Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Comparaison des nombres réels, valeurs approchées et encadrements.
Pour comparer deux réels a et b, on étudie le signe de a − b :
• Avec l'addition : a < b ⇒ a + c < b + c pour tout réel c (on peut toujours ajouter un même nombre aux deux membres).
• Avec la multiplication par un positif : a < b et c > 0 ⇒ a×c < b×c (l'ordre est conservé).
• Avec la multiplication par un négatif : a < b et c < 0 ⇒ a×c > b×c (l'ordre est inversé).
Comparer 7/3 et 2,33 : 7/3 = 2,3333… donc 7/3 − 2,33 = 0,00333… > 0, d'où 7/3 > 2,33.
Comparer −5 et −3 : on part de 5 < 3 est faux ; en fait 5 > 3, donc en multipliant par −1 (négatif, on inverse) : −5 < −3.
Soit x un réel et n un entier. Une valeur approchée de x à 10⁻ⁿ près est un décimal proche de x à 10⁻ⁿ près :
π = 3,14159265… → défaut : 3,14 ; excès : 3,15 ; le 3ᵉ chiffre décimal est 1 (<5) → arrondi : 3,14.
√3 = 1,7320508… → défaut : 1,73 ; excès : 1,74 ; le 3ᵉ chiffre décimal est 2 (<5) → arrondi : 1,73.
1/3 = 0,333333… → défaut : 0,33 ; excès : 0,34 ; arrondi : 0,33.
Si a est une valeur approchée de x à 10⁻ⁿ près, alors |x − a| < 10⁻ⁿ.
Encadrer un réel x à 10⁻ⁿ près, c'est trouver deux décimaux a (valeur approchée par défaut) et b (valeur approchée par excès) tels que a ≤ x ≤ b, avec b − a = 10⁻ⁿ (l'amplitude de l'encadrement).
| Opération | Règle (a≤x≤b et c≤y≤d) |
|---|---|
| Addition | a + c ≤ x + y ≤ b + d |
| Soustraction | a − d ≤ x − y ≤ b − c |
| Multiplication (a,b,c,d > 0) | a × c ≤ x × y ≤ b × d |
Pour la soustraction, on prend le plus petit moins le plus grand pour la borne inférieure, et inversement pour la borne supérieure (l'ordre est inversé pour y).
On sait que 3,14 < π < 3,15 et 1,41 < √2 < 1,42.
Somme : 3,14+1,41 < π+√2 < 3,15+1,42, soit 4,55 < π+√2 < 4,57 (valeur réelle ≈ 4,5558 ✓).
Différence : 3,14−1,42 < π−√2 < 3,15−1,41, soit 1,72 < π−√2 < 1,74 (valeur réelle ≈ 1,7274 ✓).
Produit : 3,14×1,41 < π×√2 < 3,15×1,42, soit 4,4274 < π×√2 < 4,4730 (valeur réelle ≈ 4,4429 ✓).
Comparer, en étudiant le signe de la différence :
Donner la valeur approchée par défaut, par excès et l'arrondi de √5 = 2,2360679… à 10⁻² près.
√5 = 2,2360679…
Valeur approchée par défaut : 2,23. Valeur approchée par excès : 2,24.
Le 3ᵉ chiffre décimal est 6 (≥ 5) donc l'arrondi est 2,24.
On donne 1,41 < √2 < 1,42 et 1,73 < √3 < 1,74. Encadrer √2 + √3 puis √3 − √2.
Somme : 1,41+1,73 < √2+√3 < 1,42+1,74, soit 3,14 < √2+√3 < 3,16 (réel ≈ 3,1463 ✓).
Différence (√3 − √2, on croise les bornes) : 1,73−1,42 < √3−√2 < 1,74−1,41, soit 0,31 < √3−√2 < 0,33 (réel ≈ 0,3178 ✓).
Un rectangle a une longueur L telle que 4,12 < L < 4,13 (cm) et une largeur l telle que 2,05 < l < 2,06 (cm). Encadrer le périmètre P = 2(L+l) puis l'aire A = L×l.
Périmètre : 4,12+2,05 < L+l < 4,13+2,06, soit 6,17 < L+l < 6,19. En multipliant par 2 (positif) : 12,34 < P < 12,38 (cm).
Aire (bornes positives) : 4,12×2,05 < A < 4,13×2,06, soit 8,446 < A < 8,5078 (cm²).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour comparer deux réels a et b, on étudie le signe de :
Entre 7/2 et 3,49, lequel est vrai ?
L'arrondi de π = 3,14159265… à 10⁻³ près est :
La valeur approchée par défaut de √3 ≈ 1,7320508 à 10⁻² près est :
Avec 3,14 < π < 3,15 et 1,41 < √2 < 1,42, un encadrement de π + √2 est :
Avec les mêmes encadrements, un encadrement de π − √2 est :
Pour multiplier deux encadrements de nombres positifs a < x < b et c < y < d, le bon encadrement du produit est :
Si a < b et c < 0, alors :
Une pièce mesure 12,5 cm avec une précision de ±0,1 cm. Son encadrement est :
Pour un nombre positif, la troncature à 10⁻ⁿ près correspond à :
