Σᵢ aᵢMAᵢ² = Σaᵢ·(MA²) est minimisé au barycentre G de (Aᵢ,aᵢ) (si Σaᵢ≠0).
Par Huygens : Σaᵢ·MAᵢ²=Σaᵢ·GA²ᵢ+Σaᵢ·MG²=(Inertie)+(Σaᵢ)·MG².
Le lieu Σaᵢ·MAᵢ²=k est un cercle de centre G.
Dans un triangle ABC, la droite de Steiner associée à un point P est la réflexion de la droite OP (O=circumcentre) par rapport à la droite des angles médiants de P.
Propriété remarquable : si P est sur le cercle circonscrit, sa droite de Steiner est perpendiculaire à la droite des hauteurs.
Soit un triangle ABC inscrit dans un cercle Γ et P un point de Γ. Les pieds des perpendiculaires abaissées de P sur les trois côtés (ou leurs prolongements) de ABC sont alignés.
Cette droite est la droite de Simpson (ou Simson) de P par rapport à ABC.
Réciproque : si les trois pieds sont alignés, alors P est sur le cercle circonscrit.
Pour tout triangle ABC, il existe un cercle passant par 9 points remarquables :
• Les 3 milieux des côtés : M_a, M_b, M_c.
• Les 3 pieds des hauteurs : H_a, H_b, H_c.
• Les 3 milieux des segments [AH], [BH], [CH] (H=orthocentre).
Rayon d'Euler = R/2 (moitié du circumrayon). Centre = milieu du segment [OH] (O=circumcentre, H=orthocentre).
A(0,0), B(4,0). Lieu des M tels que MA²+MB²=20.
Barycentre G=milieu AB=(2,0). Σaᵢ=2. MA²+MB²=2MG²+Σaᵢ·GAᵢ²=2MG²+(4+4)... par Huygens: MA²+MB²=2MG²+GA²·2... Recalc: MA²=(x)²+y², MB²=(x−4)²+y². Somme=2x²−8x+16+2y²=20 → x²−4x+y²=2 → (x−2)²+y²=6. Cercle centre (2,0), rayon √6.
Triangle ABC avec A(0,0), B(4,0), C(0,3). Cercle circonscrit. P(4,3) est-il sur le cercle ? Si oui, trouver sa droite de Simson.
Cercle: diam AC? Non. Centre=(2,3/2), R=5/2. |P−centre|=|(2,3/2)|=√(4+9/4)=√(25/4)=5/2 ✓. P sur le cercle. Pied de P sur AB (axe Ox): P_AB=(4,0)=B. Pied sur AC (axe Oy): P_AC=(0,3)=C. Pied sur BC: BC : 3x+4y=12. Projection de P(4,3): pied P_BC=(4−3·(12−16)/25, 3−4·(12−16)/25)=(4+12/25,3+16/25)=(112/25,91/25). Les 3 pieds: B(4,0), C(0,3), P_BC. Vérifier alignement: droite BC passe par B et C... Les pieds B et C sont les sommets eux-mêmes → droite de Simson = BC. ✓
Triangle ABC rectangle en A, A(0,0), B(4,0), C(0,3). (1) Milieux des côtés. (2) Rayon du cercle d'Euler. (3) Centre du cercle d'Euler.
(1) M_AB=(2,0), M_AC=(0,3/2), M_BC=(2,3/2). (2) R circonscrit=5/2 (diam=hyp=5). Rayon Euler=R/2=5/4. (3) Orthocentre H=A=(0,0) (triangle rect. en A). O=centre circ.=(2,3/2). Centre Euler=milieu[OH]=(1,3/4).
A(1,0), B(−1,0), C(0,2). Lieu des M tels que 2MA²+MB²=3MC².
Posons f(M)=2MA²+MB²−3MC²=0. 2(x−1)²+2y²+(x+1)²+y²−3x²−3(y−2)²=0. Développer: 2x²−4x+2+2y²+x²+2x+1+y²−3x²−3y²+12y−12=0. (2+1−3)x²+(2+1−3)y²+(−4+2)x+12y+(2+1−12)=0. 0·x²+0·y²−2x+12y−9=0. Droite: 2x−12y+9=0. (Dégénéré: pas un cercle mais une droite car Σaᵢ=2+1−3=0.)
Pour le triangle ABC ci-dessus (ex.3), vérifier que le pied de la hauteur depuis B est sur le cercle d'Euler.
Hauteur depuis B(4,0) ⊥ AC. AC est l'axe Oy. Hauteur: y=0. Pied H_B=(0,0)=A=H. Pied de hauteur depuis C(0,3) ⊥ AB. AB: axe Ox. Hauteur: x=0. Pied H_C=(0,0)=A=H. Les pieds des hauteurs dans un triangle rect. en A coïncident avec A. Vérifier A=(0,0) sur cercle Euler centre (1,3/4) rayon 5/4: |(0,0)−(1,3/4)|=√(1+9/16)=√(25/16)=5/4 ✓.
Triangle équilatéral ABC inscrit dans le cercle de rayon R=2 centré en O(0,0). Sommets : A(2,0), B(−1,√3), C(−1,−√3).
10 questions · Correction immédiate
ΣaᵢMAᵢ²=k (Σaᵢ≠0) est un lieu =
Droite de Simson : P sur cercle ⟺ pieds des ⊥ sont
Cercle d'Euler : rayon =
Centre du cercle d'Euler =
Si Σaᵢ=0, le lieu ΣaᵢMAᵢ²=k est
Cercle d'Euler passe par
Réciproque de Simson : si pieds alignés, alors P est
Pour un triangle équilatéral, O, H, G sont
MA²+MB²+MC²=3MG²+
P est le symétrique du circumcentre O par rapport à un côté. La droite de Simson de P est
