/5
Pour simplifier √N, on cherche le plus grand carré parfait qui divise N, on l'extrait puis on factorise : √N = √(k² × m) = k√m.
On ne peut additionner ou soustraire que des radicaux identiques (même terme sous le radical), comme pour des termes semblables en algèbre.
Pour supprimer un radical au dénominateur, on multiplie numérateur et dénominateur par ce radical : 1/√a = √a / a (a > 0).
√50 = √(25×2) = 5√2 ; √98 = √(49×2) = 7√2
2√12 + 3√27 = 2×2√3 + 3×3√3 = 4√3 + 9√3 = 13√3
1/√5 = √5/5 ; 3/(2√3) = 3√3/(2×3) = √3/2
Pour a ≥ 0 et n entier naturel, n ≥ 2, la racine n-ième de a, notée ⁿ√a, est l'unique réel positif dont la puissance n-ième vaut a : (ⁿ√a)ⁿ = a et ⁿ√a ≥ 0.
Cas particuliers : n=2 → racine carrée ; n=3 → racine cubique (³√a), définie aussi pour a < 0 puisque tout réel admet un cube).
• ⁿ√(a×b) = ⁿ√a × ⁿ√b
• ⁿ√a peut s'écrire a^(1/n) (notation avec exposant rationnel, à retrouver au lycée général)
• (ⁿ√a)ⁿ = a et ⁿ√(aⁿ) = a si a ≥ 0
| Écriture | Nom | Exemple |
|---|---|---|
| √a | racine carrée (n=2) | √9 = 3 |
| ³√a | racine cubique (n=3) | ³√8 = 2, ³√(−8) = −2 |
| ⁴√a | racine quatrième (n=4) | ⁴√16 = 2 |
³√24 = ³√(8×3) = ³√8 × ³√3 = 2 × ³√3 (on extrait le cube parfait 8)
Écrire sous la forme k√m (m le plus petit possible) :
Calculer :
Simplifier A = 2√12 + 3√27, en détaillant chaque étape.
√12 = √(4×3) = 2√3, donc 2√12 = 2×2√3 = 4√3.
√27 = √(9×3) = 3√3, donc 3√27 = 3×3√3 = 9√3.
A = 4√3 + 9√3 = 13√3 (on additionne les radicaux identiques, comme des termes semblables).
Rendre rationnel le dénominateur des expressions suivantes :
Simplifier B = √75 − 2√27 + √3, en décomposant chaque radical, puis calculer C = ³√16 × ³√4 (résultat entier attendu).
Pour B :
√75 = √(25×3) = 5√3
2√27 = 2×√(9×3) = 2×3√3 = 6√3
B = 5√3 − 6√3 + √3 = (5−6+1)√3 = 0×√3 = 0
Pour C : ³√16 × ³√4 = ³√(16×4) = ³√64 = 4 (car 4³ = 64).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
√16 est égal à :
√50 simplifié s'écrit :
√8 × √2 est égal à :
Pour tout réel x, √(x²) est égal à :
√12 / √3 est égal à :
1/√5, une fois rationalisé, s'écrit :
2√3 + 5√3 est égal à :
³√8 est égal à :
(√7)² est égal à :
⁴√16 est égal à :
