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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 04
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1. Exponentielle — définition et propriétés

Définition

La fonction exp (ou eˣ) est la réciproque de ln. Elle est définie sur ℝ, à valeurs dans ]0;+∞[.

eˣ = y ⟺ x = ln y (y > 0).   e⁰=1.   e¹=e≈2,718.

Caractérisation : eˣ est l'unique solution de y'=y avec y(0)=1.

Propriétés algébriques

e^(a+b) = eᵃ·eᵇ  •  e^(a−b) = eᵃ/eᵇ  •  (eᵃ)ᵇ = e^(ab)

e^(−a) = 1/eᵃ  •  e^(ln a) = a (a>0)  •  ln(eᵃ) = a

2. Dérivées et primitives

f(x)f'(x)Primitive de f eˣeˣeˣ + C e^(u(x))u'(x)·e^ue^u/u' (si u linéaire) e^(ax+b)a·e^(ax+b)(1/a)e^(ax+b) + C

3. Limites et croissances comparées

Résultats fondamentaux

• lim[x→−∞] eˣ = 0 (asymptote horizontale y=0)  •  lim[x→+∞] eˣ = +∞

• Croissances comparées (eˣ domine tout) :

lim[x→+∞] xⁿ·e^(−x) = 0  •  lim[x→+∞] eˣ/xⁿ = +∞ (tout n entier)

• lim[x→0] (eˣ−1)/x = 1 (équivalent : eˣ−1 ~ x en 0)

• lim[x→0] (eˣ−1−x)/x² = 1/2 (développement limité ordre 2)

4. Exponentielle de base a

Définition et dérivée

Pour a > 0, a ≠ 1 : aˣ = e^(x·ln a).

(aˣ)' = ln(a)·aˣ. Primitive de aˣ : aˣ/ln a + C.

Cas particulier : si a = e → (eˣ)' = eˣ. ✓

5. Applications — croissance et décroissance exponentielle

Modèles

• Croissance exponentielle : N(t) = N₀·e^(kt), k > 0 (population, intérêts composés).

• Décroissance exponentielle : N(t) = N₀·e^(−kt), k > 0 (désintégration radioactive, refroidissement).

• Demi-vie T : N(T) = N₀/2 ⟺ e^(−kT) = 1/2 ⟺ T = ln 2 / k.

🧠 À retenir

  • (eˣ)'=eˣ ; ∫eˣdx=eˣ+C ; (e^u)'=u'e^u
  • e^(a+b)=eᵃeᵇ ; e^(−a)=1/eᵃ ; e^(ln a)=a
  • lim[x→+∞] xⁿe^(−x)=0 (eˣ domine toute puissance)
  • eˣ−1 ~ x en 0 ; (eˣ−1)/x → 1
  • Demi-vie : T=ln2/k
1

Dérivées avec eˣ

● Facile

Calculer la dérivée de :

  1. f(x)=e^(x²−3)
  2. g(x)=(x²+1)e^(−x)
  3. h(x)=e^x/(e^x+1)
  4. k(x)=e^(sin x)
Correction
  1. f'=2x·e^(x²−3).
  2. g'=2xe^(−x)+(x²+1)(−e^(−x))=(x−1)²·(−1)... Recalc: g'=2xe^(−x)−(x²+1)e^(−x)=e^(−x)(2x−x²−1)=−e^(−x)(x−1)².
  3. h'=e^x(e^x+1)−e^x·e^x)/(e^x+1)²=e^x/(e^x+1)².
  4. k'=cos x·e^(sin x).
2

Limites avec eˣ

● Moyen
  1. lim[x→+∞] x²e^(−x)
  2. lim[x→−∞] x·eˣ
  3. lim[x→0] (e^(2x)−1)/x
Correction
  1. x²e^(−x)=x²/eˣ → 0 (croissance comparée). 0.
  2. x→−∞, eˣ→0. Posons t=−x→+∞: x·eˣ=−t·e^(−t)→0. 0.
  3. (e^(2x)−1)/x = 2·(e^(2x)−1)/(2x) → 2×1=2.
3

Équations et inéquations

● Moyen
  1. e^(x+1) = e^(3−x)
  2. e^(2x) − 3eˣ + 2 = 0
  3. eˣ > 2x + 1 (étudier f(x)=eˣ−2x−1)
Correction
  1. x+1=3−x → 2x=2 → x=1.
  2. Posons X=eˣ: X²−3X+2=0 → X=1 (x=0) ou X=2 (x=ln2). S={0;ln2}.
  3. f'=eˣ−2=0 → x=ln2. f(ln2)=2−2ln2−1=1−2ln2>0 (ln2≈0,693<0,5). f min>0 → f(x)>0 pour tout x∈ℝ.
4

Primitives avec eˣ

● Moyen
  1. ∫ e^(3x+1) dx
  2. ∫ xe^(x²) dx
  3. ∫ eˣ/(eˣ+1) dx
Correction
  1. (1/3)e^(3x+1)+C.
  2. Posons u=x²: (1/2)e^(x²)+C.
  3. Posons u=eˣ+1: ln(eˣ+1)+C.
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Application — Décroissance radioactive

● Difficile

Un élément radioactif a une demi-vie T₁/₂=1600 ans (radium-226). N(t)=N₀e^(−kt).

  1. Exprimer k en fonction de T₁/₂.
  2. Exprimer le taux de désintégration −N'(t)/N(t).
  3. Après combien d'années reste-t-il 10% du radium initial ? (ln2≈0,693 ; ln10≈2,303)
Correction
  1. N(T₁/₂)=N₀/2 → e^(−kT)=1/2 → k=ln2/T₁/₂=ln2/1600≈4,33×10⁻⁴ an⁻¹.
  2. −N'(t)/N(t)=k (constante). Le taux de désintégration est constant.
  3. e^(−kt)=0,1 → kt=ln10 → t=ln10/k=ln10·T₁/₂/ln2=2,303×1600/0,693≈5315 ans.
★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On considère f(x) = (x−1)·eˣ + 1 définie sur ℝ.

  1. Valeurs particulières : Calculer f(0) et f(1). f s'annule-t-elle en x=0 ?
  2. Dérivée : Calculer f'(x) et f''(x). En déduire les variations et la convexité de f.
  3. Asymptote : Déterminer le comportement de f quand x→−∞ et x→+∞.
  4. Inégalité : Montrer que f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ. En déduire que eˣ ≥ x pour tout réel x.
  5. Équation : L'équation f(x) = 0 a-t-elle des solutions ? Justifier avec précision.
  6. Application : En utilisant eˣ ≥ x+1 (variante à prouver de même), montrer que eˣ ≥ 1+x+x²/2 pour tout x≥0.
Correction
  1. f(0)=(−1)·1+1=0. f(1)=0·e+1=1. Oui, f(0)=0.
  2. f'(x)=eˣ+(x−1)eˣ=xeˣ. f''(x)=eˣ+xeˣ=(x+1)eˣ. f'>0 si x>0, f'<0 si x<0. Min en x=0, f(0)=0. f''=0 en x=−1 (point d'inflexion). f convexe sur [−1;+∞[, concave sur ]−∞;−1].
  3. x→−∞ : (x−1)→−∞ mais eˣ→0 plus vite (croissance comparée) → f→1. Asymptote y=1. x→+∞ : f→+∞.
  4. f atteint son minimum en x=0 : f(0)=0. Donc f(x)≥0 ∀x. (x−1)eˣ+1≥0 → (x−1)eˣ≥−1. Si x≥0 : ... Plus directement : f(x)≥0 → (x−1)eˣ≥−1 → eˣ≥1/(x−1) ... mieux : réécrire : eˣ≥1−(1/eˣ)... La vraie inégalité : f(x)≥0 → eˣ−1≥(2−x)... Correct : posons g(x)=eˣ−x. g'=eˣ−1=0→x=0. g(0)=1>0. g(x)≥1>0 → eˣ>x. Plus précisément eˣ≥x+1 (minimum de eˣ−x−1 en 0 : 0).
  5. f(x)=0 ⟺ minimum est atteint ⟺ x=0. L'unique solution est x=0.
  6. Posons h(x)=eˣ−1−x−x²/2. h(0)=0. h'(x)=eˣ−1−x. h'(0)=0. h''(x)=eˣ−1≥0 pour x≥0 (eˣ≥1). Donc h' croissante sur [0;+∞[, h'(x)≥h'(0)=0. Donc h croissante sur [0;+∞[, h(x)≥h(0)=0. Donc eˣ≥1+x+x²/2 ∀x≥0. ✓

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

(eˣ)' :

Q2/10

e^(a+b) :

Q3/10

lim[x→+∞] x²e^(−x) :

Q4/10

∫ e^(3x) dx :

Q5/10

(e^u)' (dérivée en chaîne) :

Q6/10

Demi-vie T : N(T)=N₀/2 avec N(t)=N₀e^(−kt). T vaut :

Q7/10

lim[x→0] (eˣ−1)/x :

Q8/10

e^(ln 5) vaut :

Q9/10

eˣ > 0 pour :

Q10/10

Exponentielle de base a : (aˣ)'= :