Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle du plan. Calculs vectoriels, bases et repérage dans le plan.
À deux points A et B, on associe le vecteur AB, caractérisé par une direction (celle de la droite (AB)), un sens (de A vers B) et une longueur (ou norme) notée ‖AB‖ ou AB.
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. On a AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Pour tous points A, B, C du plan : AB + BC = AC.
Le vecteur nul, noté 0, vérifie AA = 0 pour tout point A. Le vecteur opposé de AB est BA = −AB.
Pour A, B, C alignés dans cet ordre avec AB = 3 et BC = 5, la relation de Chasles donne AC = AB + BC, donc AC = 8 (les vecteurs étant de même sens).
Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k·u. Deux vecteurs colinéaires ont même direction.
En coordonnées, u(x ; y) et v(x′ ; y′) sont colinéaires si et seulement si xy′ − x′y = 0 (déterminant nul).
Deux vecteurs i et j non colinéaires forment une base du plan : tout vecteur u du plan se décompose de façon unique sous la forme u = x·i + y·j, où x et y sont les coordonnées de u dans cette base.
u(2 ; −3) et v(−4 ; 6) : on a xy′−x′y = 2×6 − (−4)×(−3) = 12 − 12 = 0, donc u et v sont colinéaires ; en effet v = −2u.
Dans un repère (O ; i, j), si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées :
AB ( xB − xA ; yB − yA )
Si u(x ; y) et v(x′ ; y′), alors u + v (x+x′ ; y+y′) et pour k réel, k·u (kx ; ky).
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées I ( (xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ).
| Données | Formule | Résultat |
|---|---|---|
| A(1;2), B(4;6) | AB(xB−xA;yB−yA) | AB(3;4) |
| u(1;2), v(3;−1) | u+v(x+x′;y+y′) | (4;1) |
| u(2;−5), k=3 | k·u(kx;ky) | (6;−15) |
On donne A(1 ; 2), B(4 ; 6) et C(−1 ; 3).
On donne u(2 ; −3) et v(−4 ; 6).
On donne A(1 ; 1), B(4 ; 1), C(6 ; 4). Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
ABCD parallélogramme ⟺ AB = DC ⟺ D = C − AB.
AB = (4−1 ; 1−1) = (3 ; 0).
D = (6−3 ; 4−0) = D(3 ; 4).
Soit u(1 ; 2) et v(3 ; 1), deux vecteurs non colinéaires formant une base. Décomposer w(11 ; 7) sous la forme w = a·u + b·v.
On cherche a, b tels que : a + 3b = 11 et 2a + b = 7.
De la seconde équation : a = (7−b)/2. En substituant : (7−b)/2 + 3b = 11 → 7−b+6b = 22 → 5b = 15 → b = 3.
Alors a = (7−3)/2 = 2. Vérification : 2(1;2) + 3(3;1) = (2;4)+(9;3) = (11;7). ✓
w = 2u + 3v.
ABC est un triangle et I le milieu de [BC].
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Les coordonnées du vecteur AB avec A(xA;yA) et B(xB;yB) sont :
Pour A(2;3) et B(5;7), les coordonnées de AB sont :
u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires si et seulement si :
u(4;6) et v(2;3) sont-ils colinéaires ?
D'après la relation de Chasles, AB + BC = ?
Le vecteur AA est égal à :
Pour A(1;5) et B(7;−1), les coordonnées du milieu de [AB] sont :
Pour former une base du plan, deux vecteurs doivent être :
Si u a pour norme 4, alors ‖−3u‖ vaut :
Le vecteur opposé de AB est :
