Ch. 23 Variables aléatoires — discrète et continue — Terminale C Maths

1. VA discrète

Espérance et variance

E(X)=Σxᵢpᵢ. V(X)=E(X²)−[E(X)]² (König-Huygens).

cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y). X,Y indép. → V(X+Y)=V(X)+V(Y).

2. VA continue

Densité et répartition

f densité : f≥0, ∫f=1. P(a≤X≤b)=∫_a^b f(x)dx. F'=f.

E(X)=∫xf(x)dx. Médiane : F(m)=1/2.

3. Lois continues

LoiEV U[a;b](a+b)/2(b−a)²/12 Exp(λ)1/λ1/λ² N(μ,σ²)μσ²

Normale et TCL

Z=(X−μ)/σ~N(0,1). Règle 68-95-99,7%.

TCL : S=X₁+...+Xₙ≈N(nμ,nσ²) pour n grand.

À retenir

V(X)=E(X²)−[E(X)]² ; X,Y indép. → V(X+Y)=V(X)+V(Y)
Exp(λ) sans mémoire : P(X>s+t|X>s)=P(X>t)
Normale : Z=(X−μ)/σ ; règle 68-95-99,7%

VA discrète

● Facile

X: P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=4)=1/4. E(X), V(X), E(3X−2).

Correction

E=3/2. V=9/4. E(3X−2)=5/2.

VA continue

● Moyen

f(x)=3x² sur [0;1]. F(x). E(X). Médiane.

Correction

F(x)=x³. E=3/4. m=2^(−1/3)≈0,794.

Loi exponentielle

● Moyen

X~Exp(2). P(X>1). P(1<X<3). P(X>3|X>1).

Correction

e⁻²≈0,135. e⁻²−e⁻⁶≈0,133. P(X>2)=e⁻⁴≈0,018 (sans mémoire).

Loi normale

● Moyen

X~N(100;225). P(85<X<115). P(X>130). c tel que P(X<c)=0,975.

Correction

68%. 2,5%. c≈129,4.

Somme de VA — TCL

● Difficile

X₁,...,X₁₀₀ i.i.d., E=2, V=4. S=ΣXᵢ. E(S), V(S). P(180<S<220) par TCL.

Correction

E=200, V=400, σ=20. P(−1<Z<1)≈68%.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

X~Exp(λ) (λ>0).

Vérifier que f est une densité.
Calculer F(x) pour x≥0.
Prouver E(X)=1/λ par IPP.
Calculer E(X²)=2/λ² et V(X)=1/λ².
Propriété sans mémoire : P(X>s+t|X>s)=P(X>t).
X~Exp(1/5). P(X>8|X>5). Interpréter.

Correction

∫₀^∞λe^(−λx)dx=1, f≥0 ✓.
F(x)=1−e^(−λx).
IPP: E=∫₀^∞xλe^(−λx)dx=1/λ.
IPP: E(X²)=2/λ². V=1/λ².
P(X>s+t)/P(X>s)=e^(−λt)=P(X>t) ✓.
P(X>3)=e^(−3/5)≈55%. Le passé n'affecte pas l'avenir.

QCM

10 questions

0Score

0/10Repondues

Q1/10

V(X)=E(X²)−[E(X)]² s'appelle

Q2/10

X,Y indép. → V(X+Y)=

Q3/10

F'(x)=

Q4/10

U[a;b] : E(X)=

Q5/10

Exp(λ) sans mémoire : P(X>s+t|X>s)=

Q6/10

Normale N(μ,σ²) : Z=

Q7/10

Règle 95% : P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈

Q8/10

Médiane m : F(m)=

Q9/10

P(X=a) pour X continue=

Q10/10

TCL : pour n grand, S≈