1. f'=2x·e^(x²−3).
2. g'=2xe^(−x)+(x²+1)(−e^(−x))=(x−1)²·(−1)... Recalc: g'=2xe^(−x)−(x²+1)e^(−x)=e^(−x)(2x−x²−1)=−e^(−x)(x−1)².
3. h'=e^x(e^x+1)−e^x·e^x)/(e^x+1)²=e^x/(e^x+1)².
4. k'=cos x·e^(sin x).

1. x²e^(−x)=x²/eˣ → 0 (croissance comparée). 0.
2. x→−∞, eˣ→0. Posons t=−x→+∞: x·eˣ=−t·e^(−t)→0. 0.
3. (e^(2x)−1)/x = 2·(e^(2x)−1)/(2x) → 2×1=2.

1. x+1=3−x → 2x=2 → x=1.
2. Posons X=eˣ: X²−3X+2=0 → X=1 (x=0) ou X=2 (x=ln2). S={0;ln2}.
3. f'=eˣ−2=0 → x=ln2. f(ln2)=2−2ln2−1=1−2ln2>0 (ln2≈0,693<0,5). f min>0 → f(x)>0 pour tout x∈ℝ.

1. (1/3)e^(3x+1)+C.
2. Posons u=x²: (1/2)e^(x²)+C.
3. Posons u=eˣ+1: ln(eˣ+1)+C.

1. N(T₁/₂)=N₀/2 → e^(−kT)=1/2 → k=ln2/T₁/₂=ln2/1600≈4,33×10⁻⁴ an⁻¹.
2. −N'(t)/N(t)=k (constante). Le taux de désintégration est constant.
3. e^(−kt)=0,1 → kt=ln10 → t=ln10/k=ln10·T₁/₂/ln2=2,303×1600/0,693≈5315 ans.

e^(3x+1) = 7 ⟺ 3x+1 = ln7 (ln est la fonction réciproque de exp). Donc 3x = ln7 − 1, soit x = (ln7 − 1)/3.

f est dérivable sur ]0;+∞[ comme produit de deux fonctions dérivables : u(x)=e^(2x), u'(x)=2e^(2x), et v(x)=ln x, v'(x)=1/x.

f'(x) = u'v + uv' = 2e^(2x)·ln x + e^(2x)·(1/x) = e^(2x)(2ln x + 1/x).

On factorise par eˣ : e^(2x) − eˣ = eˣ(eˣ − 1). Quand x→+∞, eˣ→+∞ et (eˣ−1)→+∞ : produit de deux limites +∞.

lim[x→+∞] (e^(2x) − eˣ) = +∞.

1. Quand x→−∞ : e^(2x)→0 et −x→+∞, donc lim[x→−∞] f(x) = +∞.
2. f(x) = e^(2x)[1 − (x+4)e^(−2x)]. Par croissances comparées, (x+4)e^(−2x)→0 quand x→+∞, donc le crochet tend vers 1 tandis que e^(2x)→+∞. Ainsi lim[x→+∞] f(x) = +∞.
3. f est dérivable sur ℝ comme somme de fonctions dérivables. f'(x) = 2e^(2x) − 1. f'(x)=0 ⟺ e^(2x)=1/2 ⟺ x = −(ln2)/2. f'(x)<0 sur ]−∞;−(ln2)/2[, f'(x)>0 sur ]−(ln2)/2;+∞[ : f décroît puis croît, avec un minimum en x₀=−(ln2)/2, f(x₀) = 1/2 + (ln2)/2 − 4 = (ln2−7)/2 ≈ −3,15.
4. f(x) − (−x−4) = e^(2x)−x−4+x+4 = e^(2x). Or lim[x→−∞] e^(2x) = 0, donc (D): y=−x−4 est asymptote à (𝒞) en −∞. Comme e^(2x)>0 pour tout x, (𝒞) est toujours au-dessus de (D).

1. f est dérivable sur ℝ. f'(x) = 2e^(2x) − 2eˣ = 2eˣ(eˣ−1). Comme eˣ>0 pour tout x, le signe de f' est celui de (eˣ−1) : négatif si x<0, positif si x>0. f décroît sur ]−∞;0] puis croît sur [0;+∞[, avec un minimum f(0) = 1 − 2 = −1.
2. e^(x₀)=e^(−ln2)=1/2, donc e^(2x₀)=1/4. f(x₀) = 1/4 − 2×(1/2) = −3/4. f'(x₀) = 2×(1/4) − 2×(1/2) = −1/2. La tangente est y = f'(x₀)(x−x₀) + f(x₀) = −1/2(x+ln2) − 3/4, soit (T) : y = −(1/2)x − (ln2)/2 − 3/4.
3. g(x) = e^(2x) − 2eˣ + (1/2)x + (1/2)ln2 + 3/4. g'(x) = 2e^(2x) − 2eˣ + 1/2. g''(x) = 4e^(2x) − 2eˣ = 2eˣ(2eˣ−1). Comme eˣ>0, le signe de g''(x) est celui de (2eˣ−1) : g''(x)<0 pour x<−ln2, g''(x)>0 pour x>−ln2 (car 2eˣ=1 ⟺ x=−ln2). Donc g' décroît puis croît, avec un minimum en x=−ln2 : g'(−ln2) = 2×(1/4) − 2×(1/2) + 1/2 = 0. Le minimum de g' vaut 0, donc g'(x) ≥ 0 pour tout x : g est croissante sur ℝ.
4. Par construction, g(x) = f(x) − [ordonnée de (T) en x]. On a g(−ln2) = f(−ln2) + 0 + 3/4 = −3/4+3/4 = 0. Comme g est croissante et g(−ln2)=0 : g(x)<0 pour x<−ln2 et g(x)>0 pour x>−ln2. Donc (𝒞_f) est en-dessous de (T) sur ]−∞;−ln2[, la coupe au point d'abscisse −ln2 (point d'inflexion), puis reste au-dessus de (T) sur ]−ln2;+∞[.

La fonction ln est définie sur ]0;+∞[, donc il faut x>0. L'équation ln x = −2 équivaut à x = e^(−2) (ln et exp sont réciproques l'une de l'autre).

Comme e^(−2) > 0, cette valeur appartient bien au domaine. S = {e^(−2)} = {1/e²}.

1. On cherche deux nombres de somme −1 et de produit −6 : 2 et −3 conviennent. Donc x² + x − 6 = (x−2)(x+3).
2. Le domaine de validité est x>0. On pose t = ln x. L'inéquation devient t² + t − 6 ≤ 0, soit (t−2)(t+3) ≤ 0 (même factorisation, avec t à la place de x), c'est-à-dire −3 ≤ t ≤ 2. On revient à x : −3 ≤ ln x ≤ 2 ⟺ e^(−3) ≤ x ≤ e² (fonction exp croissante). S = [e^(−3) ; e²].

On pose X = eˣ, avec X>0. L'inéquation devient 2X² + 5X − 3 ≤ 0.

Discriminant : Δ = 25 + 24 = 49 = 7². Racines : X = (−5+7)/4 = 1/2 et X = (−5−7)/4 = −3. Donc 2X²+5X−3 = 2(X − 1/2)(X + 3).

Ce trinôme est négatif ou nul entre ses racines : −3 ≤ X ≤ 1/2. En tenant compte de la contrainte X>0, il reste 0 < X ≤ 1/2.

On revient à x : eˣ ≤ 1/2 ⟺ x ≤ ln(1/2) = −ln 2 (exp croissante ; la contrainte X>0 est toujours vérifiée).

S = ]−∞ ; −ln 2].

On écrit : 1/(eˣ+1) = (eˣ+1−eˣ)/(eˣ+1) = 1 − eˣ/(eˣ+1). Donc f(x) = 1 − g(x) avec g(x) = eˣ/(eˣ+1).

Or g est de la forme u'/u avec u(x)=eˣ+1 (u>0, u'(x)=eˣ), donc g admet pour primitive ln(u) = ln(eˣ+1).

Une primitive de f sur ℝ est donc F(x) = x − ln(eˣ+1) + C, C∈ℝ.

1. F est dérivable sur ℝ comme produit de fonctions dérivables : F'(x) = (2αx+β)e^(2x) + (αx²+βx+γ)·2e^(2x) = e^(2x)[2αx² + (2α+2β)x + (β+2γ)]. On identifie avec f(x) = (x²+0·x−4)e^(2x) : 2α=1, 2α+2β=0, β+2γ=−4. De la première : α=1/2. De la deuxième : β=−α=−1/2. De la troisième : 2γ=−4−β=−4+1/2=−7/2, donc γ=−7/4. α=1/2, β=−1/2, γ=−7/4, soit F(x) = (x²/2 − x/2 − 7/4)e^(2x).
2. La primitive générale de f est F(x)+C. F(0) = (0−0−7/4)×1 = −7/4. On veut G(0)=0, donc C=7/4. G(x) = (x²/2 − x/2 − 7/4)e^(2x) + 7/4.

1. Quand x→ln2⁻, eˣ→2⁻ donc eˣ−2→0⁻ et eˣ/(2(eˣ−2))→−∞, donc f(x)→−∞. Quand x→ln2⁺, eˣ−2→0⁺ donc f(x)→+∞. La droite x=ln2 est bien asymptote verticale à (𝒞).
2. a) Quand x→−∞, eˣ→0, donc eˣ−2→−2 et eˣ/(2(eˣ−2))→0/(−4)=0. Donc f(x)−x→0, et comme x→−∞, lim[x→−∞] f(x) = −∞. b) f(x)−x = eˣ/(2(eˣ−2)) → 0 quand x→−∞ (calcul ci-dessus). Donc (D₁): y=x est asymptote à (𝒞) en −∞.
3. a) eˣ/(2(eˣ−2)) = [(eˣ−2)+2] / [2(eˣ−2)] = 1/2 + 1/(eˣ−2). Donc pour x≠ln2, f(x) = x + 1/2 + 1/(eˣ−2). b) Quand x→+∞, eˣ−2→+∞ donc 1/(eˣ−2)→0 ; ainsi f(x)−(x+1/2) → 0, donc (D₂): y=x+1/2 est asymptote à (𝒞) en +∞, et lim[x→+∞] f(x) = +∞. c) f'(x) = 1 − eˣ/(eˣ−2)² (dérivée de x+1/2+1/(eˣ−2), avec [1/(eˣ−2)]' = −eˣ/(eˣ−2)²). En réduisant au même dénominateur : f'(x) = [(eˣ−2)² − eˣ]/(eˣ−2)². Or (eˣ−2)² − eˣ = e^(2x) − 4eˣ + 4 − eˣ = e^(2x) − 5eˣ + 4 = (eˣ−1)(eˣ−4) (en posant X=eˣ : X²−5X+4=(X−1)(X−4)). Donc f'(x) = (eˣ−1)(eˣ−4)/(eˣ−2)².
4. Le dénominateur (eˣ−2)² est strictement positif (x≠ln2). Le signe de f'(x) est donc celui de (eˣ−1)(eˣ−4). eˣ−1=0 ⟺ x=0 ; eˣ−4=0 ⟺ x=ln4=2ln2. Comme 0<ln2<2ln2, on obtient : f'(x)>0 sur ]−∞;0[ (les deux facteurs négatifs) ; f'(x)<0 sur ]0;ln2[∪]ln2;2ln2[ (un facteur positif, l'autre négatif) ; f'(x)>0 sur ]2ln2;+∞[ (les deux facteurs positifs). f est donc croissante sur ]−∞;0], décroissante sur [0;ln2[ puis sur ]ln2;2ln2], et croissante sur [2ln2;+∞[, avec un maximum local en x=0 (f(0)=1/2−1=−1/2) et un minimum local en x=2ln2 (f(2ln2)=2ln2+1/2+1/2=2ln2+1).

1. f est dérivable sur ℝ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule jamais (eˣ+1>0). f'(x) = [2e^(2x)(eˣ+1) − e^(2x)·eˣ]/(eˣ+1)² = [2e^(3x)+2e^(2x)−e^(3x)]/(eˣ+1)² = [e^(3x)+2e^(2x)]/(eˣ+1)² = e^(2x)(eˣ+2)/(eˣ+1)². Tous les facteurs sont strictement positifs, donc f'(x)>0 pour tout x : f est strictement croissante sur ℝ.
2. a) f(x) − g(x) = e^(2x)/(eˣ+1) − (eˣ−1) = [e^(2x) − (eˣ−1)(eˣ+1)]/(eˣ+1) = [e^(2x) − (e^(2x)−1)]/(eˣ+1) = 1/(eˣ+1). Quand x→+∞, eˣ+1→+∞ donc 1/(eˣ+1)→0 : lim[x→+∞] [f(x)−g(x)] = 0, donc (Γ) est asymptote à (𝒞) en +∞. b) Comme eˣ+1>0 pour tout x, on a f(x)−g(x) = 1/(eˣ+1) > 0 pour tout x ∈ ℝ : (𝒞) est toujours strictement au-dessus de (Γ), sur ℝ tout entier.
3. (Γ), courbe de g(x)=eˣ−1, s'obtient à partir de la courbe de exp par la translation de vecteur (0;−1) (un déplacement d'une unité vers le bas). (𝒞) reste toujours au-dessus de (Γ) (d'après 2b), en se rapprochant de (Γ) quand x→+∞ (l'écart 1/(eˣ+1) tend vers 0). Quand x→−∞, eˣ→0 donc e^(2x)→0 et eˣ+1→1, donc f(x)→0 : (𝒞) admet la droite y=0 comme asymptote horizontale en −∞.

1. f est la composée de u : x↦1−eˣ (strictement décroissante sur ℝ, car eˣ est strictement croissante) suivie de exp (strictement croissante) : la composée f est donc strictement décroissante sur ℝ. (On vérifie aussi : f'(x) = −eˣ·e^(1−eˣ) < 0 pour tout x.) Limites : quand x→−∞, eˣ→0 donc 1−eˣ→1 et f(x)→e¹=e ; quand x→+∞, eˣ→+∞ donc 1−eˣ→−∞ et f(x)→0. f(0)=e^(1−1)=e⁰=1. f est donc une bijection strictement décroissante de ℝ sur ]0;e[, dont la courbe admet les asymptotes horizontales y=e en −∞ et y=0 en +∞, et passe par le point (0;1).
2. En posant X=eˣ (X>0), (E) devient −X²+X+2=0, soit X²−X−2=0. Discriminant Δ=1+8=9=3². Racines X=(1+3)/2=2 ou X=(1−3)/2=−1. Seule X=2 convient (X>0). Donc eˣ=2, soit x=ln2 (solution algébrique unique). Graphiquement, (E) équivaut à eˣ=2 : on lit sur la courbe de la fonction exponentielle l'abscisse du point d'ordonnée 2, ce qui donne une valeur approchée x≈0,7, cohérente avec la valeur exacte ln2≈0,693.
3. (E') équivaut à m = e^(2x)−eˣ, soit, avec X=eˣ>0, à m=X²−X=φ(X). Étude de φ sur ]0;+∞[ : φ'(X)=2X−1, nul en X=1/2, négatif avant, positif après ; φ(1/2)=1/4−1/2=−1/4 (minimum) ; φ(X)→0 quand X→0⁺ ; φ(X)→+∞ quand X→+∞ ; φ(1)=0. Donc φ décroît de 0 (exclu) à −1/4 sur ]0;1/2], puis croît de −1/4 à +∞ sur [1/2;+∞[. Chaque solution X>0 de φ(X)=m correspond à une unique solution x=lnX de (E'). On en déduit, selon m : si m<−1/4 : aucune solution ; si m=−1/4 : une unique solution (x=−ln2) ; si −1/4<m<0 : deux solutions ; si m≥0 : une unique solution (cohérent avec la question 2, où m=2≥0 donnait l'unique solution x=ln2).

1. a) g est dérivable sur ℝ, g'(x)=2e^(2x)−2=2(e^(2x)−1). g'(x)=0 ⟺ x=0 ; g'(x)<0 pour x<0, g'(x)>0 pour x>0. g décroît sur ]−∞;0], puis croît sur [0;+∞[, avec un minimum g(0)=1−0−1=0. b) Le minimum de g valant 0, on a g(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ, avec égalité seulement en x=0.

2. a) f est dérivable sur ℝ comme somme et produit de fonctions dérivables. f'(x) = e^(−2x) − 2(x+1)e^(−2x) + 1 = e^(−2x)[1−2(x+1)] + 1 = e^(−2x)(−2x−1) + 1. En mettant au même dénominateur e^(2x) : f'(x) = [e^(2x) − (2x+1)]/e^(2x) = [e^(2x)−2x−1]/e^(2x) = e^(−2x)·g(x), avec g la fonction de la question 1. Comme g(x)≥0 pour tout x et e^(−2x)>0, on a f'(x)≥0 pour tout x (égalité seulement en x=0) : f est strictement croissante sur ℝ. Limites : quand x→+∞, (x+1)e^(−2x)→0 (croissance comparée) donc f(x)→+∞ ; quand x→−∞, en posant t=−x→+∞, (x+1)e^(−2x)=(1−t)e^(2t)→−∞ (le terme exponentiel l'emporte), donc f(x)→−∞. b) f est continue et strictement croissante sur ℝ, avec pour limites −∞ et +∞ : f est donc une bijection de ℝ sur ℝ. f⁻¹ est dérivable en tout point y=f(x) tel que f'(x)≠0, c'est-à-dire partout sauf au point y=f(0)=2 (f(0)=1·1+0+1=2). (𝒞) est une courbe strictement croissante passant par (0;2) avec une tangente horizontale en ce point (f' s'annule sans changer de signe) ; (𝒞'), symétrique de (𝒞) par rapport à la droite d'équation y=x, passe par le point (2;0) avec une tangente verticale en ce point.

3. a) Pour x≥−1, f(x)−(x+1) = (x+1)e^(−2x) ≥ 0, donc 𝒜(α) = ∫[−1,α] (x+1)e^(−2x) dx. Par intégration par parties avec u=x+1 (u'=1) et v'=e^(−2x) (v=−(1/2)e^(−2x)) : ∫(x+1)e^(−2x)dx = −(1/2)(x+1)e^(−2x) + (1/2)∫e^(−2x)dx = −(1/2)(x+1)e^(−2x) − (1/4)e^(−2x) + C = −[(2x+3)/4]e^(−2x) + C. En évaluant entre −1 et α : 𝒜(α) = [−(2α+3)e^(−2α)/4] − [−1·e²/4] = 𝒜(α) = (e² − (2α+3)e^(−2α))/4. b) Quand α→+∞, (2α+3)e^(−2α)→0 par croissance comparée. Donc 𝒜(α) → ℓ = e²/4 quand α→+∞. c) ℓ − 𝒜(3) = (2×3+3)e^(−6)/4 = 9e^(−6)/4. Numériquement, e^(−6)≈0,002479, donc ℓ − 𝒜(3) ≈ 0,0056 (soit environ 0,01 arrondi au centième près).

1. Pour tout x ∈ ℝ, f(x) = eˣ + 1 : le point M'(x ; eˣ+1) de (Γ₁) s'obtient à partir du point M(x ; eˣ) de (Γ) en ajoutant 1 à l'ordonnée, c'est-à-dire par la translation de vecteur (0;1). Donc t₁ est la translation de vecteur (0;1), et (Γ₁)=t₁(Γ). De même, g(x) = eˣ + 2, donc t₂ est la translation de vecteur (0;2), et (Γ₂)=t₂(Γ).
2. (Γ) est la courbe de la fonction exponentielle : strictement croissante, passant par (0;1), avec pour asymptote horizontale la droite y=0 en −∞. (Γ₁) s'obtient en translatant tous les points de (Γ) d'une unité vers le haut : elle passe par (0;2) et admet pour asymptote la droite y=1 en −∞. (Γ₂) s'obtient en translatant tous les points de (Γ) de deux unités vers le haut : elle passe par (0;3) et admet pour asymptote la droite y=2 en −∞.