X: P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=4)=1/4. E(X), V(X), E(3X−2).

f(x)=3x² sur [0;1]. F(x). E(X). Médiane.

X~Exp(2). P(X>1). P(1<X<3). P(X>3|X>1).

X~N(100;225). P(85<X<115). P(X>130). c tel que P(X<c)=0,975.

X₁,...,X₁₀₀ i.i.d., E=2, V=4. S=ΣXᵢ. E(S), V(S). P(180<S<220) par TCL.

X~Exp(λ) (λ>0).

1. Vérifier que f est une densité.
2. Calculer F(x) pour x≥0.
3. Prouver E(X)=1/λ par IPP.
4. Calculer E(X²)=2/λ² et V(X)=1/λ².
5. Propriété sans mémoire : P(X>s+t|X>s)=P(X>t).
6. X~Exp(1/5). P(X>8|X>5). Interpréter.

On lance deux dés non pipés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note X la variable aléatoire égale à la valeur absolue de la différence des deux nombres obtenus.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Définir la fonction de répartition F de X.
3. Calculer l'espérance mathématique E(X) et l'écart type σ(X) de X.

Une loterie consiste à lâcher une bille dans un appareil à six portes de sortie numérotées de 1 à 6, avec P(porte 1)=P(porte 6)=1/32 ; P(porte 2)=P(porte 5)=5/32 ; P(porte 3)=P(porte 4)=10/32. Un joueur mise 100 F. Il reçoit 600 F si la bille sort par la porte 1 ou 6, 200 F si elle sort par la porte 3 ou 4, rien par la porte 2 ou 5. Soit Y le gain algébrique du joueur (somme reçue moins la mise).

1. Déterminer les valeurs possibles de Y et sa loi de probabilité.
2. Le jeu est-il équitable (E(Y)=0) ?

Un tireur vise une cible. La probabilité qu'il touche la cible à chaque tir est 0,7. Il tire 3 fois de suite, les tirs étant indépendants. On note X le nombre de fois où il touche la cible.

1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Déterminer la loi de probabilité de X.
3. Calculer E(X), V(X) et σ(X).

Une urne contient 3 boules vertes, 4 boules rouges et 5 boules bleues. On tire au hasard et simultanément 2 boules de l'urne.

1. a) Calculer la probabilité de tirer deux boules vertes. b) Calculer la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.
2. Une boule bleue rapporte 1 point, une boule rouge fait perdre 1 point, une boule verte ne rapporte aucun point. Soit X le nombre total de points marqués sur le tirage. Déterminer la loi de probabilité de X, puis calculer E(X) et V(X).

On lance deux dés non pipés et on note X la somme des deux nombres obtenus.

1. a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) Calculer P(X>2).
2. On appelle succès la réalisation de (X>2) et on répète l'épreuve 6 fois de suite, indépendamment. a) Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 succès. b) Calculer la probabilité d'obtenir au plus 2 succès.

Une urne U contient une boule portant le numéro 1 et deux boules portant le numéro 2. Une urne V contient une boule portant le numéro 4 et n boules portant le numéro 3 (n entier naturel non nul). On tire au hasard une boule de U et une boule de V, indépendamment, et on note X la somme des deux numéros obtenus.

1. Déterminer, en fonction de n, la loi de probabilité de X.
2. Calculer, en fonction de n, l'espérance mathématique E(X).
3. Déterminer n pour que E(X)=59/12.
4. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle E(X)<4,8.

Une urne contient n−1 boules blanches et une boule noire. On tire au hasard, successivement et sans remise, toutes les boules de l'urne. On note X le rang du tirage auquel la boule noire est obtenue (1≤X≤n).

1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer l'espérance mathématique E(X) et l'écart type σ(X) de X.

On lance huit fois un dé non pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et on note X le nombre de multiples de 3 obtenus (c'est-à-dire le nombre de 3 ou de 6) au cours de ces huit lancers.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de X.

Un bus passe à un arrêt à intervalles réguliers de 20 minutes. Un usager arrive à cet arrêt à un instant aléatoire. On note T le temps d'attente, en minutes, avant l'arrivée du prochain bus. On admet que T suit la loi uniforme sur [0 ; 20].

1. Rappeler la densité f de T et vérifier qu'il s'agit bien d'une densité de probabilité.
2. Calculer P(T≤5) puis P(5≤T≤15).
3. Calculer E(T) et interpréter. Calculer V(T) et σ(T).
4. Sachant que l'usager a déjà attendu plus de 8 minutes, calculer P(T<12 | T>8).

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=k(4−x²) si x∈[−2 ; 2], f(x)=0 sinon, où k est un réel strictement positif.

1. Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.
2. Soit X une variable aléatoire de densité f. Déterminer la fonction de répartition F de X sur [−2 ; 2].
3. Calculer P(−1≤X≤1).
4. Justifier par symétrie que E(X)=0, puis le vérifier par le calcul.
5. Calculer V(X).

Une première urne contient huit boules vertes, dont une porte le chiffre 1, trois portent le chiffre 2 et quatre portent le chiffre 4. Une deuxième urne contient six boules rouges, dont une porte le chiffre 3, deux portent le chiffre 5 et trois portent le chiffre 6.

1. On tire au hasard une boule de chaque urne. On note X le chiffre porté par la boule verte et Y le chiffre porté par la boule rouge. a) Calculer P(X=2 et Y=6). b) Démontrer que P(X+Y≥8)=29/48.
2. On note A l'événement {X+Y≥8}. On répète dix fois de suite ce double tirage, en remettant à chaque fois les boules dans leurs urnes respectives (tirages indépendants). On note Z le nombre de réalisations de A. Calculer P(Z=5) et E(Z).

On répète une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p (p∈]0;1[), les répétitions étant indépendantes. On note X le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Vérifier que lim(n→+∞) Σ(k=1 à n) P(X=k) = 1.

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(x)=k·x·e⁻ˣ (et f(x)=0 pour x<0), où k est une constante réelle. On admet que ∫₀^(+∞) x e⁻ˣ dx=1, ∫₀^(+∞) x² e⁻ˣ dx=2 et ∫₀^(+∞) x³ e⁻ˣ dx=6 (obtenues par intégrations par parties successives).

1. Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.
2. X étant de densité f, calculer P(X≤1) et P(X≥2) (valeurs exactes puis approchées à 10⁻³ près).
3. Calculer E(X).
4. Calculer V(X).

La durée de vie, en années, d'un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre λ=0,2.

1. Rappeler la densité de T. Calculer la probabilité que le composant tombe en panne avant 5 ans.
2. Calculer la probabilité que le composant fonctionne encore après 10 ans.
3. Sachant que le composant a déjà fonctionné 5 ans sans panne, quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 10 années supplémentaires ? Quelle propriété utilise-t-on ?
4. Calculer la durée de vie moyenne E(T) et l'écart type σ(T).
5. Le fabricant garantit le composant pendant une durée t₀ telle que la probabilité de panne avant t₀ soit inférieure ou égale à 5 %. Déterminer, en mois (1 an = 12 mois), la plus grande valeur entière possible de t₀.

On considère une variable aléatoire continue X dont la fonction de répartition F est définie par : F(x)=0 si x<0 ; F(x)=x²/4 si 0≤x<2 ; F(x)=1 si x≥2.

1. Vérifier que F est bien une fonction de répartition valide (continuité, croissance, limites).
2. En déduire la densité f de X.
3. Calculer P(1≤X≤1,5).
4. Calculer E(X) et V(X).
5. Déterminer la médiane m de X.