Objectif Général 3 — Équations, inéquations et systèmes. Écriture d'un cercle, centre et rayon, représentation paramétrique.
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r > 0 est l'ensemble des points M(x ; y) tels que ΩM = r, soit :
(x − a)² + (y − b)² = r²
Cercle de centre Ω(2 ; −1) et de rayon 3 : (x−2)² + (y+1)² = 9.
En développant : x²−4x+4 + y²+2y+1 = 9, soit x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0 (forme développée).
Pour une équation de la forme x² + y² + Dx + Ey + F = 0, on identifie par mise sous forme canonique (complétion du carré) :
Centre : Ω(−D/2 ; −E/2). Rayon au carré : r² = (D/2)² + (E/2)² − F.
Si r² > 0, on a bien un cercle. Si r² = 0, l'ensemble se réduit à un point. Si r² < 0, l'ensemble est vide (aucun point réel).
Pour x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 : D=−6, E=4, F=−3.
Centre : Ω(3 ; −2). Rayon carré : r² = 3² + 2² − (−3) = 9+4+3 = 16, donc r = 4.
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r peut aussi se décrire par le système paramétrique, où θ est un paramètre réel :
x = a + r cos θ ; y = b + r sin θ, avec θ ∈ [0 ; 2π[
Cercle de centre Ω(1 ; 2) et de rayon 5 : x = 1 + 5cos θ, y = 2 + 5sin θ.
Pour θ = 0 : (6 ; 2). Vérification cartésienne : (6−1)²+(2−2)² = 25 = 5². ✓
Pour θ = π/2 : (1 ; 7). Vérification : (1−1)²+(7−2)² = 25 = 5². ✓
Donner l'équation cartésienne du cercle de centre Ω(−3 ; 5) et de rayon 2.
On applique directement la formule (x−a)²+(y−b)²=r² avec a=−3, b=5, r=2 :
Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² − 8x − 2y + 13 = 0.
D=−8, E=−2, F=13. Centre : Ω(4 ; 1). Rayon carré : r² = 4² + 1² − 13 = 16+1−13 = 4, donc r = 2.
L'équation x² + y² + 4x − 6y + 15 = 0 représente-t-elle un cercle ?
D=4, E=−6, F=15. Centre candidat : (−2 ; 3). Rayon carré : r² = 2² + 3² − 15 = 4+9−15 = −2.
Comme r² < 0, cette équation ne représente pas un cercle : l'ensemble des points solutions est vide (aucun point réel ne vérifie l'équation).
On considère le cercle de centre O(0;0) et de rayon 4. Donner sa représentation paramétrique, puis calculer les coordonnées du point correspondant à θ = π/3.
Représentation paramétrique : x = 4cos θ, y = 4sin θ.
Pour θ = π/3 : cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2.
Le point correspondant est (2 ; 2√3).
On admet la propriété : un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA · MB = 0 (vecteurs), ce qui se traduit par l'équation (x−x_A)(x−x_B) + (y−y_A)(y−y_B) = 0.
Vérification géométrique : le centre d'un cercle de diamètre [AB] doit être le milieu de [AB]. Milieu de [AB] = ((1+5)/2 ; (2+6)/2) = (3 ; 4) ✓. Le rayon doit être la moitié de AB : AB = √[(5−1)²+(6−2)²] = √(16+16) = √32 = 4√2, donc AB/2 = 2√2 ✓. Les deux méthodes concordent.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'équation cartésienne d'un cercle de centre Ω(a;b) et de rayon r est :
Le cercle de centre (2;−1) et de rayon 3 a pour équation développée :
Pour x²+y²−6x+4y−3=0, le centre est :
Pour la même équation, le rayon est :
Une équation paramétrique du cercle de centre (1;2) et de rayon 5 est :
L'équation x²+y²+4x−6y+15=0 représente :
Pour un cercle de centre O(0;0) et de rayon 4, la position du point pour θ=π/3 est :
La condition pour que x²+y²+Dx+Ey+F=0 représente un véritable cercle est :
Le centre du cercle de diamètre [AB] est :
Pour A(1;2) et B(5;6), le rayon du cercle de diamètre [AB] est :
