Ch. 12 Mathématiques · 2nde Industrielle (STI)

Équations et inéquations du premier degré — systèmes linéaires dans R²

Objectif Général 3 — Équations, inéquations et systèmes. Résolution algébrique et graphique, systèmes de deux équations à deux inconnues.

1. Équation du premier degré à une inconnue

Définition

Une équation du premier degré est de la forme ax + b = 0 avec a ≠ 0. Elle admet une unique solution : x = −b/a.

Exemple résolu

Résoudre 3x − 7 = 2x + 5 :

3x - 2x = 5 + 7 ⟹ x = 12

Vérification : 3×12−7 = 29 et 2×12+5 = 29. ✓

2. Inéquation du premier degré

Règles de résolution

On résout une inéquation comme une équation, avec une règle essentielle : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Exemple résolu

Résoudre 2x − 5 < 3x + 1 :

2x - 3x < 1 + 5 ⟹ -x < 6 ⟹ x > -6 (on divise par -1, le sens s'inverse)

Ensemble des solutions : S = ]−6 ; +∞[.

3. Systèmes de deux équations à deux inconnues

Méthodes de résolution

Substitution : on exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans l'autre.
Combinaison (élimination) : on multiplie les équations par des coefficients bien choisis pour éliminer une inconnue en additionnant.

Exemple — substitution

{ x + y = 10 ; 2x − y = 5 }. De la 1ʳᵉ équation : y = 10 − x. On remplace : 2x −(10−x) = 5 ⟹ 3x = 15 ⟹ x = 5, puis y = 5. Solution : (5 ; 5).

Exemple — combinaison

{ 3x + 2y = 12 ; 5x − 2y = 4 }. On additionne les deux équations : 8x = 16 ⟹ x = 2, puis 3×2+2y=12 ⟹ y = 3. Solution : (2 ; 3).

Position des droites	Nombre de solutions
Sécantes (un point commun)	Une solution unique
Parallèles distinctes	Aucune solution
Confondues	Une infinité de solutions

🧠 À retenir absolument

ax + b = 0 (a≠0) admet l'unique solution x = −b/a
Multiplier/diviser une inégalité par un négatif inverse son sens
Système : substitution ou combinaison, au choix selon la forme des équations
Sécantes → une solution ; parallèles distinctes → aucune ; confondues → une infinité

Résoudre une équation

● Facile

Résoudre l'équation : 5x − 3 = 2x + 9

✅ Correction

5x - 2x = 9 + 3 ⟹ 3x = 12 ⟹ x = 4

Vérification : 5×4−3=17 et 2×4+9=17. ✓ S = {4}

Résoudre une inéquation

● Facile

Résoudre l'inéquation : 4x + 1 ≥ 2x − 5

✅ Correction

4x - 2x \geq -5 - 1 ⟹ 2x \geq -6 ⟹ x \geq -3

S = [−3 ; +∞[

Système par substitution

● Moyen

Résoudre par substitution : { x + y = 10 ; 2x − y = 5 }

✅ Correction

De la première équation : y = 10 − x. On substitue dans la seconde :

2x - (10-x) = 5 ⟹ 3x - 10 = 5 ⟹ 3x = 15 ⟹ x = 5

D'où y = 10 − 5 = 5. Vérification : 5+5=10 ✓ ; 2×5−5=5 ✓. Solution : (5 ; 5)

Système par combinaison

● Moyen

Résoudre par combinaison : { 3x − 2y = −1 ; 2x + 3y = 8 }

✅ Correction

On multiplie la 1ʳᵉ équation par 3 et la 2ᵉ par 2 pour aligner les coefficients de y :

9x - 6y = -3 4x + 6y = 16

On additionne : 13x = 13 ⟹ x = 1. On remplace dans la 1ʳᵉ équation : 3×1 − 2y = −1 ⟹ −2y = −4 ⟹ y = 2.

Vérification : 2×1+3×2 = 2+6 = 8 ✓. Solution : (1 ; 2)

Système avec paramètre

● Difficile

On considère le système, où m est un paramètre réel : { x + m y = 2 ; 2x − y = 1 }

Résoudre le système en fonction de m, lorsque cela est possible.
Déterminer la valeur de m pour laquelle le système n'a pas de solution unique, et interpréter graphiquement.

✅ Correction

De la 2ᵉ équation : y = 2x − 1. On substitue dans la 1ʳᵉ : $x + m(2x-1) = 2 ⟹ x(1+2m) = 2+m$
Si 1+2m ≠ 0 (c'est-à-dire m ≠ −1/2), on obtient x = (m+2)/(2m+1), puis y = 2x−1 = 3/(2m+1).
Le système n'a pas de solution unique lorsque 1+2m = 0, soit m = −1/2. Dans ce cas, la 1ʳᵉ équation devient x − ½y = 2, soit 2x − y = 4, à comparer à la 2ᵉ équation 2x − y = 1 : les deux droites ont le même coefficient directeur mais des ordonnées à l'origine différentes (4 ≠ 1), elles sont donc parallèles distinctes : le système n'a aucune solution.

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Résoudre 3x − 7 = 2x + 5 :

Question 2 / 10

La solution de 2x − 5 < 3x + 1 est :

Question 3 / 10

Si les deux droites d'un système sont sécantes, le système a :

Question 4 / 10

Si les deux droites sont parallèles distinctes, le système a :

Question 5 / 10

La solution du système { x+y=10 ; 2x−y=5 } est :

Question 6 / 10

Multiplier les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif :

Question 7 / 10

L'équation ax + b = 0 (a≠0) a pour solution unique :

Question 8 / 10

Résoudre 4x + 1 ≥ 2x − 5 :

Question 9 / 10

La solution du système { 3x−2y=−1 ; 2x+3y=8 } est :

Question 10 / 10

Dans le système { x+2y=4 ; 2x+4y=8 }, les deux droites sont :