Objectif Général 4 — Statistique et angles orientés. Effectifs, fréquences, moyenne, variance, écart type et représentations graphiques d'une série statistique.
Une population est l'ensemble étudié ; chaque élément est un individu. Le caractère étudié peut être qualitatif (couleur, catégorie) ou quantitatif (taille, note), discret ou continu.
Pour une valeur xᵢ, l'effectif nᵢ est le nombre d'individus qui présentent cette valeur. L'effectif total est N = Σ nᵢ. La fréquence est fᵢ = nᵢ / N (souvent exprimée en %).
Notes de 10 élèves : 8, 10, 12, 10, 14, 8, 16, 10, 12, 14. Tableau des effectifs :
| xᵢ | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| nᵢ | 2 | 3 | 2 | 2 | 1 |
N = 10. Par exemple f(10) = 3/10 = 0,3 = 30 %.
x̄ = (1/N) Σ nᵢxᵢ = Σ fᵢxᵢ
Formule de König-Huyghens : V = (1/N) Σ nᵢxᵢ² − x̄². L'écart type est σ = √V.
La variance et l'écart type mesurent la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus σ est grand, plus les données sont dispersées.
x̄ = (8×2+10×3+12×2+14×2+16×1)/10 = 114/10 = 11,4
Σnᵢxᵢ² = 128+300+288+392+256 = 1364. V = 1364/10 − 11,4² = 136,4 − 129,96 = 6,44. σ = √6,44 ≈ 2,54
• Diagramme en bâtons : pour un caractère discret, hauteur des bâtons proportionnelle aux effectifs.
• Histogramme : pour un caractère continu (classes), l'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe.
• Diagramme circulaire : chaque valeur est représentée par un secteur d'angle fᵢ × 360°.
• Polygone des effectifs cumulés : courbe des effectifs cumulés croissants (ECC) ou décroissants (ECD), utile pour lire graphiquement la médiane.
On relève les pointures de 8 élèves : 39, 40, 39, 41, 40, 40, 42, 39. Dresser le tableau des effectifs et des fréquences (en %).
| Pointure | 39 | 40 | 41 | 42 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 3 | 1 | 1 |
| Fréquence | 37,5% | 37,5% | 12,5% | 12,5% |
N = 8 au total.
Cinq élèves obtiennent les notes : 12, 15, 9, 14, 10. Calculer la moyenne de la série.
x̄ = (12+15+9+14+10)/5 = 60/5 = 12
Calculer la moyenne, la variance et l'écart type de la série : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
N = 8. x̄ = (2+4+4+4+5+5+7+9)/8 = 40/8 = 5
Écarts au carré : (2−5)²=9 ; (4−5)²=1 (×3) ; (5−5)²=0 (×2) ; (7−5)²=4 ; (9−5)²=16
Somme = 9+3+0+4+16 = 32. V = 32/8 = 4. σ = √4 = 2
Reprendre la série de l'exemple du cours (notes : 8, 10, 12, 14, 16 d'effectifs 2, 3, 2, 2, 1). Construire le tableau des effectifs cumulés croissants (ECC) et déterminer la médiane.
| xᵢ | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| nᵢ | 2 | 3 | 2 | 2 | 1 |
| ECC | 2 | 5 | 7 | 9 | 10 |
N=10 (pair) : la médiane est la moyenne des 5ᵉ et 6ᵉ valeurs classées : 8,8,10,10,10,12,12,14,14,16 → 5ᵉ=10, 6ᵉ=12.
Médiane = (10+12)/2 = 11
Une série est répartie en classes : [0;10[ (effectif 4), [10;20[ (effectif 10), [20;30[ (effectif 14), [30;40[ (effectif 2). Calculer la moyenne, la variance et l'écart type (arrondir à 0,01 près).
Centres des classes : 5, 15, 25, 35. N = 4+10+14+2 = 30.
Σnᵢcᵢ = 4×5+10×15+14×25+2×35 = 20+150+350+70 = 590. x̄ = 590/30 ≈ 19,67
Σnᵢcᵢ² = 4×25+10×225+14×625+2×1225 = 100+2250+8750+2450 = 13550. 13550/30 ≈ 451,67
V ≈ 451,67 − 19,67² ≈ 451,67 − 386,78 ≈ 64,89. σ = √64,89 ≈ 8,06
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La fréquence fᵢ d'une valeur est égale à :
Pour une série de 8 élèves où l'effectif d'une note est 2, sa fréquence est :
La moyenne pondérée d'une série se calcule par :
La formule de König-Huyghens pour la variance est :
L'écart type est :
Pour la série 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, la moyenne vaut :
Pour cette même série (2,4,4,4,5,5,7,9), la variance vaut :
Dans un diagramme circulaire, l'angle associé à une valeur est :
Pour une série de données groupées en classes, on utilise pour la moyenne :
Si N = 10 et que l'effectif cumulé croissant à la valeur 12 vaut 7, cela signifie :
