Ch. 02 Équations et inéquations avec logarithme et exponentielle — Terminale A Maths

1. Rappels — logarithme et exponentielle

Propriétés essentielles

ln(ab)=ln a+ln b. ln(a/b)=ln a−ln b. ln(aⁿ)=n·ln a. ln(e)=1. ln(1)=0.

e^(a+b)=eᵃ·eᵇ. e^0=1. e^1=e. (eˣ)'=eˣ. (ln x)'=1/x (x>0).

ln et exp sont réciproques : e^(ln x)=x (x>0), ln(eˣ)=x.

2. Équations avec ln et exp

Méthode de résolution

Équation en eˣ : isoler eˣ, puis passer au ln. eˣ=k → x=ln k (k>0).

Équation en ln x : isoler ln x, puis appliquer exp. ln x=k → x=eᵏ.

Attention : domaine ! ln x n'existe que pour x>0.

Exemples

e^(2x)=5 → 2x=ln5 → x=ln5/2. ln(x+1)=3 → x+1=e³ → x=e³−1.

2ln x−ln(x+1)=0 → ln(x²/(x+1))=0 → x²/(x+1)=1 → x²−x−1=0.

3. Inéquations avec ln et exp

Monotonie

ln et exp sont strictement croissantes. Donc :

ln f(x)<ln g(x) ⟺ 0<f(x)<g(x). e^(f(x))<e^(g(x)) ⟺ f(x)<g(x).

Ne pas oublier les conditions de domaine (f(x)>0, g(x)>0 pour le ln).

🧠 À retenir

eˣ=k → x=ln k (k>0)
ln x=k → x=eᵏ
ln et exp croissantes → conservent l'ordre
Domaine du ln : x>0 obligatoire

Équations simples

● Facile

Résoudre : (1) eˣ=4. (2) e^(3x)=e². (3) ln x=−1. (4) ln(2x−1)=0.

Correction

(1) x=ln4. (2) 3x=2 → x=2/3. (3) x=e⁻¹=1/e. (4) 2x−1=1 → x=1.

Équations avec propriétés

● Moyen

(1) ln(x+2)+ln(x−1)=ln4. (2) 2eˣ−e^(−x)=1. (3) e^(2x)−3eˣ+2=0.

Correction

(1) ln[(x+2)(x−1)]=ln4 → x²+x−6=0 → x=2 (car x>1). (2) Mult par eˣ: 2e^(2x)−1=eˣ → 2X²−X−1=0 → X=1 (X=eˣ) ou X=−1/2 (rejeté). x=0. (3) X=eˣ: X²−3X+2=0 → X=1(x=0) ou X=2(x=ln2).

Inéquations

● Moyen

(1) ln x>2. (2) e^(x−1)≤3. (3) ln(x+1)<ln(2x−3).

Correction

(1) x>e². (2) x−1≤ln3 → x≤1+ln3. (3) Dom: x>3/2 et x>−1 → x>3/2. Puis x+1<2x−3 → x>4.

Étude de signe

● Moyen

f(x)=ln x−x+1. (1) Domaine. (2) f'(x). (3) Montrer f(x)≤0 pour tout x>0.

Correction

(1) ]0;+∞[. (2) f'=1/x−1=(1−x)/x. f'>0 si x<1, f'<0 si x>1. Max en x=1: f(1)=0. (3) f(x)≤f(1)=0 ✓. Donc ln x≤x−1.

Application — temps de doublement

● Difficile

Un capital C₀ placé à 5% par an (intérêts composés) : Cₙ=C₀×1,05ⁿ. Après combien d'années C doublera-t-il ?

Correction

1,05ⁿ=2 → n·ln(1,05)=ln2 → n=ln2/ln1,05≈0,693/0,0488≈14,2 ans.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Étude de f(x)=e^x−x−1 sur ℝ.

Dérivée : Calculer f'(x). Montrer que f est décroissante puis croissante.
Minimum : Trouver le minimum de f. En déduire eˣ≥x+1 pour tout x.
Application : En posant x=−y, déduire e^(−y)≥1−y, puis 1/(1+y)≤e^(−y)/(1−y)... Ou plus simplement : en remplaçant x par ln t, montrer que t≥1+ln t pour t>0.
Équation : Résoudre eˣ=x+1 (combien de solutions ?).
Inéquation : Résoudre eˣ>x+1.
Croissances comparées : Calculer lim[x→+∞] (eˣ−x−1)/x². (Indice : DL de eˣ.)

Correction

f'=eˣ−1. f'=0 en x=0. f'<0 pour x<0, f'>0 pour x>0.
Min en x=0: f(0)=0. Donc eˣ−x−1≥0 → eˣ≥x+1. ✓
x=ln t: e^(ln t)≥ln t+1 → t≥1+ln t ✓. Utile pour minorer ln.
eˣ=x+1 ⟺ f(x)=0. Min=0 atteint en x=0 uniquement → une seule solution x=0.
eˣ>x+1 ⟺ f(x)>0 ⟺ x≠0. Solution: ℝ\{0}.
eˣ=1+x+x²/2+o(x²). (eˣ−x−1)/x²→1/2.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Repondues

Q1/10

eˣ=7 → x=

Q2/10

ln x=3 → x=

Q3/10

ln(ab)=

Q4/10

ln est croissante donc ln a<ln b ⟺

Q5/10

Domaine de ln(2x−3)

Q6/10

e^(ln 5)=

Q7/10

ln(e⁴)=

Q8/10

Résoudre e^(2x)=1 :

Q9/10

eˣ≥x+1 pour tout x : égalité ssi

Q10/10

Intérêts composés 5%/an : C double après n=