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1. Logarithme népérien — définition et propriétés

Définition

La fonction ln est l'unique primitive de x ↦ 1/x sur ]0;+∞[ qui s'annule en 1.

Autrement dit : ln(1)=0 et (ln x)'=1/x pour tout x>0.

ln est définie sur ]0;+∞[, strictement croissante, concave (ln''=−1/x²<0).

Propriétés algébriques

Pour a, b > 0 et r ∈ ℝ :

ln(ab) = ln a + ln b  •  ln(a/b) = ln a − ln b  •  ln(aʳ) = r·ln a

ln(1/a) = −ln a  •  ln(1) = 0  •  ln(e) = 1

2. Dérivées et primitives

f(x)f'(x) ln x (x>0)1/x ln|x| (x≠0)1/x ln(u(x)) (u>0)u'(x)/u(x) ln|u(x)| (u≠0)u'/u
Primitives importantes

∫ 1/x dx = ln|x| + C  •  ∫ u'/u dx = ln|u| + C

∫ 1/(ax+b) dx = (1/a)·ln|ax+b| + C

∫ tan x dx = −ln|cos x| + C = ln|sec x| + C

3. Limites fondamentales

Résultats à connaître

• lim[x→0⁺] ln x = −∞  •  lim[x→+∞] ln x = +∞

• lim[x→0⁺] x·ln x = 0 (croissance comparée)

• lim[x→+∞] ln x / x = 0 (croissance comparée)

• lim[x→0] ln(1+x)/x = 1 (équivalent fondamental)

• ln x ~ x − 1 quand x → 1

4. Logarithme de base a et logarithme décimal

Définitions

log_a(x) = ln x / ln a (a>0, a≠1).

log₁₀(x) = ln x / ln 10 ≈ ln x / 2,303 (logarithme décimal).

(log_a x)' = 1/(x·ln a).

Changement de base : log_a(x) = log_b(x) / log_b(a).

🧠 À retenir

  • ln(ab)=ln a+ln b ; ln(aʳ)=r·ln a ; ln(1)=0 ; ln(e)=1
  • (ln u)'=u'/u ; ∫u'/u dx=ln|u|+C
  • lim[x→0⁺] x·ln x=0 ; lim[x→+∞] ln x/x=0
  • lim[x→0] ln(1+x)/x=1
  • log_a(x) = ln x / ln a
1

Dérivées avec logarithme

● Facile

Calculer la dérivée de :

  1. f(x) = ln(x²+1)
  2. g(x) = x·ln x − x
  3. h(x) = ln|sin x|
  4. k(x) = [ln(x)]²
Correction
  1. f'=2x/(x²+1).
  2. g'=ln x + x·(1/x)−1=ln x.
  3. h'=cos x/sin x=cot x.
  4. k'=2ln(x)·(1/x)=2ln(x)/x.
2

Primitives avec logarithme

● Moyen
  1. ∫ x/(x²+3) dx
  2. ∫ (2x+1)/(x²+x+1) dx
  3. ∫ 1/(3x−2) dx
Correction
  1. (1/2)ln(x²+3)+C.
  2. Num=dérivée du den : ln|x²+x+1|+C.
  3. (1/3)ln|3x−2|+C.
3

Limites avec logarithme

● Moyen
  1. lim[x→+∞] (ln x)² / x
  2. lim[x→0⁺] x² ln x
  3. lim[x→1] (ln x)/(x²−1)
Correction
  1. Posons t=ln x, x=eᵗ, t→+∞: t²/eᵗ→0 (croissance comparée). Limite=0.
  2. x²ln x → 0 (croissance comparée, α=2). Limite=0.
  3. lim[x→1] ln x/(x²−1). 0/0. L'Hôpital: (1/x)/(2x)→1/2. Limite=1/2.
4

Équations logarithmiques

● Moyen
  1. ln(x+2)+ln(x−1)=ln(4)
  2. 2ln x − ln(x+3) = 0
  3. log₁₀(x)+log₁₀(x−3)=1
Correction
  1. Dom: x>1. ln[(x+2)(x−1)]=ln4 → (x+2)(x−1)=4 → x²+x−6=0 → x=2 ou x=−3. Seul x=2 convient. x=2.
  2. Dom: x>0 et x>−3, soit x>0. ln(x²/(x+3))=0 → x²=x+3 → x²−x−3=0 → x=(1+√13)/2 ✓. x=(1+√13)/2.
  3. Dom: x>3. log₁₀[x(x−3)]=1 → x(x−3)=10 → x²−3x−10=0 → x=5 ou x=−2. Seul x=5. x=5.
5

Étude d'une fonction logarithmique

● Difficile

Soit f(x)=x−ln x définie sur ]0;+∞[.

  1. Calculer f'(x) et étudier les variations.
  2. Montrer que f a un minimum. Valeur du minimum.
  3. Montrer que f(x)≥1 pour tout x>0 (inégalité classique : ln x ≤ x−1).
Correction
  1. f'=1−1/x=(x−1)/x. f'>0 si x>1, f'<0 si 0<x<1. Décroissante sur ]0;1], croissante sur [1;+∞[.
  2. Minimum en x=1: f(1)=1−ln1=1−0=1.
  3. f(x)≥f(1)=1 → x−ln x≥1 → ln x≤x−1 ∀x>0. ✓
★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Soit f(x) = ln x / x définie sur ]0;+∞[.

  1. Limites : Calculer lim[x→0⁺] f(x) et lim[x→+∞] f(x).
  2. Variations : Calculer f'(x). Étudier le signe de f' et dresser le tableau de variations complet.
  3. Maximum : Trouver le maximum de f et sa position.
  4. Comparaison : En déduire que pour tout x > 0 : ln x ≤ x/e. Puis que pour a, b > 0 : ln(aᵇ) ≤ aᵇ/e, soit b·ln a ≤ aᵇ/e.
  5. Graphique : La droite y = 1/e est-elle une asymptote ? La droite y = 0 ?
  6. Intégrale : Calculer ∫₁ᵉ (ln x)/x dx à l'aide d'une substitution u = ln x.
Correction
  1. lim[x→0⁺] ln x/x = −∞/0⁺ = −∞. lim[x→+∞] ln x/x = 0 (croissance comparée).
  2. f'(x) = (1/x·x − ln x)/x² = (1−ln x)/x². f'>0 si ln x<1, i.e. x<e. f'<0 si x>e. Croissante sur ]0;e], décroissante sur [e;+∞[.
  3. Maximum en x=e : f(e)=ln(e)/e=1/e.
  4. f(x)≤1/e → ln x/x ≤ 1/e → ln x ≤ x/e ∀x>0. Application : ln(aᵇ)=b·ln a ≤ aᵇ/e.
  5. y=0 est une asymptote horizontale en +∞. y=1/e n'est pas une asymptote (c'est la valeur maximale).
  6. u=ln x, du=dx/x. x=1→u=0, x=e→u=1. ∫₁ᵉ (ln x)/x dx = ∫₀¹ u du = [u²/2]₀¹ = 1/2.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

(ln x)' :

Q2/10

ln(ab) :

Q3/10

∫ u'/u dx :

Q4/10

lim[x→0⁺] x·ln x :

Q5/10

lim[x→0] ln(1+x)/x :

Q6/10

ln(x³) vaut :

Q7/10

log_a(x) en fonction de ln :

Q8/10

lim[x→+∞] ln x / x :

Q9/10

Primitive de 1/(2x+1) :

Q10/10

Minimum de f(x)=x−ln x sur ]0;+∞[ :