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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 01
📚 Tous les chapitres SuivantCh. 02 — Équations et inéquations avec logarithme et…→

1. Encadrements et valeur absolue

Définitions

|x|=x si x≥0, |x|=−x si x<0. |x|<r ⟺ −r<x<r. |x|≤r ⟺ −r≤x≤r.

Encadrement : a≤x≤b. Amplitude = b−a. Arrondi à 10⁻ⁿ : encadrement de largeur 10⁻ⁿ.

Inégalité triangulaire : |a+b|≤|a|+|b|.

2. Notation scientifique

Forme a×10ⁿ

a×10ⁿ avec 1≤|a|<10 et n∈ℤ. Exemples : 3450=3,45×10³. 0,0072=7,2×10⁻³.

Opérations : (a×10ⁿ)×(b×10ᵐ)=(ab)×10ⁿ⁺ᵐ. (a×10ⁿ)/(b×10ᵐ)=(a/b)×10ⁿ⁻ᵐ.

3. Divisibilité — PGCD et PPCM

Critères et algorithme d'Euclide

a divisible par b si b|a. Critères : /2 (pair), /3 (somme chiffres), /5 (fin en 0 ou 5), /9 (somme chiffres).

PGCD par algorithme d'Euclide : PGCD(a,b)=PGCD(b, a mod b) jusqu'à reste=0.

PPCM(a,b)=a×b/PGCD(a,b).

a et b premiers entre eux ⟺ PGCD(a,b)=1.

🧠 À retenir

  • |x|<r ⟺ −r<x<r
  • Notation sci. : a×10ⁿ, 1≤|a|<10
  • Euclide : PGCD(a,b)=PGCD(b, a mod b)
  • PPCM(a,b)=ab/PGCD(a,b)
1

Valeur absolue

● Facile

Résoudre : (1) |x−3|<2. (2) |2x+1|≥5. (3) |x|+|x−4|=4.

Correction

(1) 1<x<5. (2) 2x+1≥5 ou 2x+1≤−5 → x≥2 ou x≤−3. (3) Si 0≤x≤4: x+(4−x)=4 ✓ → [0;4]. Vérifier x<0 et x>4.

2

Notation scientifique

● Facile

(1) Écrire en notation sci : 0,000456 ; 1 234 000 ; 0,1. (2) Calculer (2,4×10⁴)×(3,5×10⁻²).

Correction

(1) 4,56×10⁻⁴ ; 1,234×10⁶ ; 1×10⁻¹. (2) 8,4×10² = 840.

3

PGCD — algorithme d'Euclide

● Moyen

Calculer PGCD(252,180). En déduire PPCM(252,180).

Correction

252=1×180+72. 180=2×72+36. 72=2×36+0. PGCD=36. PPCM=252×180/36=1260.

4

Encadrements

● Moyen

(1) Encadrer √7 à 0,1 près (2²=4, 3²=9, 2,6²=6,76, 2,7²=7,29). (2) Encadrer 1/7 à 10⁻² près.

Correction

(1) 2,6<√7<2,7 (amplitude 0,1 ✓). (2) 1/7≈0,142... Encadrement: 0,14<1/7<0,15.

5

Problème de divisibilité

● Difficile

Montrer que n(n+1)(n+2) est divisible par 6 pour tout entier n≥1.

Correction

Parmi 3 entiers consécutifs, l'un est divisible par 3 → divisible par 3. L'un est pair → divisible par 2. Donc divisible par 6.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On cherche à déterminer les années bissextiles et à résoudre un problème de calendrier.

Une année est bissextile si : divisible par 4, sauf si divisible par 100 — mais si divisible par 400, elle l'est quand même.

  1. Critères : 2024 est-elle bissextile ? Et 1900 ? Et 2000 ?
  2. Nombre de jours : En 400 ans, combien d'années bissextiles ? (97 sur 400.)
  3. Exactitude : L'année tropique dure 365,2422 jours. Vérifier que le calendrier grégorien (365+97/400=365,2425) est plus précis que le julien (365,25).
  4. PGCD : Deux événements se répètent tous les 15 et 21 jours. Dans combien de jours coïncident-ils ? (PPCM.)
  5. Encadrement : Encadrer 365,2425−365,2422=0,0003 jours/an en notation scientifique. En siècles ?
  6. Application : Après combien d'années le calendrier grégorien sera-t-il décalé d'un jour entier ? (1/0,0003.)
Correction
  1. 2024: 2024/4=506 → bissextile ✓. 1900: divisible par 100 mais pas 400 → non bissextile. 2000: divisible par 400 → bissextile ✓.
  2. 400/4=100. Enlever 400/100=4. Rajouter 400/400=1. Total: 100−4+1=97 années bissextiles.
  3. Julien: 365,25. Erreur/an=|365,25−365,2422|=0,0078 jours. Grégorien: 0,0003 jours. Le grégorien est 26× plus précis.
  4. PGCD(15,21)=3. PPCM=105 jours.
  5. 0,0003=3×10⁻⁴ jours/an. En siècles: 3×10⁻² jours/siècle.
  6. 1/0,0003≈3333 ans. Le calendrier se décalera d'un jour en environ 3333 ans.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Repondues
Q1/10

Notation scientifique de 0,00560 =

Q2/10

PGCD(12,8)=

Q3/10

|x−5|<3 ⟺

Q4/10

PPCM(6,4)=

Q5/10

(3×10⁻²)×(4×10⁵)=

Q6/10

a et b premiers entre eux ⟺ PGCD(a,b)=

Q7/10

Critère de divisibilité par 9 :

Q8/10

|2x+6|=0 ⟺

Q9/10

3 entiers consécutifs sont toujours divisibles par

Q10/10

Inégalité triangulaire : |a+b|