Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle du plan. Ensembles de points, théorème de Pythagore, formule d'Al-Kashi.
Pour A et B deux points distincts, l'ensemble des points M du plan tels que MA = MB est la médiatrice du segment [AB].
Pour k réel donné, l'ensemble des points M tels que MA² − MB² = k est une droite perpendiculaire à (AB).
En effet, en plaçant A(−a;0) et B(a;0) et M(x;y) : MA²−MB² = (x+a)²−(x−a)² = 4ax. L'égalité 4ax = k équivaut à x = k/(4a), une droite verticale, donc perpendiculaire à (AB).
On admet la relation (théorème de la médiane) : MA² + MB² = 2MI² + AB²/2, où I est le milieu de [AB]. Ainsi MA²+MB²=k équivaut à :
MI² = (2k − AB²) / 4
L'ensemble cherché est un cercle de centre I (milieu de [AB]) si 2k > AB², réduit au point I si 2k = AB², et vide si 2k < AB².
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors : BC² = AB² + AC² (le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés).
Si dans un triangle ABC on a BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A.
AB=6, AC=8, triangle rectangle en A : BC² = 36+64 = 100, donc BC = 10 (triplet 6-8-10).
Dans un triangle ABC, en notant a=BC, b=CA, c=AB :
a² = b² + c² − 2bc·cos(A)
(et formules analogues par permutation circulaire pour b² et c²).
Si A = 90°, alors cos(A) = 0 et la formule d'Al-Kashi se réduit au théorème de Pythagore : a² = b² + c².
| Données | Formule | Résultat |
|---|---|---|
| b=7, c=5, A=60° | a²=b²+c²−2bc·cosA | a²=39, a≈6,24 |
| b=3, c=4, A=90° | a²=b²+c²−0 | a=5 |
Un triangle ABC est rectangle en A avec AB=6 et AC=8. Calculer BC.
BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
BC = √100 = 10.
Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.
Le plus grand côté est 13. On teste : 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².
L'égalité est vérifiée, donc d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle, à l'angle opposé au côté de longueur 13.
A(1;2) et B(5;2). Déterminer l'ensemble des points M(x;y) tels que MA = MB.
L'ensemble cherché est la médiatrice de [AB]. Le milieu de [AB] est (3;2), et comme (AB) est horizontale (yA=yB=2), la médiatrice est la droite verticale x = 3.
A(−2;0) et B(2;0). Déterminer l'ensemble des points M tels que MA² − MB² = 8.
Avec A(−a;0), B(a;0) et a=2, on a MA²−MB²=4ax=8x. L'équation 8x=8 donne x = 1.
L'ensemble cherché est donc la droite verticale d'équation x=1, perpendiculaire à (AB).
Dans un triangle ABC, on donne AB = c = 5, AC = b = 7 et l'angle A = 60°.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble des points M tels que MA=MB est :
Dans un triangle rectangle en A, le théorème de Pythagore donne :
Un triangle rectangle en A a AB=3 et AC=4. BC vaut :
Un triangle a pour côtés 6, 8, 10. Est-il rectangle ?
La relation d'Al-Kashi s'écrit (a=BC, b=CA, c=AB) :
Si A=90° dans un triangle, la formule d'Al-Kashi se réduit à :
Si 2k < AB², l'ensemble des points M tels que MA²+MB²=k est :
Avec b=3, c=4, A=90°, la relation d'Al-Kashi donne a² égal à :
L'ensemble des points M tels que MA²−MB²=k (k constant) est :
Si 2k > AB², l'ensemble des points M tels que MA²+MB²=k est :
