Ch. 07 Mathématiques · 2nde Industrielle (STI)

Expressions algébriques — développement, factorisation, identités remarquables

Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Développement, factorisation, identités remarquables.

1. Développer une expression

Distributivité

• Simple : k(a+b) = ka + kb

• Double : (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd (chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second)

Exemples résolus

3(2x − 5) = 6x − 15

(3x+2)(x−5) = 3x² −15x +2x −10 = 3x² −13x −10

(x+3)(x−2) = x² −2x +3x −6 = x² + x − 6

2. Les identités remarquables

Les trois identités à connaître par cœur

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a−b)² = a² − 2ab + b²

(a+b)(a−b) = a² − b²

Exemples résolus (développement)

(2x+3)² = 4x² + 12x + 9 (a=2x, b=3 : a²=4x², 2ab=12x, b²=9)

(5−x)² = 25 − 10x + x² (a=5, b=x : a²=25, 2ab=10x, b²=x²)

(x+7)(x−7) = x² − 49

3. Factoriser une expression

Trois techniques principales

Facteur commun : ka + kb = k(a+b)
Identité remarquable à l'envers : a²+2ab+b² = (a+b)² ; a²−2ab+b² = (a−b)² ; a²−b² = (a−b)(a+b)
Regroupement de termes : on met en facteur deux par deux puis un facteur commun apparaît

Exemples résolus

Facteur commun : 6x² + 9x = 3x(2x+3)

Identité a²−b² : 9x² − 25 = (3x−5)(3x+5)

Identité (a−b)² : x² −6x +9 = (x−3)²

Regroupement : x² +5x +xy +5y = x(x+5) + y(x+5) = (x+5)(x+y)

🧠 À retenir absolument

Développer : chaque terme d'un facteur multiplie chaque terme de l'autre
(a+b)² = a²+2ab+b² ; (a−b)² = a²−2ab+b² ; (a+b)(a−b) = a²−b²
Toujours chercher d'abord un facteur commun avant d'utiliser une identité
a²−b² se reconnaît à une différence de deux carrés
Le regroupement de termes fait apparaître un facteur commun caché

Développer

● Facile

Développer et réduire :

(2x−3)(x+4)
(x+5)²

✅ Correction

(2x−3)(x+4) = 2x²+8x−3x−12 = 2x² +5x −12
(x+5)² = x²+2×x×5+5² = x² +10x +25

Factoriser

● Facile

Factoriser :

12x² − 8x
x² − 16

✅ Correction

Facteur commun 4x : 12x² −8x = 4x(3x−2)
Différence de carrés (a=x, b=4) : x²−16 = (x−4)(x+4)

Développer une expression composée

● Moyen

Développer et réduire : E = (3x−1)² − (2x+5)(2x−5)

✅ Correction

(3x−1)² = 9x² −6x +1

(2x+5)(2x−5) = 4x² −25

E = (9x² -6x +1) - (4x² -25) = 9x² -6x +1 -4x² +25 = 5x² -6x +26

D'où E = 5x² − 6x + 26.

Factorisation à deux niveaux

● Moyen

Factoriser complètement : F = x² − 4x + 4 − 9y²

✅ Correction

On reconnaît les trois premiers termes comme le début d'une identité remarquable :

x² -4x +4 = (x-2)²

Donc F = (x−2)² − (3y)², une différence de deux carrés avec a = (x−2) et b = 3y :

F = [(x-2) - 3y][(x-2) + 3y] = (x -2 -3y)(x -2 +3y)

Soit F = (x − 2 − 3y)(x − 2 + 3y).

Simplifier une fraction rationnelle

● Difficile

Soit G(x) = (x² − 9) / (x² − x − 6).

Factoriser le numérateur et le dénominateur.
Déterminer les valeurs de x pour lesquelles G(x) n'est pas définie.
Simplifier G(x).

✅ Correction

Numérateur : différence de carrés, x²−9 = (x−3)(x+3). Dénominateur : on cherche deux nombres de somme −1 et produit −6, ce sont −3 et 2, donc x²−x−6 = (x−3)(x+2) (vérification : (x−3)(x+2) = x²+2x−3x−6 = x²−x−6 ✓).
Le dénominateur s'annule quand x−3=0 ou x+2=0, soit x = 3 ou x = −2 : G n'est pas définie pour ces deux valeurs.
Pour x ≠ 3 et x ≠ −2, on simplifie par le facteur commun (x−3) :

G(x) = [(x-3)(x+3)] / [(x-3)(x+2)] = (x+3)/(x+2)

D'où G(x) = (x+3)/(x+2) pour tout x de ℝ \ {−2 ; 3}.

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Développer 3(2x − 5) :

Question 2 / 10

(a + b)² est égal à :

Question 3 / 10

(x − 4)(x + 4) est égal à :

Question 4 / 10

Factoriser 5x² + 15x :

Question 5 / 10

(2x − 1)² développé est égal à :

Question 6 / 10

x² − 49 se factorise en :

Question 7 / 10

Développer (x + 3)(x − 2) :

Question 8 / 10

x² + 8x + 16 se factorise en :

Question 9 / 10

Pour factoriser 4x² − 25, on utilise l'identité :

Question 10 / 10

La forme factorisée de 6x² − 9x est :