Objectif Général 5 — Trigonométrie et fonctions. Ensemble de définition, sens de variation, tableau de variation et lecture graphique d'images et d'antécédents.
Une fonction f définie sur une partie D de ℝ associe à chaque réel x de D un unique réel noté f(x), appelé image de x par f. Si f(x) = y, on dit que x est un antécédent de y.
L'ensemble de définition Dꜰ est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe (a un sens).
• Si f(x) est une expression polynomiale (somme, produit de puissances de x) : Dꜰ = ℝ.
• Si f(x) contient un quotient : le(s) dénominateur(s) doivent être non nuls.
• Si f(x) contient une racine carrée : l'expression sous la racine doit être positive ou nulle.
f(x) = 1/(x − 2) : il faut x − 2 ≠ 0, donc Dꜰ = ℝ \ {2}.
g(x) = √(x − 3) : il faut x − 3 ≥ 0, donc D_g = [3 ; +∞[.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est croissante sur I si, pour tous a et b de I : a < b ⟹ f(a) ≤ f(b) (l'ordre est conservé).
f est décroissante sur I si, pour tous a et b de I : a < b ⟹ f(a) ≥ f(b) (l'ordre est inversé).
Le tableau de variation résume ces informations : une flèche ↗ indique que f est croissante sur l'intervalle correspondant, une flèche ↘ qu'elle est décroissante.
Le sommet de la parabole a pour abscisse x₀ = −b/(2a).
Si a > 0 : f est décroissante sur ]−∞ ; x₀] puis croissante sur [x₀ ; +∞[ (minimum en x₀).
Si a < 0 : f est croissante sur ]−∞ ; x₀] puis décroissante sur [x₀ ; +∞[ (maximum en x₀).
f(x) = x² − 4x + 3 : x₀ = −(−4)/(2×1) = 2. f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Comme a = 1 > 0, f est décroissante sur ]−∞ ; 2] puis croissante sur [2 ; +∞[, avec un minimum égal à −1 en x = 2.
| x | −∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | ↘ | −1 | ↗ | ||
La courbe représentative de f dans un repère est l'ensemble des points M(x ; f(x)) pour x décrivant Dꜰ. On la note souvent Cꜰ.
Image de x₀ : on trace la droite verticale d'équation x = x₀ jusqu'à la courbe, puis la droite horizontale jusqu'à l'axe des ordonnées ; on lit f(x₀).
Antécédent(s) de y₀ : on trace la droite horizontale d'équation y = y₀ jusqu'à la courbe, puis les droites verticales jusqu'à l'axe des abscisses ; chaque point d'intersection donne un antécédent. Il peut y avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents pour une même valeur y₀.
Pour f(x) = x² − 1 : l'image de 2 est f(2) = 4 − 1 = 3. Les antécédents de 3 vérifient x² − 1 = 3, soit x² = 4, donc x = 2 ou x = −2 : la valeur 3 a deux antécédents, 2 et −2.
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f(x) = 1/(x + 4).
f(x) est définie si et seulement si le dénominateur n'est pas nul : x + 4 ≠ 0, soit x ≠ −4.
Dꜰ = ℝ \ {−4}
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f(x) = √(2x − 6).
Il faut que l'expression sous la racine soit positive ou nulle : 2x − 6 ≥ 0, soit x ≥ 3.
Dꜰ = [3 ; +∞[
Soit f(x) = x² − 4x + 3, définie sur ℝ. Déterminer le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
a = 1 > 0, b = −4. Abscisse du sommet : x₀ = −b/(2a) = 4/2 = 2.
f(2) = 2² − 4×2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1.
Comme a > 0, f est décroissante sur ]−∞ ; 2] puis croissante sur [2 ; +∞[, avec un minimum de −1 atteint en x = 2.
| x | −∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | ↘ | −1 | ↗ | ||
Soit g(x) = −x² + 4x + 1, définie sur [−1 ; 5]. a) Dresser le tableau de variation de g. b) Calculer l'image de 1. c) Déterminer le ou les antécédent(s) de 1.
a) a = −1, b = 4. Sommet : x₀ = −4/(2×(−1)) = 2. g(2) = −4 + 8 + 1 = 5. Comme a < 0, g est croissante sur [−1 ; 2] puis décroissante sur [2 ; 5]. g(−1) = −1 − 4 + 1 = −4 et g(5) = −25 + 20 + 1 = −4.
| x | −1 | 2 | 5 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | −4 | ↗ | 5 | ↘ | −4 |
b) g(1) = −1 + 4 + 1 = 4.
c) On résout g(x) = 1 : −x² + 4x + 1 = 1, soit −x² + 4x = 0, soit x(−x + 4) = 0. Donc x = 0 ou x = 4, tous deux dans [−1 ; 5]. La valeur 1 a deux antécédents : 0 et 4.
Soit h(x) = x² − 2x − 3, définie sur [−2 ; 5]. a) Dresser le tableau de variation de h. b) Déterminer le ou les antécédent(s) de 0. c) Déterminer le ou les antécédent(s) de 5.
a) a = 1, b = −2. Sommet : x₀ = 2/2 = 1. h(1) = 1 − 2 − 3 = −4. Comme a > 0, h est décroissante sur [−2 ; 1] puis croissante sur [1 ; 5]. h(−2) = 4 + 4 − 3 = 5 et h(5) = 25 − 10 − 3 = 12.
| x | −2 | 1 | 5 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| h(x) | 5 | ↘ | −4 | ↗ | 12 |
b) h(x) = 0 : x² − 2x − 3 = 0. Discriminant Δ = (−2)² − 4×1×(−3) = 4 + 12 = 16, √Δ = 4. x = (2 ± 4)/2, soit x = 3 ou x = −1, tous deux dans [−2 ; 5]. Antécédents de 0 : −1 et 3.
c) h(x) = 5 : x² − 2x − 3 = 5, soit x² − 2x − 8 = 0. Δ = 4 + 32 = 36, √Δ = 6. x = (2 ± 6)/2, soit x = 4 ou x = −2, tous deux dans [−2 ; 5]. Antécédents de 5 : −2 et 4 (cohérent avec h(−2) = 5 trouvé en a).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble de définition d'une fonction f est :
Le domaine de définition de f(x) = 1/(x − 5) est :
Le domaine de définition de g(x) = √(x − 2) est :
f est dite croissante sur un intervalle I si :
Dans un tableau de variation, une flèche descendante (↘) signifie que la fonction est :
Pour f(x) = x² − 4x + 3, le minimum est atteint en :
L'image de x₀ par f se lit graphiquement en traçant :
Un antécédent de y₀ par f est une valeur x telle que :
Une fonction peut avoir, pour une même valeur y₀ :
Pour g(x) = −x² + 4x + 1, le sens de variation sur [−1 ; 5] est :
