Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle du plan. Définition, propriétés, applications au calcul de longueurs et d'angles.
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls u et v, notés u·v, est le nombre réel défini par :
u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v)
où (u, v) désigne l'angle géométrique formé par les deux vecteurs. Si u = 0 ou v = 0, on pose u·v = 0.
Dans un repère orthonormé, si u(x ; y) et v(x′ ; y′), alors :
u · v = x×x′ + y×y′
Pour u(3 ; 4) et v(−2 ; 5) : u·v = 3×(−2) + 4×5 = −6 + 20 = 14.
• Symétrie : u·v = v·u
• Bilinéarité : u·(v+w) = u·v + u·w et (k·u)·v = k(u·v)
• Norme au carré : u·u = ‖u‖²
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si u · v = 0. En coordonnées : xx′ + yy′ = 0.
u(6 ; −2) et v(1 ; 3) : u·v = 6×1 + (−2)×3 = 6 − 6 = 0, donc u et v sont orthogonaux.
Pour A(xA;yA) et B(xB;yB) : AB² = AB·AB = (xB−xA)² + (yB−yA)², donc AB = √(AB·AB).
Si u et v sont non nuls, l'angle (u, v) vérifie :
cos(u, v) = (u · v) / (‖u‖ × ‖v‖)
| Signe de u·v | Nature de l'angle (u,v) |
|---|---|
| u·v > 0 | angle aigu |
| u·v = 0 | angle droit (orthogonaux) |
| u·v < 0 | angle obtus |
Pour u(1;0) et v(1;1) : u·v = 1, ‖u‖=1, ‖v‖=√2. cos(u,v) = 1/√2, donc (u,v) = 45°.
Calculer u·v dans chacun des cas :
On donne A(0;0), B(3;0), C(0;4). Calculer AB·AC et en déduire la nature de l'angle en A.
AB(3;0), AC(0;4). AB·AC = 3×0 + 0×4 = 0.
Le produit scalaire est nul, donc AB et AC sont orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A.
Les vecteurs u(6 ; −2) et v(1 ; 3) sont-ils orthogonaux ? Justifier par le calcul.
u·v = 6×1 + (−2)×3 = 6 − 6 = 0.
Comme u·v = 0, les vecteurs u et v sont orthogonaux.
On donne u(1 ; 0) et v(1 ; 1). Calculer cos(u,v) puis en déduire la mesure de l'angle (u,v).
u·v = 1×1+0×1 = 1. ‖u‖ = 1. ‖v‖ = √(1²+1²) = √2.
cos(u,v) = 1/(1×√2) = 1/√2 = √2/2.
(u,v) = 45° (car cos 45° = √2/2).
On donne A(1 ; 2), B(4 ; 6), C(1 ; 6).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
En coordonnées, u(x;y)·v(x′;y′) vaut :
u·u est égal à :
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si :
La propriété u·v = v·u s'appelle :
Pour u(2;1) et v(3;−2), u·v vaut :
Pour calculer un angle entre deux vecteurs, on utilise :
Si u·v > 0, l'angle (u,v) est :
u(1;0) et v(0;1) : u·v vaut :
(k·u)·v est égal à :
Pour A et B deux points, AB·AB est égal à :
