Ch. 02 Espaces vectoriels — bases et dimensions — Terminale C Mathématiques

1. Espace vectoriel — définition

Définition axiomatique

Un ensemble E muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire (ℝ) est un espace vectoriel si :

• (E,+) est un groupe abélien (associatif, commutatif, élément neutre 0, opposé).

• Distributivité : λ(u+v)=λu+λv ; (λ+μ)u=λu+μu.

• Associativité externe : λ(μu)=(λμ)u. • 1·u=u.

Exemples : ℝⁿ, espaces de polynômes ℝₙ[X], fonctions continues C⁰([a;b]).

2. Familles de vecteurs

Liberté et liée

La famille (v₁,...,vₚ) est libre si λ₁v₁+...+λₚvₚ=0 ⟹ λ₁=...=λₚ=0.

Elle est liée s'il existe des scalaires non tous nuls tels que leur combinaison soit nulle.

Dans ℝⁿ : p vecteurs sont liés si p>n, ou si le det est nul (pour p=n).

3. Base et dimension

Définitions

Une base de E est une famille libre et génératrice (tout vecteur de E s'exprime de façon unique).

La dimension dim(E) = nombre de vecteurs dans toute base.

dim(ℝⁿ)=n. dim(ℝₙ[X])=n+1. Base canonique de ℝⁿ : (e₁,...,eₙ).

4. Sous-espace vectoriel (SEV)

Caractérisation

F⊆E est un SEV ssi : (1) 0∈F. (2) u,v∈F ⟹ u+v∈F. (3) u∈F, λ∈ℝ ⟹ λu∈F.

Équivalent : u,v∈F, λ,μ∈ℝ ⟹ λu+μv∈F (stable par combinaison linéaire).

Théorème de Grassmann : dim(F+G)=dim(F)+dim(G)−dim(F∩G).

🧠 À retenir

SEV : contient 0 et stable par comb. linéaire
Famille libre : seule comb. nulle est la triviale (tous λᵢ=0)
Base = libre + génératrice → dimension
dim(ℝⁿ)=n ; dim(ℝₙ[X])=n+1
Grassmann : dim(F+G)=dim F+dim G−dim(F∩G)

Vérification d'un SEV

● Facile

Dans ℝ³, F={(x,y,z) : x+y+z=0}. Montrer que F est un SEV.

Correction

(1) 0=(0,0,0) : 0+0+0=0 ✓. (2) u,v∈F : (x₁+y₁+z₁)+(x₂+y₂+z₂)=0+0=0 ✓. (3) λu : λ(x+y+z)=0 ✓. F est un SEV.

Famille libre ou liée

● Moyen

Dans ℝ³, v₁=(1,1,0), v₂=(0,1,1), v₃=(1,0,1). La famille est-elle libre ?

Correction

λ₁v₁+λ₂v₂+λ₃v₃=0 ⟺ système: λ₁+λ₃=0; λ₁+λ₂=0; λ₂+λ₃=0. De 1 et 3: λ₁=−λ₃ et λ₂=−λ₃. De 2: −λ₃−λ₃=0 → λ₃=0. Donc λ₁=λ₂=λ₃=0. Famille libre. (dim=3 dans ℝ³ → c'est une base.)

Dimension d'un SEV

● Moyen

F=Vect(v₁,v₂,v₃) avec v₁=(1,2,0), v₂=(0,1,1), v₃=(1,3,1). Trouver une base de F et dim(F).

Correction

v₃=v₁+v₂ (vérification: (1,2,0)+(0,1,1)=(1,3,1) ✓). Donc v₃ est combinaison de v₁,v₂. {v₁,v₂} libre? λ₁v₁+λ₂v₂=0 → λ₁=λ₂=0 ✓. Base={v₁,v₂}, dim(F)=2.

Théorème de Grassmann

● Moyen

Dans ℝ⁴, F de dim 3 et G de dim 2. (1) Dimensions possibles de F∩G. (2) Si F∩G a pour base {e₁}, que vaut dim(F+G) ?

Correction

(1) dim(F∩G)≥dim(F)+dim(G)−4=1. Donc dim(F∩G)∈{1,2}. (2) dim(F+G)=3+2−1=4. Donc F+G=ℝ⁴.

Espaces de polynômes

● Difficile

E=ℝ₂[X] (polynômes de degré ≤2). (1) dim(E). (2) Montrer que (1, X, X²) est une base. (3) Trouver les coordonnées de P=3X²−X+2 dans cette base. (4) F={P∈ℝ₂[X] : P(1)=0} est-il un SEV ? Quelle est sa dimension ?

Correction

(1) dim=3. (2) Base car libre (si a+bX+cX²=0 pour tout X alors a=b=c=0) et génératrice. (3) (2,−1,3). (4) P(1)=0: a+b+c=0. F est bien un SEV (contient 0, stable). Base de F: P₁=1−X (P₁(1)=0), P₂=1−X² (P₂(1)=0). P₁ et P₂ libres et génèrent F. dim(F)=2.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Dans E=ℝ₃[X] (polynômes de degré ≤3, dim=4), on considère :

F={P∈E : P(1)=0 et P(−1)=0} et G={P∈E : P'(0)=0}.

F est un SEV : Vérifier les deux conditions.
Base de F : Montrer que tout P∈F s'écrit P(X)=(X−1)(X+1)Q(X) avec Q∈ℝ₁[X]. En déduire une base de F et dim(F).
G est un SEV : Vérifier et trouver une base de G.
F∩G : Décrire F∩G. Quelle est sa dimension ?
Grassmann : Calculer dim(F+G) par le théorème de Grassmann.
F+G=E ? : Conclure si F+G=E, c'est-à-dire si tout polynôme de ℝ₃[X] s'écrit comme somme d'un polynôme de F et d'un polynôme de G.

Correction du problème de synthèse

0∈F (0(1)=0(−1)=0 ✓). Si P,Q∈F et λ,μ∈ℝ: (λP+μQ)(1)=λ·0+μ·0=0 ✓. F est un SEV.
P(1)=P(−1)=0 → (X−1) et (X+1) divisent P → (X²−1)|P. Donc P=(X²−1)(aX+b). Base: {X²−1, X³−X}. dim(F)=2.
P'(0)=0 avec P=a+bX+cX²+dX³: P'=b+2cX+3dX². P'(0)=b=0. G={a+cX²+dX³}. Base: {1,X²,X³}. dim(G)=3.
F∩G: P=(X²−1)(aX+b) et P'(0)=0. P=(aX³+bX²−aX−b). P'=3aX²+2bX−a. P'(0)=−a=0 → a=0. Donc P=b(X²−1). Base: {X²−1}. dim(F∩G)=1.
dim(F+G)=dim(F)+dim(G)−dim(F∩G)=2+3−1=4.
dim(F+G)=4=dim(E) → F+G=E. Tout polynôme de degré ≤3 s'écrit comme somme d'un élément de F et d'un élément de G.

QCM

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Q1/10

F⊆E est un SEV ssi

Q2/10

dim(ℝ₃[X]) (polynômes deg ≤3) =

Q3/10

Famille libre : λ₁v₁+...+λₚvₚ=0 implique

Q4/10

Base = famille

Q5/10

Grassmann : dim(F+G)=

Q6/10

Dans ℝ², les vecteurs (1,2) et (2,4) sont

Q7/10

Un SEV contient toujours

Q8/10

dim(ℝⁿ)=

Q9/10

Tout polynôme de deg ≤2 s'annulant en 0 : dim=

Q10/10

F et G SEV de E avec F∩G={0} et dim F=2, dim G=3, dim E=5 :