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Accueil/ 4ème/ Mathématiques/ Ch. 09
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1. Constructions géométriques

Outils : règle (tracer des droites), compas (tracer des cercles, reporter des longueurs), équerre (angles droits), rapporteur (mesurer les angles).

Construire la bissectrice d'un angle avec le compas.

Construire la médiatrice d'un segment avec le compas.

Figures symétriques (axiale, centrale), images par translation.

Centre de gravité : intersection des médianes.

Orthocentre : intersection des hauteurs.

Cercle inscrit (centre I = intersection bissectrices) et cercle circonscrit (centre O = intersection médiatrices).

2. Applications du théorème de Thalès

Calcul de longueurs : AD/AB=DE/BC → DE=AD×BC/AB.

Parallélisme : réciproque de Thalès — vérifier que deux rapports sont égaux.

Milieu d'un segment : si I est milieu de [AB] et IJ∥BC alors J est milieu de [AC].

Partage d'un segment : diviser [AB] dans le rapport m:n en utilisant des parallèles.

À retenir

  • Bissectrice : compas sur l'angle
  • Médiatrice : compas sur le segment
  • Thalès : DE=AD×BC/AB
  • Partage m:n : D tel que AD=m/(m+n)×AB
1

Construction bissectrice

● Facile

Décrire les étapes pour construire la bissectrice d'un angle AOB au compas.

Correction

1. Cercle centre O, rayon r, coupe OA en M et OB en N. 2. Cercles de même rayon centres M et N, se coupent en P. 3. (OP) est la bissectrice.

2

Thalès — calcul de longueur

● Moyen

(DE)∥(BC). AD=6, DB=4, BC=20. Calculer DE et AE si AC=15.

Correction

AB=10. DE/BC=AD/AB=6/10=3/5. DE=12. AE=9.

3

Réciproque de Thalès

● Moyen

D∈[AB], E∈[AC]. AD=8, AB=20, AE=6, AC=15. (DE)∥(BC)?

Correction

AD/AB=8/20=2/5. AE/AC=6/15=2/5. Égaux → (DE)∥(BC) ✓.

4

Milieu et droite parallèle

● Moyen

I milieu de [AB], J milieu de [AC]. Montrer que (IJ)∥(BC) et IJ=BC/2. BC=14 cm.

Correction

Thalès : AI/AB=AJ/AC=1/2. Donc (IJ)∥(BC). IJ=BC/2=7 cm.

5

Partage d'un segment

● Difficile

Partager [AB] (AB=25 cm) dans le rapport 3:2. Trouver D sur [AB] tel que AD:DB=3:2.

Correction

AD=25×3/(3+2)=15 cm. DB=10 cm.

★

Problème de synthèse

● Niveau BEPC

Un topographe mesure la largeur d'une rivière.

Il place B sur une rive et C sur l'autre. Il pose D sur [AB] et E sur la perpendiculaire en A tels que (DE)∥(BC). Mesures : AD=15 m, DB=25 m, DE=12 m.

  1. AB=AD+DB. Calculer AB.
  2. Thalès : écrire le rapport.
  3. Calculer BC (largeur de la rivière).
  4. Vérifier avec la réciproque : AD/AB=DE/BC ?
  5. Si un pont doit être construit au milieu de [BC], à quelle distance de B est-il situé ?
  6. Partager la rive AB en 4 parties égales. Longueur de chaque partie.
Correction
  1. AB=40 m.
  2. AD/AB=DE/BC → 15/40=12/BC.
  3. BC=12×40/15=32 m.
  4. 15/40=0,375=12/32 ✓.
  5. BC/2=16 m.
  6. 40/4=10 m.

QCM

0Score
0/10Repondues
Q1/10

Thalès (DE)∥(BC), AD=6, AB=10, BC=15. DE=

Q2/10

Médiatrice d'un segment : perpendiculaire en son

Q3/10

Bissectrice : partage l'angle en

Q4/10

Centre du cercle inscrit=intersection des

Q5/10

Centre du cercle circonscrit=intersection des

Q6/10

I,J milieux de [AB],[AC]. IJ/BC=

Q7/10

Partager AB=30 en 2:3. AD=

Q8/10

AD=8, AB=20, AE=6, AC=15. (DE)∥(BC)?

Q9/10

AD=5, DB=10, BC=18. DE=

Q10/10

Thalès conserve les rapports car c'est une