u·v = |u||v|cosθ = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ (en base orthonormée).
u·u = |u|². u⊥v ⟺ u·v=0. |u+v|²=|u|²+2u·v+|v|².
u∧v est le vecteur tel que :
• |u∧v| = |u||v|sinθ (aire du parallélogramme engendré).
• u∧v ⊥ u et u∧v ⊥ v.
• (u, v, u∧v) est un trièdre direct.
En base orthonormée directe (i,j,k), si u=(a,b,c) et v=(d,e,f) :
u∧v = (bf−ce, cd−af, ae−bd) = det de la matrice 3×3.
u∧v = −v∧u (anticommutativité). (λu)∧v = λ(u∧v). (u+v)∧w = u∧w+v∧w.
u∧u = 0. u∧v = 0 ⟺ u et v colinéaires.
i∧j=k ; j∧k=i ; k∧i=j.
[u,v,w] = (u∧v)·w = det(u,v,w) (déterminant des 3 vecteurs).
|[u,v,w]| = volume du parallélépipède engendré par u, v, w.
[u,v,w] = 0 ⟺ u, v, w coplanaires.
Permutation circulaire : [u,v,w]=[v,w,u]=[w,u,v].
Permutation d'ordre 2 change le signe.
u=(1,0,1), v=(0,1,0), w=(1,1,0).
u∧v=(0·0−1·1, 1·1−1·0, 1·1−0·0)=(−1,1,1).
[u,v,w]=(u∧v)·w=−1+1+0=0 → coplanaires.
u=(2,1,0) et v=(1,0,3). Calculer u∧v, vérifier u·(u∧v)=0.
u∧v=(1·3−0·0, 0·1−2·3, 2·0−1·1)=(3,−6,−1). u·(u∧v)=2·3+1·(−6)+0·(−1)=6−6=0 ✓.
u=(1,2,3), v=(2,1,0), w=(1,1,1). (1) Calculer u∧v. (2) Calculer [u,v,w]. (3) u, v, w sont-ils coplanaires ?
(1) u∧v=(2·0−3·1, 3·2−1·0, 1·1−2·2)=(−3,6,−3). (2) [u,v,w]=(u∧v)·w=−3+6−3=0. (3) Oui, coplanaires.
A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). (1) Calculer AB∧AC. (2) Aire du triangle ABC. (3) Volume du tétraèdre OABC.
AB=(−1,2,0), AC=(−1,0,3). AB∧AC=(6,3,2). |AB∧AC|=√(36+9+4)=7. (2) Aire=7/2. (3) V=|[OA,AB,AC]|/6=|OA·(AB∧AC)|/6=|(1,0,0)·(6,3,2)|/6=6/6=1.
Trouver l'équation du plan passant par A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).
AB=(−1,1,0), AC=(−1,0,1). n=AB∧AC=(1,1,1) (vecteur normal). Équation : 1(x−1)+1(y)+1(z)=0 → x+y+z=1.
Montrer l'identité |u∧v|²=|u|²|v|²−(u·v)² (relation de Lagrange). En déduire |u∧v|=|u||v|sinθ.
Soit u=(a,b,c), v=(d,e,f). |u∧v|²=(bf−ce)²+(cd−af)²+(ae−bd)². Développer : après calcul =a²d²+...+a²e²+...−2(adbe+...)=(a²+b²+c²)(d²+e²+f²)−(ad+be+cf)²=|u|²|v|²−(u·v)². Or u·v=|u||v|cosθ → (u·v)²=|u|²|v|²cos²θ. Donc |u∧v|²=|u|²|v|²(1−cos²θ)=|u|²|v|²sin²θ → |u∧v|=|u||v||sinθ|. ✓
On donne A(0,0,0), B(2,0,0), C(1,√3,0), D(1,√3/3,2√6/3) — tétraèdre régulier de côté 2.
10 questions · Correction immédiate
u∧v = −v∧u est la propriété de
|u∧v| représente
u∧v=0 ⟺
i∧j =
[u,v,w]=0 ⟺
|[u,v,w]| représente
Permutation circulaire du produit mixte
u∧v en coordonnées pour u=(1,0,0), v=(0,1,0) :
Relation de Lagrange : |u∧v|²=
Équation d'un plan de vecteur normal n=(a,b,c) passant par M₀(x₀,y₀,z₀) :
Exercices supplémentaires tirés du CIAM Terminale SM (Collection Inter-Africaine de Mathématiques), section « Apprentissage » du chapitre correspondant — énoncés fidèles au manuel, corrections rédigées pour ce site.
ABCDEFGH est un cube tel que (AB,AD,AE) est une base directe de l'espace. Préciser si chacune des bases suivantes est directe ou indirecte :
On munit l'espace de la base (AB,AD,AE) : A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1).
ABCDEFGH est un cube tel que (AB,AD,AE)=(i,j,k) est une base orthonormée directe. Déterminer :
Avec A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1) :
ABC est un triangle équilatéral de côté a, de centre de gravité G. Calculer en fonction de a : ||AB∧AC||, ||GB∧GC|| et ||AG∧BC||.
||AB∧AC||=AB·AC·sin60°=a²·(√3/2)=a²√3/2.
G est à distance a/√3 de chaque sommet, et l'angle en G entre deux rayons vers deux sommets vaut 120° (symétrie). ||GB∧GC||=(a/√3)²·sin120°=(a²/3)·(√3/2)=a²√3/6 (on retrouve aire(GBC)=aire(ABC)/3).
AG est porté par la médiane issue de A, confondue avec la hauteur (triangle équilatéral) : AG⊥BC. ||AG∧BC||=AG·BC·sin90°=(a/√3)·a=a²√3/3.
ABC est un triangle rectangle et isocèle en A, avec AB=AC=a ; I est le milieu de [BC]. Calculer en fonction de a : ||AB∧AC||, ||AB∧BC||, ||IA∧BC|| et ||AB∧AI||.
Repère : A(0,0), B(a,0), C(0,a) ; alors BC=(−a,a), I=(a/2,a/2).
u et v sont deux vecteurs non colinéaires ; on pose u∧v=w. Calculer en fonction de w :
Exercices d'approfondissement tirés du CIAM Terminale SM (Collection Inter-Africaine de Mathématiques), sections « Produit vectoriel » et « Approfondissement » du chapitre Calculs vectoriels — énoncés fidèles au manuel, corrections rédigées pour ce site.
L'espace est muni d'un repère orthonormé direct (O,i,j,k). Déterminer un vecteur directeur de la droite d'intersection des plans (P) et (P′) dans chacun des cas :
La droite d'intersection de deux plans non parallèles est dirigée par n∧n′, où n et n′ sont les vecteurs normaux respectifs des deux plans.
A, B, C sont trois points non alignés de l'espace orienté. Déterminer l'ensemble des points M tels que :
A, B, C sont trois points non alignés de l'espace orienté et I est le milieu de [BC]. Déterminer l'ensemble des points M tels que : MA∧MB=MC∧MA.
MA∧MB=MC∧MA ⟺ MA∧MB−MC∧MA=0 ⟺ MA∧MB+MA∧MC=0 ⟺ MA∧(MB+MC)=0.
Or MB+MC=2MI (I milieu de [BC]), donc l'équation devient MA∧MI=0, c'est-à-dire MA et MI colinéaires : M, A, I sont alignés.
L'ensemble cherché est donc la droite (AI), médiane issue de A dans le triangle ABC.
Démontrer que trois vecteurs u, v et w de l'espace sont coplanaires si et seulement si (u∧v)·w=0.
Si u et v sont colinéaires : alors u∧v=0, donc (u∧v)·w=0 est toujours vrai ; et u, v, w sont toujours coplanaires (deux vecteurs colinéaires et un troisième le sont nécessairement). L'équivalence est donc vraie dans ce cas.
Si u et v ne sont pas colinéaires : le vecteur n=u∧v est non nul et orthogonal à u et à v ; c'est donc un vecteur normal au plan vectoriel P engendré par u et v. Or w∈P (u, v, w coplanaires) si et seulement si w est orthogonal à n, c'est-à-dire n·w=0, soit (u∧v)·w=0.
Dans les deux cas : u, v, w coplanaires ⟺ (u∧v)·w=0. ∎
A, B, C sont trois points non alignés de l'espace orienté et M un point quelconque.
En développant chaque terme (MA=A−M, etc.) : MA∧MB=A∧B+M∧A−M∧B, MB∧MC=B∧C+M∧B−M∧C, MC∧MA=C∧A+M∧C−M∧A.
En sommant, les termes en M s'éliminent deux à deux, il reste u=A∧B+B∧C+C∧A, qui ne dépend plus de M. On vérifie que cette expression vaut aussi AB∧AC.
Donc ||u||=||AB∧AC||=2×aire(ABC) : ||u|| est le double de l'aire du triangle ABC. Si A, B, C sont alignés, AB et AC sont colinéaires, donc u=0 (cohérent : l'aire du triangle dégénéré est nulle).
Problèmes de synthèse tirés du CIAM Terminale SM (Collection Inter-Africaine de Mathématiques), regroupant plusieurs notions du chapitre (aire, volume, distance, coplanarité) — énoncés fidèles au manuel, corrections rédigées pour ce site.
A et B sont deux points de l'espace orienté tels que AB=6. Déterminer l'ensemble des points M tels que ||MA∧MB||=24. (On pourra utiliser l'interprétation géométrique de ||MA∧MB||.)
||MA∧MB|| est l'aire du parallélogramme construit sur MA et MB, soit le double de l'aire du triangle MAB. Or l'aire du triangle MAB vaut aussi (1/2)×AB×d, où d est la distance de M à la droite (AB).
Donc ||MA∧MB||=AB×d=6d. L'équation 6d=24 donne d=4.
L'ensemble cherché est donc le cylindre de révolution d'axe (AB) et de rayon 4.
A, B, C sont trois points non alignés de l'espace orienté.
1. En développant chaque produit (AB=B−A, etc.) : AB∧AC=(B−A)∧(C−A)=A∧B+B∧C−A∧C. De même, CA∧CB=(A−C)∧(B−C)=A∧B+B∧C−A∧C et BC∧BA=(C−B)∧(A−B)=A∧B+B∧C−A∧C. Les trois expressions sont identiques : AB∧AC=CA∧CB=BC∧BA.
2. En prenant les normes de ce même vecteur : AB·AC·sinÂ=AC·BC·sinĈ=BC·AB·sinB̂.
De AB·AC·sinÂ=BC·AB·sinB̂, en divisant par AB : AC·sinÂ=BC·sinB̂, donc BC/sinÂ=AC/sinB̂.
De AC·BC·sinĈ=BC·AB·sinB̂, en divisant par BC : AC·sinĈ=AB·sinB̂, donc AC/sinB̂=AB/sinĈ.
D'où : BC/sin = CA/sinB̂ = AB/sinĈ (théorème des sinus).
(D) et (D′) sont deux droites sécantes en O ; A et B sont deux points distincts de (D), C et D deux points distincts de (D′), tous distincts de O.
1. Notons a=MA, b=MB, c=MC, d=MD, o=MO. Comme O, A, B sont alignés, (a−o)∧(b−o)=0, soit a∧b=o∧b−o∧a. De même, O, C, D alignés donne c∧d=o∧d−o∧c. On en déduit : MA∧MB−MC∧MD=(o∧b−o∧a)−(o∧d−o∧c)=o∧[(b−a)+(c−d)]=MO∧(AB+DC), car AB=b−a et DC=c−d.
2. D'après 1., MA∧MB=MC∧MD ⟺ MO∧(AB+DC)=0. Si AB+DC≠0, cela équivaut à MO colinéaire à AB+DC, donc M appartient à la droite passant par O de direction AB+DC. (Si AB+DC=0, l'égalité est vérifiée par tout M : le lieu est alors l'espace entier.)
ABCDEFGH est un cube tel que (AB,AD,AE) est une base orthonormée directe. I est le milieu de [EF] et J est le centre du carré ADHE.
Repère : A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1) ; donc I(0,5 ; 0 ; 1) et J(0 ; 0,5 ; 0,5).
1. IG=(0,5 ; 1 ; 0), IA=(−0,5 ; 0 ; −1). IG∧IA=(−1 ; 0,5 ; 0,5). Or BJ=J−B=(−1 ; 0,5 ; 0,5) : on a bien IG∧IA=BJ. Donc aire(IGA)=(1/2)||IG∧IA||=(1/2)√(1+0,25+0,25)=(1/2)√1,5=√6/4.
2. Volume(ABIG)=(1/6)|AB·(AI∧AG)|. Avec AI∧AG=(−1 ; 0,5 ; 0,5) (même calcul) et AB=(1,0,0) : AB·(AI∧AG)=−1, d'où Volume=1/6.
Comme Volume=(1/3)×aire(IGA)×d(B,(IGA)) : 1/6=(1/3)×(√6/4)×d, d'où d=√6/3.
On admet que la distance entre deux droites non coplanaires (Δ) et (Δ′), de repères respectifs (A,u) et (A′,u′), est donnée par HH′=|AA′·(u∧u′)| / ||u∧u′||.
Application : ABCDEFGH est un cube d'arête a. Calculer la distance entre les diagonales (EG) et (CF).
Repère : A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), E(0,0,a), F(a,0,a), G(a,a,a), H(0,a,a).
(EG) a pour repère (E,u) avec u=EG=(a,a,0). (CF) a pour repère (C,u′) avec u′=CF=(0,−a,a).
u∧u′=(a²,−a²,−a²), donc ||u∧u′||=a²√3.
EC=C−E=(a,a,−a). EC·(u∧u′)=a·a²+a·(−a²)+(−a)·(−a²)=a³−a³+a³=a³.
HH′=|a³| / (a²√3)=a√3/3 (soit a/√3).
