Objectif Général 5 — Trigonométrie et fonctions. Cosinus, sinus, tangente d'un angle, valeurs remarquables, formules d'addition et de duplication.
Soit x un réel et M son image sur le cercle trigonométrique (centre O, rayon 1). Dans le repère (O ; I, J), M a pour coordonnées (cos x ; sin x). On appelle :
• cosinus de x : l'abscisse de M, notée cos x ;
• sinus de x : l'ordonnée de M, notée sin x ;
• tangente de x : tan x = sin x / cos x, définie lorsque cos x ≠ 0, c'est-à-dire pour x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ.
Pour tout réel x : cos²x + sin²x = 1 (relation fondamentale, car M est sur le cercle de rayon 1).
Pour tout réel x : −1 ⩽ cos x ⩽ 1 et −1 ⩽ sin x ⩽ 1.
Pour x = 0, M = I = (1 ; 0) donc cos 0 = 1 et sin 0 = 0. Pour x = π/2, M = J = (0 ; 1) donc cos(π/2) = 0 et sin(π/2) = 1 ; tan(π/2) n'est pas définie.
Ces valeurs, obtenues à partir de triangles particuliers (équilatéral, rectangle isocèle), sont à connaître par cœur :
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| tan x | 0 | √3/3 | 1 | √3 | non définie |
cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2, donc tan(π/3) = (√3/2)/(1/2) = √3.
Pour tous réels a et b :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
En remplaçant b par −b (et en utilisant cos(−b) = cos b, sin(−b) = −sin b), on obtient les formules de soustraction :
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
En prenant b = a dans les formules d'addition :
cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a sin(2a) = 2 sin a cos a
cos(π/12) = cos(π/3 − π/4) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4) = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = √2/4 + √6/4 = (√2 + √6)/4.
Donner les valeurs exactes de cos(π/3), sin(π/3) et tan(π/3).
D'après la table des valeurs remarquables : cos(π/3) = 1/2 ; sin(π/3) = √3/2.
tan(π/3) = sin(π/3)/cos(π/3) = (√3/2)/(1/2) = √3.
Calculer cos²(π/4) + sin²(π/4) et vérifier la relation fondamentale de la trigonométrie.
cos(π/4) = √2/2 et sin(π/4) = √2/2, donc cos²(π/4) = (√2/2)² = 2/4 = 1/2 et sin²(π/4) = 1/2.
cos²(π/4) + sin²(π/4) = 1/2 + 1/2 = 1. On retrouve bien la relation fondamentale cos²x + sin²x = 1.
Sachant que cos x = 3/5 et que x ∈ [0 ; π/2], calculer sin x puis tan x.
D'après la relation fondamentale : sin²x = 1 − cos²x = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25.
Comme x ∈ [0 ; π/2], sin x ⩾ 0, donc sin x = √(16/25) = 4/5.
tan x = sin x / cos x = (4/5)/(3/5) = 4/3.
En écrivant π/12 = π/3 − π/4, calculer la valeur exacte de cos(π/12).
cos(π/12) = cos(π/3 − π/4) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4)
= (1/2)×(√2/2) + (√3/2)×(√2/2) = √2/4 + √6/4 = (√2 + √6)/4 (≈ 0,966).
Sachant que sin a = 1/3 et que a ∈ [0 ; π/2], calculer cos a, puis sin(2a) et cos(2a).
cos²a = 1 − sin²a = 1 − 1/9 = 8/9. Comme a ∈ [0 ; π/2], cos a ⩾ 0, donc cos a = √(8/9) = 2√2/3.
sin(2a) = 2 sin a cos a = 2×(1/3)×(2√2/3) = 4√2/9.
cos(2a) = 1 − 2sin²a = 1 − 2×(1/9) = 1 − 2/9 = 7/9 (on vérifie : cos²a − sin²a = 8/9 − 1/9 = 7/9 ✓).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour tout réel x, cos²x + sin²x est égal à :
La tangente de x est définie par :
La valeur exacte de sin(π/6) est :
La valeur exacte de cos(π/4) est :
La valeur exacte de tan(π/3) est :
cos(π/2) est égal à :
Pour tout réel a, sin(2a) est égal à :
cos(2a) est aussi égal à :
La formule d'addition du cosinus est :
Si cos x = 3/5 et x ∈ [0 ; π/2], alors sin x est égal à :
