Objectif Général 4 — Statistique et angles orientés. Plan orienté, cercle trigonométrique, mesure d'un angle orienté modulo 2π et relation de Chasles.
Orienter le plan, c'est choisir un sens de rotation positif, appelé sens direct (sens contraire des aiguilles d'une montre, aussi dit sens trigonométrique). L'autre sens est le sens indirect (ou rétrograde).
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, muni du sens direct, sur lequel on fixe un point origine I.
À tout réel x, on associe un unique point M du cercle trigonométrique : on part de I et on parcourt le cercle sur une longueur d'arc égale à |x|, dans le sens direct si x ⩾ 0, dans le sens indirect si x < 0. M est appelé image du réel x.
Le réel 0 a pour image I. Le réel π/2 a pour image le point du cercle situé au « sommet », à un quart de tour de I dans le sens direct. Le réel π a pour image le point diamétralement opposé à I.
Deux réels x et x' ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si il existe un entier relatif k tel que x' = x + k × 2π. On dit alors que x et x' sont congrus modulo 2π, ce que l'on note x ≡ x' [2π].
Parmi tous les réels congrus à un angle donné modulo 2π, un seul appartient à l'intervalle ]−π ; π] : on l'appelle la mesure principale de l'angle.
17π/4 − 2π = 17π/4 − 16π/4 = π/4. Comme π/4 ∈ ]−π ; π], la mesure principale de 17π/4 est π/4.
5π/3 − 2π = 5π/3 − 6π/3 = −π/3. Comme −π/3 ∈ ]−π ; π], la mesure principale de 5π/3 est −π/3 (5π/3 lui-même n'est pas dans ]−π ; π], il faut donc retrancher un tour complet).
Soient u et v deux vecteurs non nuls. On appelle mesure de l'angle orienté (u, v) tout réel de la forme b − a + k × 2π (k ∈ ℤ), où a et b sont des réels dont les images sur le cercle trigonométrique donnent la direction et le sens de u et de v. On note l'ensemble de ces mesures (u,v) = b − a [2π].
Pour tous vecteurs non nuls u, v, w du plan :
(u,v) + (v,w) = (u,w) [2π]
• En prenant w = u dans la relation de Chasles : (u,v) + (v,u) = (u,u) = 0 [2π], donc (v,u) = −(u,v) [2π] (antisymétrie).
• Pour k réel non nul : (ku, v) = (u,v) [2π] si k > 0, et (ku, v) = (u,v) + π [2π] si k < 0.
Si (u,v) = 2π/3 [2π] et (v,w) = π/4 [2π], alors :
(u,w) = (u,v) + (v,w) = 2π/3 + π/4 = 8π/12 + 3π/12 = 11π/12 [2π]
11π/12 étant déjà dans ]−π ; π], c'est directement la mesure principale.
Déterminer la mesure principale de l'angle de mesure 9π/4.
9π/4 − 2π = 9π/4 − 8π/4 = π/4.
Comme π/4 ∈ ]−π ; π], la mesure principale est π/4.
Déterminer la mesure principale de l'angle de mesure −7π/2.
On ajoute des multiples de 2π jusqu'à tomber dans ]−π ; π] : −7π/2 + 2×2π = −7π/2 + 8π/2 = π/2.
Comme π/2 ∈ ]−π ; π], la mesure principale est π/2.
On donne (u,v) = 5π/6 [2π] et (v,w) = −π/3 [2π]. Déterminer la mesure principale de (u,w).
D'après la relation de Chasles : (u,w) = (u,v) + (v,w) = 5π/6 − π/3 = 5π/6 − 2π/6 = 3π/6 = π/2.
π/2 ∈ ]−π ; π], donc la mesure principale de (u,w) est π/2.
Sachant que (u,v) = 7π/4 [2π], déterminer la mesure principale de (v,u).
D'après la propriété d'antisymétrie : (v,u) = −(u,v) [2π] = −7π/4 [2π].
On ramène dans ]−π ; π] : −7π/4 + 2π = −7π/4 + 8π/4 = π/4.
La mesure principale de (v,u) est donc π/4.
Un point M est l'image du réel x = 29π/6 sur le cercle trigonométrique.
1) On retranche des multiples de 2π = 12π/6 : 29π/6 − 12π/6 = 17π/6 ; 17π/6 − 12π/6 = 5π/6.
5π/6 ∈ [0 ; 2π[, donc x et 5π/6 ont la même image sur le cercle trigonométrique.
2) Comme 5π/6 ∈ ]−π ; π] également, la mesure principale associée à x est 5π/6.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le sens direct sur le cercle trigonométrique est :
Deux réels x et x' ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si :
La mesure principale d'un angle orienté est l'unique mesure appartenant à l'intervalle :
La relation de Chasles pour les angles orientés s'écrit :
Pour tous vecteurs non nuls u et v, (v,u) est égal à :
La mesure principale de l'angle 11π/4 est :
La mesure principale de l'angle 4π/3 est :
Si (u,v) = 2π/3 [2π] et (v,w) = π/4 [2π], alors la mesure principale de (u,w) est :
Pour k > 0, la mesure de l'angle (ku, v) vaut :
Pour k < 0, la mesure de l'angle (ku, v) vaut :
