Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle du plan. Définition, construction, propriétés d'associativité.
Soient A et B deux points et a, b deux réels tels que a + b ≠ 0. Le barycentre G du système {(A,a) ; (B,b)} est l'unique point vérifiant :
a · GA + b · GB = 0 (vecteur nul)
On en déduit : AG = [b/(a+b)] · AB.
Dans un repère, si A(xA;yA) et B(xB;yB), les coordonnées de G sont :
xG = (a·xA + b·xB)/(a+b) yG = (a·yA + b·yB)/(a+b)
A(1;2), B(6;7), a=2, b=3 : xG = (2×1+3×6)/5 = 20/5 = 4 ; yG = (2×2+3×7)/5 = 25/5 = 5. Donc G(4;5).
Si a = b (≠0), le barycentre G du système {(A,a) ; (B,a)} est le milieu du segment [AB] : c'est l'isobarycentre de A et B.
Le barycentre ne change pas si l'on multiplie tous les coefficients par un même réel k ≠ 0 : le barycentre de {(A,a) ; (B,b)} est le même que celui de {(A,ka) ; (B,kb)}.
{(A,2) ; (B,4)} et {(A,1) ; (B,2)} (coefficients divisés par 2) définissent le même barycentre.
Soient A, B, C trois points et a, b, c des réels tels que a+b+c ≠ 0. Le barycentre G vérifie a·GA + b·GB + c·GC = 0, avec :
xG = (a·xA+b·xB+c·xC)/(a+b+c) yG = (a·yA+b·yB+c·yC)/(a+b+c)
Si a=b=c, G est l'isobarycentre (centre de gravité) du triangle ABC.
Si a+b ≠ 0, on peut remplacer A et B par leur barycentre partiel H = bar{(A,a) ; (B,b)} affecté de la masse (a+b) :
G = bar{ (H, a+b) ; (C, c) }
| Notion | Formule |
|---|---|
| 2 points | xG=(a·xA+b·xB)/(a+b) |
| 3 points | xG=(a·xA+b·xB+c·xC)/(a+b+c) |
| Isobarycentre 2 pts | milieu de [AB] |
| Isobarycentre 3 pts | centre de gravité du triangle |
Calculer les coordonnées du barycentre G de {(A,2) ; (B,3)} avec A(1;2) et B(6;7).
xG = (2×1+3×6)/(2+3) = (2+18)/5 = 20/5 = 4.
yG = (2×2+3×7)/5 = (4+21)/5 = 25/5 = 5.
G(4 ; 5).
A(2;3), B(8;−1). Déterminer le barycentre G de {(A,1) ; (B,1)}.
Comme les coefficients sont égaux, G est le milieu de [AB].
xG = (2+8)/2 = 5 ; yG = (3−1)/2 = 1.
G(5 ; 1).
A(0;0), B(6;0), C(0;6). Déterminer le centre de gravité G du triangle ABC (isobarycentre des trois sommets).
xG = (0+6+0)/3 = 2 ; yG = (0+0+6)/3 = 2.
G(2 ; 2) — c'est le centre de gravité du triangle.
A(0;0), B(3;0). Calculer le barycentre G₁ de {(A,2) ; (B,4)} puis le barycentre G₂ de {(A,1) ; (B,2)}. Que remarque-t-on ?
G₁ : xG = (2×0+4×3)/(2+4) = 12/6 = 2 → G₁(2;0).
G₂ : xG = (1×0+2×3)/(1+2) = 6/3 = 2 → G₂(2;0).
G₁ = G₂ : les coefficients (1;2) sont proportionnels à (2;4) (divisés par 2), ce qui illustre la propriété d'homogénéité du barycentre.
A(0;0), B(4;0), C(1;3). Soit G le barycentre de {(A,1) ; (B,3) ; (C,4)}.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le barycentre G de {(A,a);(B,b)} vérifie :
Pour que le barycentre de {(A,a);(B,b)} existe, il faut :
Si a = b, le barycentre G de {(A,a);(B,b)} est :
xG pour le barycentre de {(A,a);(B,b)} vaut :
A(0;0), B(4;0), coefficients 1 et 3. Le barycentre G a pour abscisse :
{(A,2);(B,2)} et {(A,1);(B,1)} définissent :
Le barycentre de trois points pondérés {(A,a);(B,b);(C,c)} a pour abscisse :
L'isobarycentre des trois sommets d'un triangle est :
L'associativité du barycentre permet de :
Si a = 1 et b = −1 pour {(A,a);(B,b)}, le barycentre :
