Objectif Général 3 — Équations, inéquations et systèmes. Discriminant et résolution des équations et inéquations du second degré, systèmes symétriques, équations et inéquations irrationnelles.
Une équation du second degré à une inconnue x est une équation de la forme ax² + bx + c = 0 avec a, b, c réels et a ≠ 0. Le réel Δ = b² − 4ac est appelé discriminant de l'équation.
• Si Δ > 0 : deux solutions distinctes x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a)
• Si Δ = 0 : une solution double x₀ = −b/(2a)
• Si Δ < 0 : aucune solution réelle
Lorsque Δ ≥ 0, la somme et le produit des racines valent : S = x₁ + x₂ = −b/a et P = x₁ × x₂ = c/a. On a alors la factorisation ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
Résoudre 2x² − 3x − 2 = 0 : a=2, b=−3, c=−2. Δ = 9 + 16 = 25 > 0, √Δ = 5.
x₁ = (3 − 5)/4 = −1/2 ; x₂ = (3 + 5)/4 = 2. S = x₁+x₂ = 3/2 = −b/a ✓ ; P = x₁×x₂ = −1 = c/a ✓
Le trinôme ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines (le cas échéant) et du signe de −a entre les racines. Si Δ < 0, le trinôme garde le signe de a sur ℝ tout entier.
| Signe de Δ | Racines | Signe de ax²+bx+c |
|---|---|---|
| Δ > 0 | x₁ < x₂ | signe de a hors [x₁;x₂], signe de −a sur ]x₁;x₂[ |
| Δ = 0 | x₀ (double) | signe de a partout sauf en x₀ (nul) |
| Δ < 0 | aucune | signe de a sur ℝ |
Résoudre x² − 5x + 6 > 0. Racines : Δ=25−24=1, x=(5±1)/2 → x₁=2, x₂=3. Comme a=1>0, le trinôme est positif à l'extérieur des racines : S = ]−∞ ; 2[ ∪ ]3 ; +∞[.
Un système de deux équations aux inconnues x et y est dit symétrique si l'échange de x et de y ne modifie pas le système. On le résout souvent en posant S = x + y et P = xy.
Si x et y sont solutions d'un système symétrique conduisant à S et P connus, alors x et y sont les deux solutions de l'équation X² − SX + P = 0.
Résoudre x + y = 7 et xy = 12. On a S=7, P=12 donc X² − 7X + 12 = 0. Δ = 49−48 = 1, X = (7±1)/2 → 3 et 4. Les couples solutions sont (3 ; 4) et (4 ; 3).
Cette équation équivaut au système : g(x) ≥ 0 et f(x) = [g(x)]². La condition g(x) ≥ 0 est indispensable car une racine carrée est toujours positive ou nulle.
• √(f(x)) ≤ g(x) ⟺ f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 et f(x) ≤ [g(x)]²
• √(f(x)) ≥ g(x) est automatiquement vraie (sur f(x) ≥ 0) lorsque g(x) < 0 ; sinon elle équivaut à f(x) ≥ [g(x)]²
Résoudre √(2x+3) = x. Condition x ≥ 0 et 2x+3 = x² ⟹ x²−2x−3=0 ⟹ (x−3)(x+1)=0 ⟹ x=3 ou x=−1. Comme x≥0, on rejette −1. Vérification : √9=3 ✓. Solution : x = 3.
Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
Résoudre dans ℝ :
Trouver les couples (x;y) tels que x + y = 10 et xy = 21. Calculer ensuite x² + y².
S=10, P=21 → X²−10X+21=0. Δ=100−84=16, √Δ=4. X=(10±4)/2 → 7 et 3.
Couples solutions : (3;7) et (7;3).
x²+y² = S² − 2P = 100 − 42 = 58
Résoudre dans ℝ : √(3x + 1) = x − 1
Condition : x−1 ≥ 0 ⟹ x ≥ 1. On élève au carré : 3x+1 = (x−1)² = x²−2x+1 ⟹ x²−5x = 0 ⟹ x(x−5)=0 ⟹ x=0 ou x=5.
Comme x ≥ 1, on rejette x=0. Vérification pour x=5 : √16=4=5−1 ✓
Solution : x = 5
Résoudre dans ℝ : √(x² − 1) < x + 2
Domaine : x² − 1 ≥ 0 ⟹ x ≤ −1 ou x ≥ 1.
Cas x+2 < 0 (x < −2) : impossible, car √(x²−1) ≥ 0 ne peut être strictement inférieur à un nombre négatif. Aucune solution ici.
Cas x+2 ≥ 0 (x ≥ −2) : on élève au carré : x²−1 < (x+2)² = x²+4x+4 ⟹ −1 < 4x+4 ⟹ x > −5/4.
On combine avec le domaine et x ≥ −2 : pour la branche x ≤ −1, on obtient −5/4 < x ≤ −1 ; pour la branche x ≥ 1, toutes ces valeurs conviennent.
Solution : x ∈ ]−5/4 ; −1] ∪ [1 ; +∞[
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le discriminant de x² − 6x + 9 = 0 vaut :
Combien de solutions réelles a l'équation 2x² + x + 1 = 0 ?
Pour x² − 7x + 10 = 0, la somme des racines vaut :
Pour 3x² − 5x + 2 = 0, le produit des racines vaut :
La solution de x² − 4x + 4 = 0 est :
Le trinôme x² − 2x − 3 est strictement positif sur :
Pour un système symétrique x+y=S, xy=P, x et y sont solutions de :
Pour résoudre √(x−2) = x−4, la condition nécessaire est :
La solution de √(x−2) = x−4 est :
L'inéquation √(f(x)) ≥ g(x) est automatiquement vraie (sur f(x)≥0) lorsque :
