Objectif Général 3 — Équations, inéquations et systèmes. Régionnement du plan, angles inscrits, angles au centre, polygones réguliers.
Une inéquation du type ax + by + c ≤ 0 (ou <, ≥, >) partage le plan en deux demi-plans délimités par la droite frontière d'équation ax+by+c = 0.
1) Tracer la droite frontière (en pointillés si inégalité stricte < ou >, en trait plein si large ≤ ou ≥).
2) Choisir un point test hors de la droite (souvent l'origine O) et vérifier s'il satisfait l'inéquation : si oui, le demi-plan solution est celui contenant ce point.
Inéquation 2x + y − 4 ≤ 0. Frontière : 2x+y=4. Test avec O(0;0) : 2×0+0−4 = −4 ≤ 0, vrai. Le demi-plan solution est donc celui qui contient l'origine.
Un système de plusieurs inéquations définit une région du plan égale à l'intersection des demi-plans solutions de chaque inéquation.
Système { x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x+y ≤ 5 }. La région solution est le triangle de sommets (0;0), (5;0), (0;5) : intersection du premier quadrant avec le demi-plan sous la droite x+y=5.
• Angle au centre : angle dont le sommet est le centre O du cercle.
• Angle inscrit : angle dont le sommet est un point du cercle, les côtés passant par deux autres points du cercle.
L'angle au centre est le double de tout angle inscrit qui intercepte le même arc.
Corollaire : deux angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.
Cas particulier (Thalès dans le cercle) : un angle inscrit qui intercepte un diamètre (arc de 180°) est un angle droit.
Si l'angle au centre intercepte un arc et mesure 100°, tout angle inscrit interceptant ce même arc mesure 100°/2 = 50°.
Un polygone régulier à n côtés a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles égaux ; il est inscriptible dans un cercle.
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Angle au centre (entre 2 sommets consécutifs) | 360° / n |
| Angle intérieur du polygone | (n−2) × 180° / n |
Hexagone régulier (n=6) : angle au centre = 360/6 = 60° ; angle intérieur = 4×180/6 = 120°.
Pentagone régulier (n=5) : angle au centre = 360/5 = 72° ; angle intérieur = 3×180/5 = 108°.
Vérifier si les points A(1;3) et B(4;0) vérifient l'inéquation x − 2y + 2 ≥ 0.
Pour A(1;3) : 1 − 2×3 + 2 = 1 − 6 + 2 = −3. Comme −3 < 0, A ne vérifie pas l'inéquation.
Pour B(4;0) : 4 − 2×0 + 2 = 6. Comme 6 ≥ 0, B vérifie l'inéquation.
Un angle au centre mesure 100°. Quelle est la mesure de l'angle inscrit interceptant le même arc ?
D'après le théorème de l'angle inscrit, l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre : 100° / 2 = 50°.
Déterminer les sommets de la région définie par le système { x≥0 ; y≥0 ; x+2y≤8 ; 2x+y≤8 }.
On cherche les intersections des droites frontières deux à deux (dans la région où x≥0 et y≥0) :
• x=0 et y=0 → (0 ; 0)
• x=0 et x+2y=8 → y=4 → (0 ; 4) (on vérifie 2×0+4=4≤8 ✓)
• y=0 et 2x+y=8 → x=4 → (4 ; 0) (on vérifie 4+0=4≤8 ✓)
• x+2y=8 et 2x+y=8 : de la 1ʳᵉ, x=8−2y. On substitue : 2(8−2y)+y=8 ⟹ 16−3y=8 ⟹ y=8/3, puis x=8−16/3=8/3 → (8/3 ; 8/3)
La région est donc le quadrilatère de sommets (0;0), (4;0), (8/3 ; 8/3), (0;4).
Calculer l'angle au centre et l'angle intérieur d'un octogone régulier (n=8).
Angle au centre : 360°/8 = 45°.
Angle intérieur : (8−2)×180°/8 = 6×180/8 = 135°.
Soit un cercle de centre O et de rayon 5 cm (donc de diamètre BC = 10 cm). Soit A un point du cercle distinct de B et C.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'inéquation ax+by+c ≤ 0 représente dans le plan :
Pour x−2y+2≥0, le point B(4;0) vérifie-t-il l'inéquation ?
Un système de deux inéquations dans R² définit géométriquement :
Le théorème de l'angle au centre énonce que l'angle au centre est :
Un angle au centre mesure 100°. L'angle inscrit interceptant le même arc mesure :
Un triangle inscrit dans un cercle, dont un côté est un diamètre, est :
L'angle au centre d'un polygone régulier à n côtés est :
L'angle intérieur d'un hexagone régulier (n=6) mesure :
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont :
Dans un cercle de diamètre BC=10 cm, un point A du cercle est tel que AB=6 cm. Alors AC vaut :
