u·v = |u||v|cosθ = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ (en base orthonormée).
u·u = |u|². u⊥v ⟺ u·v=0. |u+v|²=|u|²+2u·v+|v|².
u∧v est le vecteur tel que :
• |u∧v| = |u||v|sinθ (aire du parallélogramme engendré).
• u∧v ⊥ u et u∧v ⊥ v.
• (u, v, u∧v) est un trièdre direct.
En base orthonormée directe (i,j,k), si u=(a,b,c) et v=(d,e,f) :
u∧v = (bf−ce, cd−af, ae−bd) = det de la matrice 3×3.
u∧v = −v∧u (anticommutativité). (λu)∧v = λ(u∧v). (u+v)∧w = u∧w+v∧w.
u∧u = 0. u∧v = 0 ⟺ u et v colinéaires.
i∧j=k ; j∧k=i ; k∧i=j.
[u,v,w] = (u∧v)·w = det(u,v,w) (déterminant des 3 vecteurs).
|[u,v,w]| = volume du parallélépipède engendré par u, v, w.
[u,v,w] = 0 ⟺ u, v, w coplanaires.
Permutation circulaire : [u,v,w]=[v,w,u]=[w,u,v].
Permutation d'ordre 2 change le signe.
u=(1,0,1), v=(0,1,0), w=(1,1,0).
u∧v=(0·0−1·1, 1·1−1·0, 1·1−0·0)=(−1,1,1).
[u,v,w]=(u∧v)·w=−1+1+0=0 → coplanaires.
u=(2,1,0) et v=(1,0,3). Calculer u∧v, vérifier u·(u∧v)=0.
u∧v=(1·3−0·0, 0·1−2·3, 2·0−1·1)=(3,−6,−1). u·(u∧v)=2·3+1·(−6)+0·(−1)=6−6=0 ✓.
u=(1,2,3), v=(2,1,0), w=(1,1,1). (1) Calculer u∧v. (2) Calculer [u,v,w]. (3) u, v, w sont-ils coplanaires ?
(1) u∧v=(2·0−3·1, 3·2−1·0, 1·1−2·2)=(−3,6,−3). (2) [u,v,w]=(u∧v)·w=−3+6−3=0. (3) Oui, coplanaires.
A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). (1) Calculer AB∧AC. (2) Aire du triangle ABC. (3) Volume du tétraèdre OABC.
AB=(−1,2,0), AC=(−1,0,3). AB∧AC=(6,3,2). |AB∧AC|=√(36+9+4)=7. (2) Aire=7/2. (3) V=|[OA,AB,AC]|/6=|OA·(AB∧AC)|/6=|(1,0,0)·(6,3,2)|/6=6/6=1.
Trouver l'équation du plan passant par A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).
AB=(−1,1,0), AC=(−1,0,1). n=AB∧AC=(1,1,1) (vecteur normal). Équation : 1(x−1)+1(y)+1(z)=0 → x+y+z=1.
Montrer l'identité |u∧v|²=|u|²|v|²−(u·v)² (relation de Lagrange). En déduire |u∧v|=|u||v|sinθ.
Soit u=(a,b,c), v=(d,e,f). |u∧v|²=(bf−ce)²+(cd−af)²+(ae−bd)². Développer : après calcul =a²d²+...+a²e²+...−2(adbe+...)=(a²+b²+c²)(d²+e²+f²)−(ad+be+cf)²=|u|²|v|²−(u·v)². Or u·v=|u||v|cosθ → (u·v)²=|u|²|v|²cos²θ. Donc |u∧v|²=|u|²|v|²(1−cos²θ)=|u|²|v|²sin²θ → |u∧v|=|u||v||sinθ|. ✓
On donne A(0,0,0), B(2,0,0), C(1,√3,0), D(1,√3/3,2√6/3) — tétraèdre régulier de côté 2.
10 questions · Correction immédiate
u∧v = −v∧u est la propriété de
|u∧v| représente
u∧v=0 ⟺
i∧j =
[u,v,w]=0 ⟺
|[u,v,w]| représente
Permutation circulaire du produit mixte
u∧v en coordonnées pour u=(1,0,0), v=(0,1,0) :
Relation de Lagrange : |u∧v|²=
Équation d'un plan de vecteur normal n=(a,b,c) passant par M₀(x₀,y₀,z₀) :
