Ch. 10 Repérage dans le plan et l'espace — Terminale C Mathématiques

1. Repère orthonormé direct du plan

Définitions

Un repère (O;i,j) est orthonormé si |i|=|j|=1 et i·j=0.

Il est direct si (i,j) forme un trièdre direct (i∧j=k positif vers le haut).

Changement de repère : si (O';i',j') est obtenu par rotation θ et translation, les nouvelles coordonnées (x',y') s'expriment par x=x'cosθ−y'sinθ+x₀, y=x'sinθ+y'cosθ+y₀.

2. Repère orthonormé direct de l'espace

Trièdre direct

Repère (O;i,j,k) orthonormé direct : |i|=|j|=|k|=1, tous deux à deux ⊥, et i∧j=k (règle de la main droite).

Coordonnées d'un point : M(x,y,z). Vecteur OM=(x,y,z).

Distance : |MN|=√((x_N−x_M)²+(y_N−y_M)²+(z_N−z_M)²).

Rotation autour de Oz d'angle θ : matrice [[cosθ,−sinθ,0],[sinθ,cosθ,0],[0,0,1]].

3. Équations de droites et plans dans l'espace

Représentations

Droite passant par A de direction u=(l,m,n) : paramétrique x=x_A+lt, y=y_A+mt, z=z_A+nt.

Plan de vecteur normal n=(a,b,c) passant par M₀ : a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0.

Distance d'un point P au plan ax+by+cz+d=0 : |ax_P+by_P+cz_P+d|/√(a²+b²+c²).

4. Orientation et repère direct

Règle de la main droite

Un repère est direct si le déterminant de la matrice [i|j|k] est positif.

Si M tourne dans le sens trigonométrique dans le plan (i,j), k pointe vers le haut.

Changement de repère par rotation : det=1 (isométrie directe). Par symétrie : det=−1.

🧠 À retenir

Repère orthonormé direct : |i|=|j|=|k|=1, i∧j=k
Plan : a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0, normal=(a,b,c)
Distance point-plan : |ax+by+cz+d|/√(a²+b²+c²)
Droite : paramétrique (x,y,z)=A+t·u

Équation de plan

● Facile

(1) Plan passant par A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). (2) Distance de O à ce plan.

Correction

(1) AB=(−1,2,0), AC=(−1,0,3). n=AB∧AC=(6,3,2). Plan: 6(x−1)+3y+2z=0 → 6x+3y+2z=6. (2) d=|6·0+3·0+2·0−6|/√(36+9+4)=6/7.

Droite paramétrique

● Moyen

Droite D : passant par A(1,2,3) de direction u=(1,−1,2). (1) Équation paramétrique. (2) Point de D d'abscisse x=4. (3) D intersecte-t-elle le plan z=0 ?

Correction

(1) (x,y,z)=(1+t,2−t,3+2t). (2) 1+t=4 → t=3. Point: (4,−1,9). (3) 3+2t=0 → t=−3/2. Point: (−1/2,7/2,0).

Changement de repère

● Moyen

Dans le plan, rotation θ=π/4 centrée en O. Quelle est l'équation de y=1 dans le nouveau repère (x',y') ?

Correction

Changement : x=x'cos(π/4)−y'sin(π/4)=（x'−y')/√2. y=(x'+y')/√2. Condition y=1 → (x'+y')/√2=1 → x'+y'=√2.

Distance et angle entre plans

● Moyen

P₁: x+y+z=1. P₂: x+y+z=4. P₃: 2x−y+2z=0. (1) P₁ et P₂ parallèles ? Distance. (2) Angle entre P₁ et P₃.

Correction

(1) Mêmes normales (1,1,1). Parallèles. d=|1−4|/√3=3/√3=√3. (2) cos α=|n₁·n₃|/(|n₁||n₃|)=|2−1+2|/(√3·3)=3/(3√3)=1/√3. α=arccos(1/√3)≈54,7°.

Repère direct et orientation

● Difficile

On applique un changement de coordonnées M=(x,y,z)→M'=(y,z,x) (permutation cyclique). (1) Matrice M de ce changement. (2) det(M). (3) Ce repère est-il direct ? (4) Trouver les points fixes de cette transformation.

Correction

(1) M=[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]. (2) det=0(0−1)−1(0−1)+0=1. (3) det=1>0 → direct (isométrie directe, rotation). (4) (y,z,x)=(x,y,z) → y=x, z=y=x. Points fixes: x=y=z → droite x=y=z (axe de la rotation).

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Dans ℝ³ muni d'un repère orthonormé direct (O;i,j,k), on considère le plan P: 2x−y+2z=6 et la droite D: (x,y,z)=(1+2t, −t, 1+2t).

Vecteur normal à P : n=(2,−1,2). Calculer |n|.
D est-elle parallèle à P ? : Calculer u·n où u est le vecteur directeur de D.
Si non, trouver l'intersection : Substituer les paramètriques de D dans l'équation de P.
Distance du point A(0,0,0) au plan P : Utiliser la formule.
Projection orthogonale de A sur P : La droite issue de A, de direction n, coupe P au point A'.
Angle de D avec P : sin(angle)=|cos(angle(D,n))|=|u·n|/(|u||n|). Calculer cet angle.

Correction du problème de synthèse

|n|=√(4+1+4)=3.
u=(2,−1,2). u·n=4+1+4=9≠0. D n'est pas parallèle à P.
2(1+2t)−(−t)+2(1+2t)=6 → 2+4t+t+2+4t=6 → 9t=2 → t=2/9. Point: (1+4/9,−2/9,1+4/9)=(13/9,−2/9,13/9).
d=|2·0−0+2·0−6|/3=6/3=2.
Droite par A(0,0,0) de direction n=(2,−1,2): (2s,−s,2s). Dans P: 4s+s+4s=6 → 9s=6 → s=2/3. A'=(4/3,−2/3,4/3).
sin(angle)=|u·n|/(|u|·|n|)=9/(3·3)=1. Angle=π/2. D est perpendiculaire à P! (u=n=(2,−1,2) à un facteur près.)

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

Repère orthonormé direct (O;i,j,k) : i∧j =

Q2/10

Plan ax+by+cz+d=0 : vecteur normal =

Q3/10

Distance du point P(x₀,y₀,z₀) au plan ax+by+cz+d=0 =

Q4/10

Droite de direction u parallèle au plan de normal n ⟺

Q5/10

Deux plans ax+by+cz=d₁ et ax+by+cz=d₂ sont

Q6/10

Rotation d'angle θ autour de Oz : z'=

Q7/10

Changement de repère par symétrie : det =

Q8/10

Angle entre deux plans : cos α=

Q9/10

Projection de A sur le plan P : A' est tel que

Q10/10

Paramétrique (x,y,z)=(1+t,2,3−t) : direction u =