Ch. 10 Repérage dans le plan et l'espace — Terminale C Mathématiques

1. Repère orthonormé direct du plan

Définitions

Un repère (O;i,j) est orthonormé si |i|=|j|=1 et i·j=0.

Il est direct si (i,j) forme un trièdre direct (i∧j=k positif vers le haut).

Changement de repère : si (O';i',j') est obtenu par rotation θ et translation, les nouvelles coordonnées (x',y') s'expriment par x=x'cosθ−y'sinθ+x₀, y=x'sinθ+y'cosθ+y₀.

2. Repère orthonormé direct de l'espace

Trièdre direct

Repère (O;i,j,k) orthonormé direct : |i|=|j|=|k|=1, tous deux à deux ⊥, et i∧j=k (règle de la main droite).

Coordonnées d'un point : M(x,y,z). Vecteur OM=(x,y,z).

Distance : |MN|=√((x_N−x_M)²+(y_N−y_M)²+(z_N−z_M)²).

Rotation autour de Oz d'angle θ : matrice [[cosθ,−sinθ,0],[sinθ,cosθ,0],[0,0,1]].

3. Équations de droites et plans dans l'espace

Représentations

Droite passant par A de direction u=(l,m,n) : paramétrique x=x_A+lt, y=y_A+mt, z=z_A+nt.

Plan de vecteur normal n=(a,b,c) passant par M₀ : a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0.

Distance d'un point P au plan ax+by+cz+d=0 : |ax_P+by_P+cz_P+d|/√(a²+b²+c²).

4. Orientation et repère direct

Règle de la main droite

Un repère est direct si le déterminant de la matrice [i|j|k] est positif.

Si M tourne dans le sens trigonométrique dans le plan (i,j), k pointe vers le haut.

Changement de repère par rotation : det=1 (isométrie directe). Par symétrie : det=−1.

🧠 À retenir

Repère orthonormé direct : |i|=|j|=|k|=1, i∧j=k
Plan : a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0, normal=(a,b,c)
Distance point-plan : |ax+by+cz+d|/√(a²+b²+c²)
Droite : paramétrique (x,y,z)=A+t·u

Équation de plan

● Facile

(1) Plan passant par A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). (2) Distance de O à ce plan.

Correction

(1) AB=(−1,2,0), AC=(−1,0,3). n=AB∧AC=(6,3,2). Plan: 6(x−1)+3y+2z=0 → 6x+3y+2z=6. (2) d=|6·0+3·0+2·0−6|/√(36+9+4)=6/7.

Droite paramétrique

● Moyen

Droite D : passant par A(1,2,3) de direction u=(1,−1,2). (1) Équation paramétrique. (2) Point de D d'abscisse x=4. (3) D intersecte-t-elle le plan z=0 ?

Correction

(1) (x,y,z)=(1+t,2−t,3+2t). (2) 1+t=4 → t=3. Point: (4,−1,9). (3) 3+2t=0 → t=−3/2. Point: (−1/2,7/2,0).

Changement de repère

● Moyen

Dans le plan, rotation θ=π/4 centrée en O. Quelle est l'équation de y=1 dans le nouveau repère (x',y') ?

Correction

Changement : x=x'cos(π/4)−y'sin(π/4)=（x'−y')/√2. y=(x'+y')/√2. Condition y=1 → (x'+y')/√2=1 → x'+y'=√2.

Distance et angle entre plans

● Moyen

P₁: x+y+z=1. P₂: x+y+z=4. P₃: 2x−y+2z=0. (1) P₁ et P₂ parallèles ? Distance. (2) Angle entre P₁ et P₃.

Correction

(1) Mêmes normales (1,1,1). Parallèles. d=|1−4|/√3=3/√3=√3. (2) cos α=|n₁·n₃|/(|n₁||n₃|)=|2−1+2|/(√3·3)=3/(3√3)=1/√3. α=arccos(1/√3)≈54,7°.

Repère direct et orientation

● Difficile

On applique un changement de coordonnées M=(x,y,z)→M'=(y,z,x) (permutation cyclique). (1) Matrice M de ce changement. (2) det(M). (3) Ce repère est-il direct ? (4) Trouver les points fixes de cette transformation.

Correction

(1) M=[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]. (2) det=0(0−1)−1(0−1)+0=1. (3) det=1>0 → direct (isométrie directe, rotation). (4) (y,z,x)=(x,y,z) → y=x, z=y=x. Points fixes: x=y=z → droite x=y=z (axe de la rotation).

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Dans ℝ³ muni d'un repère orthonormé direct (O;i,j,k), on considère le plan P: 2x−y+2z=6 et la droite D: (x,y,z)=(1+2t, −t, 1+2t).

Vecteur normal à P : n=(2,−1,2). Calculer |n|.
D est-elle parallèle à P ? : Calculer u·n où u est le vecteur directeur de D.
Si non, trouver l'intersection : Substituer les paramètriques de D dans l'équation de P.
Distance du point A(0,0,0) au plan P : Utiliser la formule.
Projection orthogonale de A sur P : La droite issue de A, de direction n, coupe P au point A'.
Angle de D avec P : sin(angle)=|cos(angle(D,n))|=|u·n|/(|u||n|). Calculer cet angle.

Correction du problème de synthèse

|n|=√(4+1+4)=3.
u=(2,−1,2). u·n=4+1+4=9≠0. D n'est pas parallèle à P.
2(1+2t)−(−t)+2(1+2t)=6 → 2+4t+t+2+4t=6 → 9t=2 → t=2/9. Point: (1+4/9,−2/9,1+4/9)=(13/9,−2/9,13/9).
d=|2·0−0+2·0−6|/3=6/3=2.
Droite par A(0,0,0) de direction n=(2,−1,2): (2s,−s,2s). Dans P: 4s+s+4s=6 → 9s=6 → s=2/3. A'=(4/3,−2/3,4/3).
sin(angle)=|u·n|/(|u|·|n|)=9/(3·3)=1. Angle=π/2. D est perpendiculaire à P! (u=n=(2,−1,2) à un facteur près.)

QCM

10 questions · Correction immédiate

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0/10Répondues

Q1/10

Repère orthonormé direct (O;i,j,k) : i∧j =

Q2/10

Plan ax+by+cz+d=0 : vecteur normal =

Q3/10

Distance du point P(x₀,y₀,z₀) au plan ax+by+cz+d=0 =

Q4/10

Droite de direction u parallèle au plan de normal n ⟺

Q5/10

Deux plans ax+by+cz=d₁ et ax+by+cz=d₂ sont

Q6/10

Rotation d'angle θ autour de Oz : z'=

Q7/10

Changement de repère par symétrie : det =

Q8/10

Angle entre deux plans : cos α=

Q9/10

Projection de A sur le plan P : A' est tel que

Q10/10

Paramétrique (x,y,z)=(1+t,2,3−t) : direction u =

Vecteurs et milieu dans le plan

● Facile

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;i,j), on donne A(2,−1) et B(−3,4).

Calculer les coordonnées du vecteur AB.
Calculer la distance AB.
Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB].

Correction

AB=(x_B−x_A, y_B−y_A)=(−3−2, 4−(−1))=(−5,5).
AB=√((−5)²+5²)=√(25+25)=√50=5√2.
I=((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2)=((2−3)/2,(−1+4)/2)=(−1/2,3/2).

Vecteurs et milieu dans l'espace

● Facile

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O;i,j,k), on donne A(1,2,−1) et B(3,0,2).

Calculer les coordonnées du vecteur AB.
Calculer la distance AB.
Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB].

Correction

AB=(3−1, 0−2, 2−(−1))=(2,−2,3).
AB=√(2²+(−2)²+3²)=√(4+4+9)=√17.
I=((1+3)/2,(2+0)/2,(−1+2)/2)=(2,1,1/2).

Colinéarité et alignement dans le plan

● Moyen

Dans le plan, on donne les vecteurs u(3,−2) et v(−6,4).

Les vecteurs u et v sont-ils colinéaires ?
On donne A(1,1), B(4,−1), C(−2,3). Les points A, B, C sont-ils alignés ?

Correction

Deux vecteurs (a,b) et (a',b') sont colinéaires ⟺ ab'−a'b=0. Ici 3×4−(−6)×(−2)=12−12=0. u et v sont colinéaires (v=−2u).
AB=(3,−2), AC=(−3,2). Déterminant : 3×2−(−3)×(−2)=6−6=0, donc AB et AC sont colinéaires (AC=−AB) : A, B, C sont alignés.

Vecteurs colinéaires dans l'espace

● Moyen

Dans l'espace, on donne A(1,0,2), B(3,1,−1), C(−3,−2,8).

Calculer les vecteurs AB et AC.
Montrer que A, B, C sont alignés.
Déterminer les coordonnées du point D tel que AD=3·AB.

Correction

AB=(3−1,1−0,−1−2)=(2,1,−3). AC=(−3−1,−2−0,8−2)=(−4,−2,6).
AC=−2·AB, car (−4,−2,6)=−2×(2,1,−3). AB et AC sont colinéaires et de point commun A, donc A, B, C sont alignés.
AD=3AB=(6,3,−9). D=A+AD=(1+6,0+3,2−9)=(7,3,−7).

Coplanarité de trois vecteurs

● Moyen

Dans l'espace, on donne u(1,2,−1), v(0,1,3), w(2,3,−7).

Rappeler la condition de coplanarité de trois vecteurs à l'aide d'un déterminant.
Les vecteurs u, v, w sont-ils coplanaires ?

Correction

Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires si et seulement si det(u,v,w)=0 (produit mixte nul).
det=|1 2 −1; 0 1 3; 2 3 −7|. En développant selon la première colonne : 1×(1×(−7)−3×3) − 0×(2×(−7)−(−1)×3) + 2×(2×3−(−1)×1) = 1×(−16) − 0 + 2×7 = −16+14 = −2 ≠ 0. Les vecteurs u, v, w ne sont pas coplanaires.

Équation cartésienne d'une droite du plan

● Moyen

Dans le plan, on donne A(1,2) et B(4,−1).

Déterminer un vecteur directeur u de la droite (AB).
En déduire une équation cartésienne de (AB) sous la forme ax+by+c=0.
Le point C(7,−4) appartient-il à (AB) ?

Correction

u=AB=(4−1,−1−2)=(3,−3), que l'on simplifie en u=(1,−1).
Un vecteur normal associé à u=(1,−1) est n=(1,1) (car n·u=1−1=0). Équation : 1(x−1)+1(y−2)=0 → x+y−3=0.
C(7,−4) : 7+(−4)−3=0. Donc C appartient à (AB).

Plan défini par trois points

● Moyen

Dans l'espace, on donne A(1,0,0), B(0,2,1), C(1,1,3).

Calculer les vecteurs AB et AC.
Calculer n=AB∧AC, vecteur normal au plan (ABC).
En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
Le point D(3,−1,2) appartient-il à ce plan ?

Correction

AB=(0−1,2−0,1−0)=(−1,2,1). AC=(1−1,1−0,3−0)=(0,1,3).
n=AB∧AC=(2×3−1×1, 1×0−(−1)×3, (−1)×1−2×0)=(6−1, 0+3, −1−0)=(5,3,−1).
Plan (ABC) : 5(x−1)+3(y−0)−1(z−0)=0 → 5x+3y−z−5=0.
D(3,−1,2) : 5×3+3×(−1)−2−5=15−3−2−5=5≠0. D n'appartient pas au plan (ABC).

Intersection de deux plans

● Difficile

On donne les plans P₁ : x+2y−z=3 et P₂ : 2x−y+z=1.

Vérifier que P₁ et P₂ ne sont pas parallèles.
Déterminer un vecteur directeur de la droite D=P₁∩P₂ à l'aide de n₁∧n₂.
Trouver un point de D (en posant par exemple z=0).
En déduire une représentation paramétrique de D.

Correction

n₁=(1,2,−1), n₂=(2,−1,1). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (aucun k tel que n₂=k·n₁), donc P₁ et P₂ ne sont pas parallèles : ils sont sécants selon une droite D.
u=n₁∧n₂=(2×1−(−1)×(−1), (−1)×2−1×1, 1×(−1)−2×2)=(2−1, −2−1, −1−4)=(1,−3,−5).
Pour z=0 : x+2y=3 et 2x−y=1. La seconde donne y=2x−1 ; en substituant : x+2(2x−1)=3 → 5x=5 → x=1, y=1. Point A(1,1,0) (on vérifie que A∈P₁ et A∈P₂).
D : (x,y,z)=(1+t, 1−3t, −5t), t∈ℝ.

Intersection d'une droite et d'un plan

● Difficile

Soit la droite D : (x,y,z)=(2+t, −1+2t, 3−t) et le plan P : 3x−y+2z−7=0.

Substituer les coordonnées de D dans l'équation de P pour trouver t.
En déduire le point d'intersection I de D et P.
Justifier que D n'est pas incluse dans P.

Correction

3(2+t)−(−1+2t)+2(3−t)−7=0 → 6+3t+1−2t+6−2t−7=0 → (6+1+6−7)+(3t−2t−2t)=0 → 6−t=0 → t=6.
I=(2+6, −1+2×6, 3−6)=(8,11,−3).
L'équation en t admet une unique solution (le coefficient de t est −1≠0), donc D n'est pas parallèle à P et n'est pas incluse dans P : D et P se coupent en un seul point I.

Changement de repère par translation et rotation

● Difficile

Dans le plan muni du repère (O;i,j), on considère le nouveau repère (Ω;i',j') obtenu par translation de vecteur OΩ=(2,1) suivie d'une rotation d'angle θ=π/3. Les coordonnées (x,y) dans l'ancien repère et (x',y') dans le nouveau sont liées par x=x'cosθ−y'sinθ+2, y=x'sinθ+y'cosθ+1.

Écrire les formules de changement de repère avec cosθ=1/2 et sinθ=√3/2.
Le point M a pour coordonnées (x',y')=(2,0) dans le nouveau repère. Calculer ses coordonnées (x,y) dans l'ancien repère.
La droite d'équation y=1 dans l'ancien repère : déterminer son équation dans le nouveau repère (x',y').

Correction

x=x'(1/2)−y'(√3/2)+2, y=x'(√3/2)+y'(1/2)+1.
x'=2, y'=0 : x=2×(1/2)−0+2=1+2=3. y=2×(√3/2)+0+1=√3+1. M=(3, 1+√3).
y=1 → x'(√3/2)+y'(1/2)+1=1 → x'(√3/2)+y'(1/2)=0 → √3 x'+y'=0 → y'=−√3 x'.

Étude complète d'un tétraèdre

● Difficile

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct (O;i,j,k), on considère le tétraèdre ABCD avec A(1,1,1), B(3,1,2), C(1,4,2), D(2,2,5).

Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC et AD.
Calculer n=AB∧AC. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
Calculer la distance du point D au plan (ABC), ainsi que l'aire du triangle ABC (Aire=|AB∧AC|/2).
Calculer le produit mixte AB·(AC∧AD) et en déduire le volume du tétraèdre ABCD, par la formule V=|AB·(AC∧AD)|/6.
Vérifier la cohérence du résultat en utilisant la formule V=(1/3)×Aire(ABC)×d(D,(ABC)).
Le repère (A;AB,AC,AD) est-il direct ? Justifier à partir du signe du produit mixte.

Correction

AB=(2,0,1), AC=(0,3,1), AD=(1,1,4).
n=AB∧AC=(0×1−1×3, 1×0−2×1, 2×3−0×0)=(−3,−2,6). Plan (ABC) : −3(x−1)−2(y−1)+6(z−1)=0 → −3x−2y+6z−1=0, soit 3x+2y−6z+1=0.
d(D,(ABC))=|3×2+2×2−6×5+1|/√(9+4+36)=|6+4−30+1|/7=19/7. Aire(ABC)=|n|/2=√(9+4+36)/2=7/2.
AC∧AD=(3×4−1×1, 1×1−0×4, 0×1−3×1)=(11,1,−3). AB·(AC∧AD)=2×11+0×1+1×(−3)=22−3=19. V=19/6.
V=(1/3)×(7/2)×(19/7)=(1/3)×(19/2)=19/6. On retrouve le même volume : le résultat est cohérent.
Le produit mixte vaut 19>0, donc le repère (A;AB,AC,AD) est direct.

Rotation dans le plan et invariants

● Difficile

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O;i,j), on considère la rotation r de centre O et d'angle θ=π/2, qui à tout point M(x,y) associe M'(x',y') avec x'=−y, y'=x.

On donne A(3,1) et B(−2,4). Déterminer les images A'=r(A) et B'=r(B).
Calculer AB et A'B'. Comparer leurs normes. Que peut-on en déduire sur r ?
Calculer det(AB,A'B') et AB·A'B' pour vérifier que l'angle entre AB et A'B' est bien π/2.
Déterminer le point Ω tel que r(Ω)=Ω (point fixe de la rotation).
Soit C le milieu de [AB]. Calculer C, puis C'=r(C). Vérifier que C' est le milieu de [A'B'].

Correction

A'=r(A) : x'=−1, y'=3 → A'(−1,3). B'=r(B) : x'=−4, y'=−2 → B'(−4,−2).
AB=(−5,3), |AB|=√34. A'B'=(−3,−5), |A'B'|=√34. Les normes sont égales : r conserve les distances, c'est une isométrie (rotation).
det(AB,A'B')=(−5)×(−5)−(−3)×3=25+9=34. AB·A'B'=(−5)(−3)+3×(−5)=15−15=0, donc AB⊥A'B' : l'angle entre AB et A'B' est bien π/2, conforme à l'angle de la rotation.
r(Ω)=Ω ⟺ −y=x et x=y ⟹ x=y=0. Le seul point fixe est Ω=O(0,0), le centre de la rotation.
C=milieu[AB]=(1/2,5/2). C'=r(C)=(−5/2,1/2). Milieu de [A'B']=((−1−4)/2,(3−2)/2)=(−5/2,1/2)=C'. L'image du milieu est bien le milieu des images (r est une application affine).

Distance d'un point à une droite dans l'espace

● Difficile

Dans l'espace, on considère la droite D passant par A(1,0,1) de vecteur directeur u=(2,1,−2), et le point P(3,2,0).

Rappeler la formule donnant d(P,D) à l'aide du produit vectoriel : d(P,D)=|AP∧u|/|u|.
Calculer AP puis AP∧u.
En déduire d(P,D).
Déterminer le projeté orthogonal H de P sur D, avec H=A+t·u et t=(AP·u)/|u|², puis vérifier que PH=d(P,D).

Correction

d(P,D)=|AP∧u|/|u|.
AP=P−A=(2,2,−1). AP∧u=(2×(−2)−(−1)×1, (−1)×2−2×(−2), 2×1−2×2)=(−4+1, −2+4, 2−4)=(−3,2,−2).
|AP∧u|=√(9+4+4)=√17. |u|=√(4+1+4)=3. d(P,D)=√17/3.
t=(AP·u)/|u|²=(2×2+2×1+(−1)×(−2))/9=(4+2+2)/9=8/9. H=A+t·u=(1+16/9, 8/9, 1−16/9)=(25/9,8/9,−7/9). PH=H−P=(−2/9,−10/9,−7/9), |PH|=√(4+100+49)/9=√153/9=3√17/9=√17/3=d(P,D). Le résultat est cohérent.

Symétrie orthogonale par rapport à un plan

● Difficile

Dans l'espace, on considère le plan P : x+y+z=3 et le point M(4,1,2).

Déterminer la droite Δ passant par M et orthogonale à P (représentation paramétrique).
Déterminer le point H, projeté orthogonal de M sur P (intersection de Δ et P).
Déterminer les coordonnées du point M', symétrique de M par rapport à P (H milieu de [MM']).
Vérifier que d(M,P)=d(M',P) et que MM' est orthogonal à P.
Cette transformation est-elle une isométrie directe ou indirecte ? Justifier.

Correction

Δ passe par M(4,1,2) de direction n=(1,1,1) (normal à P) : (x,y,z)=(4+t,1+t,2+t).
Substitution dans P : (4+t)+(1+t)+(2+t)=3 → 7+3t=3 → t=−4/3. H=(4−4/3, 1−4/3, 2−4/3)=(8/3,−1/3,2/3).
H milieu de [MM'] ⟹ M'=2H−M=(16/3−4, −2/3−1, 4/3−2)=(4/3,−5/3,−2/3).
d(M,P)=|4+1+2−3|/√3=4/√3=4√3/3. d(M',P)=|4/3−5/3−2/3−3|/√3=|−1−3|/√3=4/√3=4√3/3. Égales. MM'=M'−M=(−8/3,−8/3,−8/3)=−(8/3)(1,1,1), colinéaire à n : MM'⊥P.
La symétrie orthogonale par rapport à un plan est une isométrie indirecte : elle inverse l'orientation de l'espace, contrairement à une rotation qui est directe.

Étude analytique d'un cube

● Difficile

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 2, avec A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(2,0,2), G(2,2,2), H(0,2,2) (ABCD face inférieure, EFGH face supérieure).

Donner les coordonnées de la grande diagonale AG et calculer sa longueur.
Calculer cos de l'angle entre (AG) et l'arête (AB).
Déterminer une équation cartésienne du plan de section (BDG).
Calculer la distance du point A à ce plan.
Le triangle BDG est-il équilatéral ? Justifier par le calcul des longueurs des côtés.

Correction

AG=(2,2,2). |AG|=√(4+4+4)=√12=2√3.
AB=(2,0,0). AG·AB=4. |AG||AB|=2√3×2=4√3. cos(angle)=4/(4√3)=1/√3=√3/3 (angle≈54,7°).
BD=D−B=(−2,2,0), BG=G−B=(0,2,2). n=BD∧BG=(2×2−0×2, 0×0−(−2)×2, (−2)×2−2×0)=(4,4,−4), soit après simplification n=(1,1,−1). Plan (BDG) : (x−2)+(y−0)−(z−0)=0 → x+y−z−2=0.
d(A,(BDG))=|0+0−0−2|/√3=2/√3=2√3/3.
BD=(−2,2,0), |BD|=√8=2√2. DG=G−D=(2,0,2), |DG|=√8=2√2. GB=B−G=(0,−2,−2), |GB|=√8=2√2. Les trois côtés sont égaux : BDG est un triangle équilatéral de côté 2√2.