AV : x=1. Division euclidienne : x²+2x−1=(x−1)(x+3)+2. f=x+3+2/(x−1). Asymptote oblique y=x+3. En x=1⁺ : f→+∞. En x=1⁻ : f→−∞.

1. f'=3x²−6x+1. f''=6x−6=0 → x=1. f''<0 pour x<1, f''>0 pour x>1. Point d'inflexion en (1;f(1))=(1;−2).
2. Tester (1;−2) : f(1+t)+f(1−t)=(1+t)³−3(1+t)²+(1+t)−1+(1−t)³−3(1−t)²+(1−t)−1=−4=2×(−2). Centre de symétrie (1;−2).

Candidat : a=1 (AV), b=f'... Méthode : f(1+t)+f(1−t)=1/t+(1+t)/2+1/(−t)+(1−t)/2=0+(1+t+1−t)/2=1. Centre : (1;1/2).

h(x)=eˣ−ex. h(1)=0. h'=eˣ−e=0 → x=1. h''=eˣ>0 : minimum en x=1, h(1)=0. Donc eˣ≥ex avec égalité seulement en x=1 (la courbe est au-dessus de la tangente en 1).

(1) D=ℝ. x→+∞ : e^(−x)→0, f~x+1 (asymptote oblique y=x+1). x→−∞ : e^(−x)→+∞. (2) f'=1−e^(−x)=0 → e^(−x)=1 → x=0. f'<0 sur ]−∞;0[, f'>0 sur ]0;+∞[. Min en 0 : f(0)=2. (3) f''=e^(−x)>0 : toujours convexe, pas de point d'inflexion. (4) Courbe au-dessus de son asymptote oblique, minimum (0;2).

Il suffit de montrer que f(π/2+t) = f(π/2−t) pour tout réel t.

f(π/2+t) = sin(π/2+t)/(2+cos²(π/2+t)) = cos t/(2+sin²t), car sin(π/2+t)=cos t et cos(π/2+t)=−sin t.

f(π/2−t) = sin(π/2−t)/(2+cos²(π/2−t)) = cos t/(2+sin²t), car sin(π/2−t)=cos t et cos(π/2−t)=sin t.

Les deux expressions coïncident : x = π/2 est bien un axe de symétrie de (𝒞).

Division euclidienne : (x²+1)(3x−2) = 3x³−2x²+3x−2, donc 3x³−2x²+3x−3 = (x²+1)(3x−2) − 1, soit f(x) = 3x−2 − 1/(x²+1) pour tout x.

f(x) − (3x−2) = −1/(x²+1) → 0 quand x→±∞. Donc (Δ) : y=3x−2 est bien asymptote oblique à (𝒞) en +∞ et en −∞. Comme −1/(x²+1)<0, (𝒞) reste toujours en-dessous de (Δ).

1. Avec u(x)=x²−7x+10, u'(x)=2x−7, v(x)=x−1, v'(x)=1 : f'(x) = [u'v−uv']/v² = [(2x−7)(x−1)−(x²−7x+10)]/(x−1)². Le numérateur vaut 2x²−9x+7−x²+7x−10 = x²−2x−3 = (x−3)(x+1). f'(x) = (x−3)(x+1)/(x−1)².
2. Quand x→1⁺ : le numérateur tend vers f(1)-équivalent 4>0 et (x−1)→0⁺, donc f(x)→+∞. Division : x²−7x+10 = (x−1)(x−6)+4, donc f(x) = x−6+4/(x−1) → +∞ quand x→+∞. Sur ]1;+∞[, (x+1)>0 et (x−1)²>0 : le signe de f' est celui de (x−3). f'<0 sur ]1;3[, f'>0 sur ]3;+∞[ : minimum en x=3, f(3)=−1. f décroît de +∞ à −1 sur ]1;3], puis croît de −1 à +∞ sur [3;+∞[.
3. f(x)−(x−6) = 4/(x−1) → 0 quand x→+∞ : (D₁) : y=x−6 est asymptote à (𝒞) en +∞ (la courbe reste au-dessus). L'autre asymptote est l'asymptote verticale (D₂) : x=1, car lim[x→1⁺] f(x) = +∞.
4. f(2) = (4−14+10)/1 = 0. f'(2) = (2−3)(2+1)/1 = −3. Tangente : y = −3(x−2)+0, soit (T) : y = −3x+6.
5. On trace la verticale (D₂) : x=1, l'oblique (D₁) : y=x−6, la tangente (T) au point (2;0). La courbe part de +∞ près de x=1, décroît jusqu'au minimum (3;−1) en passant par (2;0) tangentiellement à (T), puis remonte en se rapprochant de (D₁).

Domaine : x²−4≥0 ⟺ x≤−2 ou x≥2, soit D = ]−∞;−2] ∪ [2;+∞[.

f est dérivable sur ]−∞;−2[∪]2;+∞[ : f'(x) = x/√(x²−4). Pour x>2 : f'(x)>0, f croissante sur [2;+∞[. Pour x<−2 : f'(x)<0, f décroissante sur ]−∞;−2]. En x=±2, la tangente est verticale.

Asymptotes : en +∞, f(x)−x = √(x²−4)−x = −4/(√(x²−4)+x) → 0, donc y=x est asymptote en +∞. f est paire (f(−x)=f(x)) donc (𝒞) est symétrique par rapport à (Oy) ; par symétrie, y=−x est asymptote en −∞.

Construction : (𝒞) est symétrique par rapport à (Oy) : une branche décroît de +∞ (asymptote y=−x) jusqu'à (−2;0) avec tangente verticale, l'autre part de (2;0) avec tangente verticale et croît vers +∞ en se rapprochant de y=x. C'est la branche supérieure de l'hyperbole d'équation x²−y²=4.

1. En x=1 : pour x∈]−1;1[, f(x)=x+√(1−x²), donc f'(x)=1−x/√(1−x²) ; quand x→1⁻, ce quotient → +∞, donc f'(x)→−∞. Pour x>1, f(x)=x+√(x²−1), f'(x)=1+x/√(x²−1) ; quand x→1⁺, f'(x)→+∞. Les dérivées à gauche et à droite sont infinies et de signes opposés : f n'est pas dérivable en 1, la courbe présente un point de rebroussement à tangente verticale (droite x=1).
   En x=−1 : pour x<−1, f'(x)=1+x/√(x²−1) → −∞ quand x→−1⁻ ; pour −1<x<1, f'(x)=1−x/√(1−x²) → +∞ quand x→−1⁺. Même situation : point de rebroussement à tangente verticale en x=−1.
2. Sur ]−∞;−1[ : f'(x)=[√(x²−1)+x]/√(x²−1)<0 car √(x²−1)<−x pour x<−1 : f décroissante. Sur ]−1;1[ : f'(x)=[√(1−x²)−x]/√(1−x²) ; le numérateur s'annule en x=1/√2 (car √(1−x²)=x ⟺ x²=1/2), positif avant, négatif après : f croît sur [−1;1/√2] puis décroît sur [1/√2;1], maximum local f(1/√2)=√2. Sur ]1;+∞[ : f'(x)=[√(x²−1)+x]/√(x²−1)>0 (deux termes positifs) : f croissante. Bilan : f décroît, atteint f(−1)=−1, croît jusqu'à √2, redescend à f(1)=1, puis croît indéfiniment.
3. En +∞ : f(x)−2x = √(x²−1)−x = −1/[√(x²−1)+x] → 0, donc (Δ₁) : y=2x est asymptote en +∞. En −∞ : f(x) = −1/[√(x²−1)−x] (quantité conjuguée), et comme √(x²−1)→+∞ et −x→+∞, le dénominateur → +∞, donc f(x) → 0 : (Δ₂) : y=0 (axe des abscisses) est asymptote en −∞.
4. (𝒞_f) s'approche de l'axe des abscisses en −∞, décroît jusqu'au point anguleux (−1;−1) à tangente verticale, remonte jusqu'au maximum local (1/√2;√2), redescend jusqu'au second point anguleux (1;1) à tangente verticale, puis remonte indéfiniment en se rapprochant de (Δ₁) : y=2x.

A(5π/12;0) est centre de symétrie de (𝒞) si et seulement si f(5π/12+t) + f(5π/12−t) = 2×0 = 0 pour tout réel t.

f(5π/12+t) = cos(2(5π/12+t)−π/3) = cos(5π/6+2t−π/3) = cos(π/2+2t) = −sin(2t).

f(5π/12−t) = cos(2(5π/12−t)−π/3) = cos(5π/6−2t−π/3) = cos(π/2−2t) = sin(2t).

Somme : f(5π/12+t) + f(5π/12−t) = −sin(2t) + sin(2t) = 0, pour tout t. A(5π/12;0) est bien un centre de symétrie de (𝒞).

On effectue la division euclidienne du numérateur par (x−1) (méthode de Horner en x=1, coefficients 2 ; −1 ; −1 ; 1) :

2x³−x²−x+1 = (x−1)(2x²+x) + 1, donc pour tout x≠1 : f(x) = 2x²+x + 1/(x−1).

D'où f(x) − (2x²+x) = 1/(x−1). Quand x→+∞ ou x→−∞, 1/(x−1) → 0. Donc f(x) − (2x²+x) → 0 : la parabole 𝒫 : y=2x²+x est bien asymptote à (𝒞_f) en +∞ et en −∞. De plus, pour x>1 la courbe est au-dessus de 𝒫 (1/(x−1)>0), et pour x<1 elle est en-dessous (1/(x−1)<0).

1. On écrit f_m(x) = 1/(1−x²) − m·x²/(1−x²) = 1/(1−x²) − m·[x²/(1−x²)]. Cette expression est indépendante de m si et seulement si le coefficient de m s'annule, c'est-à-dire x²/(1−x²)=0, soit x=0. En x=0 : f_m(0) = (1−0)/(1−0) = 1, quel que soit m. Le point A(0;1) appartient donc à toutes les courbes (𝒞_m).
2. Pour m=1 : f_1(x) = (1−x²)/(1−x²) = 1 pour tout x≠±1. (𝒞₁) est la droite horizontale y=1, privée des deux points d'abscisses −1 et 1. Pour m=2 : f_2(x) = (1−2x²)/(1−x²). Quand x→±∞, f_2(x) → (−2x²)/(−x²) = 2 : (𝒞₂) admet l'asymptote horizontale y=2, et les asymptotes verticales x=−1 et x=1 (le numérateur 1−2x² ne s'annule pas en x=±1, car il vaut −1).
3. f_m'(x) = [(−2mx)(1−x²) − (1−mx²)(−2x)]/(1−x²)² = 2x[−m(1−x²)+(1−mx²)]/(1−x²)² = 2x(1−m)/(1−x²)². Le signe de f_m'(x) est celui de x(1−m), car (1−x²)²>0. Si m=1 : f_m'≡0, f_m est constante (égale à 1). Si m<1 (donc 1−m>0) : f_m'(x) est du signe de x ; f_m est décroissante sur ]−∞;−1[ et sur ]−1;0], puis croissante sur [0;1[ et sur ]1;+∞[ (minimum local en x=0, f_m(0)=1). Si m>1 (donc 1−m<0) : le signe s'inverse ; f_m est croissante sur ]−∞;−1[ et sur ]−1;0], puis décroissante sur [0;1[ et sur ]1;+∞[ (maximum local en x=0, f_m(0)=1).

1. Sur les intervalles ouverts ]−∞;−1[ et ]0;+∞[, f(x)=√(x²+x) est dérivable et f'(x) = (2x+1)/(2√(x²+x)). Pour x>0 : 2x+1>0, donc f'(x)>0 : f croissante sur [0;+∞[. Pour x<−1 : 2x+1<0, donc f'(x)<0 : f décroissante sur ]−∞;−1]. En x=0 : le taux de variation √(x²+x)/x = √((x+1)/x) → +∞ quand x→0⁺ (dérivée à droite infinie). En x=−1 : en posant x=−1−h (h→0⁺), le taux de variation vaut −√(1+h)/√h → −∞ (dérivée à gauche infinie). f n'est donc pas dérivable en 0 ni en −1 (tangentes verticales).
2. a) f(x)−(x+1/2) = √(x²+x)−x−1/2 = [(x²+x)−(x+1/2)²] / [√(x²+x)+x+1/2] = −1/4 / [√(x²+x)+x+1/2] → 0 quand x→+∞ (dénominateur → +∞). (D) : y=x+1/2 est bien asymptote en +∞ (la courbe reste en-dessous, le quotient étant négatif). b) f(x)−(−x−1/2) = √(x²+x)+x+1/2 = −1/4 / [√(x²+x)−x−1/2]. Quand x→−∞, √(x²+x) ~ −x, donc le dénominateur ~ −x−x−1/2 = −2x−1/2 → +∞, et l'expression → 0. (D') : y=−x−1/2 est bien asymptote en −∞.
3. Sur [0;+∞[, la courbe part de (0;0) avec une tangente verticale et croît en se rapprochant de (D) : y=x+1/2. Sur ]−∞;−1], la courbe vient de (D') : y=−x−1/2 en −∞, décroît et arrive en (−1;0) avec une tangente verticale. Les deux branches sont séparées (aucun point entre −1 et 0, où x(x+1)<0).

1. f(x) = 1−2√x+x, donc f'(x) = −1/√x + 1 = (√x−1)/√x. Pour x≥1, √x≥1 donc √x−1≥0 et √x>0 : f'(x)≥0, nulle seulement en x=1 : f est strictement croissante sur [1;+∞[. f(1)=0 et lim[x→+∞]f(x)=+∞ (f(x)~x). f étant continue et strictement croissante sur [1;+∞[, elle réalise une bijection de [1;+∞[ sur [0;+∞[.
2. f(x)=b ⟺ (1−√x)²=b ⟺ |1−√x|=√b. Comme x≥1, √x≥1, donc 1−√x≤0, d'où |1−√x|=√x−1. L'équation devient √x−1=√b, soit √x=1+√b, donc x=(1+√b)² (valeur bien dans [1;+∞[ car b≥0). La solution étant unique pour chaque b≥0, la bijection réciproque de f est g(x) = (1+√x)², définie sur [0;+∞[.
3. (𝒞_f) part de (1;0) avec une tangente horizontale (f'(1)=0) et croît indéfiniment. Sa représentation s'obtient facilement en tableau de valeurs ; celle de g s'obtient par symétrie de (𝒞_f) par rapport à la droite y=x (propriété générale des bijections réciproques), et part de (0;1) en croissant indéfiniment.

1. f(−x) = −x/2 − √(x²−1)/(−x) = −x/2 + √(x²−1)/x = −[x/2 − √(x²−1)/x] = −f(x) : f est impaire. D étant symétrique par rapport à 0, la courbe (𝒞_f) est symétrique par rapport à O ; il suffit donc d'étudier f sur [1;+∞[ puis d'utiliser la symétrie centrale pour en déduire l'allure sur ]−∞;−1].
2. a) f(1)=1/2. Pour x→1⁺ : [f(x)−f(1)]/(x−1) = 1/2 − √(x²−1)/[x(x−1)]. Or √(x²−1)/(x−1) = √(x+1)/√(x−1) → +∞ quand x→1⁺. Donc [f(x)−f(1)]/(x−1) → −∞ : f n'est pas dérivable en 1 (tangente verticale à droite). Sur ]1;+∞[, f est dérivable comme composée/quotient de fonctions dérivables (x²−1>0) : en posant h(x)=√(x²−1)/x, h'(x) = 1/√(x²−1) − √(x²−1)/x² = [x²−(x²−1)]/[x²√(x²−1)] = 1/[x²√(x²−1)], donc f'(x) = 1/2 − 1/[x²√(x²−1)]. b) f'(x)=0 ⟺ x²√(x²−1)=2. La fonction x↦x²√(x²−1) est strictement croissante sur ]1;+∞[, de 0 à +∞ ; en x=√2 : (√2)²√(2−1) = 2×1 = 2, donc x=√2 est l'unique solution. Pour 1<x<√2, x²√(x²−1)<2 donc f'(x)<0 ; pour x>√2, f'(x)>0. f(√2) = √2/2 − 1/√2 = 0. f décroît de f(1)=1/2 à f(√2)=0 sur [1;√2], puis croît de 0 vers +∞ sur [√2;+∞[.
3. a) f(x) − (x/2−1) = 1 − √(x²−1)/x = [x−√(x²−1)]/x. En multipliant par la quantité conjuguée : x−√(x²−1) = [x²−(x²−1)]/[x+√(x²−1)] = 1/[x+√(x²−1)]. Donc φ(x) = 1/[x(x+√(x²−1))], et φ(x)→0 quand x→+∞ (dénominateur → +∞). b) φ(x)>0 pour tout x>1, donc f(x)−(x/2−1)→0 par valeurs positives : (Δ) : y = x/2−1 est asymptote à (𝒞_f) en +∞, la courbe restant au-dessus.
4. Sur [1;+∞[ : (𝒞_f) part de (1;1/2) avec tangente verticale, décroît jusqu'au minimum (√2;0), puis croît indéfiniment en se rapprochant de (Δ) : y=x/2−1. Par symétrie centrale par rapport à O (question 1), la branche sur ]−∞;−1] part de −∞ en se rapprochant de l'asymptote y=x/2+1, croît jusqu'au maximum (−√2;0), puis décroît jusqu'à (−1;−1/2) avec tangente verticale.

1. f(x+π) = sin(2(x+π)+1) = sin(2x+1+2π) = sin(2x+1) = f(x) pour tout x, car sin est 2π-périodique. f est périodique de période π (période minimale, car le coefficient 2 devant x divise la période 2π du sinus par 2).
2. a) f(x) = sin(u(x)) avec u(x)=2x+1 : f = sin∘u. b) u est affine de pente 2>0, donc strictement croissante ; sur [0;π], u([0;π]) = [1;2π+1]. Sur cet intervalle, la fonction sinus croît sur [1;π/2] (de sin1 à 1), décroît sur [π/2;3π/2] (de 1 à −1), puis croît sur [3π/2;2π+1] (de −1 à sin1), car sin est croissante sur [−π/2+2kπ;π/2+2kπ] et décroissante sur [π/2+2kπ;3π/2+2kπ]. c) u(x)=π/2 ⟺ x=(π/2−1)/2 = π/4−1/2. u(x)=3π/2 ⟺ x=(3π/2−1)/2 = 3π/4−1/2.
3. u étant croissante, f a les mêmes variations que sin(u) : f croît sur [0;π/4−1/2] (de f(0)=sin1 à f(π/4−1/2)=1), décroît sur [π/4−1/2;3π/4−1/2] (de 1 à −1), croît sur [3π/4−1/2;π] (de −1 à f(π)=sin(2π+1)=sin1).
4. La courbe est une sinusoïde de période π, d'amplitude 1, oscillant entre les valeurs −1 et 1, avec un maximum en x=π/4−1/2≈0,29 (y=1), un minimum en x=3π/4−1/2≈1,86 (y=−1), et passant par (0;sin1) et (π;sin1).

1. a) Avec s=sinx, c=cosx : cos4x = 1−2sin²(2x) = 1−2(2sc)² = 1−8s²c² = 1−8s²(1−s²) = 8s⁴−8s²+1. Donc cos4x+2sin2x = (8s⁴−8s²+1) + 2(2sc) = 8sin⁴x−8sin²x+4sinx·cosx+1 = f(x). b) f(x)=cos4x+2sin2x a pour période π (car cos4x est π/2-périodique et sin2x est π-périodique, donc f est π-périodique). Il suffit donc d'étudier f sur un intervalle de longueur π, par exemple [0;π].
2. f'(x) = −4sin4x+4cos2x. Avec sin4x=2sin2x·cos2x, on a −4sin4x = −8sin2x·cos2x, donc f'(x) = 4cos2x − 8sin2x·cos2x = 4cos2x(1−2sin2x). Sur [0;π] : f'(x)=0 ⟺ cos2x=0 ou sin2x=1/2. cos2x=0 ⟺ x=π/4 ou x=3π/4 (dans [0;π]). sin2x=1/2 ⟺ x=π/12 ou x=5π/12 (dans [0;π]). Les quatre solutions ordonnées sont π/12 < π/4 < 5π/12 < 3π/4. En testant le signe de f' sur chaque intervalle : f'>0 sur ]0;π/12[, f'<0 sur ]π/12;π/4[, f'>0 sur ]π/4;5π/12[, f'<0 sur ]5π/12;3π/4[, f'>0 sur ]3π/4;π[. En calculant f(x)=cos4x+2sin2x aux points remarquables : f(0)=1, f(π/12)=1/2+1=3/2, f(π/4)=−1+2=1, f(5π/12)=1/2+1=3/2, f(3π/4)=−1−2=−3, f(π)=1+0=1. Tableau de variation : f croît de 1 à 3/2 sur [0;π/12], décroît de 3/2 à 1 sur [π/12;π/4], croît de 1 à 3/2 sur [π/4;5π/12], décroît de 3/2 à −3 (minimum global) sur [5π/12;3π/4], puis croît de −3 à 1 sur [3π/4;π].

1. Pour x≥1 : f(x) = (3(x−1)+1)/(2(x−1)−1) = (3x−2)/(2x−3), défini sur [1;+∞[\{3/2}. Pour x<1 : f(x) = (3(1−x)+1)/(2(1−x)−1) = (4−3x)/(1−2x), défini sur ]−∞;1[\{1/2}. Variations : sur x≥1, f'(x) = [3(2x−3)−2(3x−2)]/(2x−3)² = −5/(2x−3)² < 0 : f strictement décroissante sur [1;3/2[ et sur ]3/2;+∞[. Sur x<1, f'(x) = [−3(1−2x)+2(4−3x)]/(1−2x)² = 5/(1−2x)² > 0 : f strictement croissante sur ]−∞;1/2[ et sur ]1/2;1[. En x=1, les deux expressions coïncident : f(1)=−1.
2. Asymptotes verticales x=1/2 et x=3/2 ; asymptote horizontale y=3/2 en ±∞ (car (3x−2)/(2x−3)→3/2 et (4−3x)/(1−2x)→3/2). Étude des limites aux bornes : x→1/2⁻ : f→+∞ ; x→1/2⁺ : f→−∞ ; x→3/2⁻ : f→−∞ ; x→3/2⁺ : f→+∞. La courbe est donc formée de quatre branches d'hyperboles raccordées en un point anguleux (1;−1) (les dérivées à gauche et à droite en 1 valent respectivement 5 et −5, différentes).
3. Testons la droite x=1 : f(1+t) = (3t+1)/(2t−1) (branche x≥1) et f(1−t) = (4−3(1−t))/(1−2(1−t)) = (1+3t)/(2t−1) (branche x<1). Les deux expressions sont identiques : f(1+t)=f(1−t) pour tout t. La droite x=1 est donc un axe de symétrie de (𝒞_f).
4. Grâce à la symétrie d'axe x=1, on peut se limiter à x≥1 puis réfléchir. Sur [1;3/2[, f décroît de −1 à −∞ : pour m≤−1, une unique solution dans [1;3/2[ (positive), et par symétrie une seconde dans ]1/2;1] (également positive) : deux solutions positives si m<−1, une seule solution x=1 si m=−1. Sur ]3/2;+∞[, f décroît de +∞ à 3/2 (non atteint) : pour m>3/2, une solution x=1+d dans ]3/2;+∞[ et par symétrie x=1−d dans ]−∞;1/2[, avec d>1/2. On calcule f(2)=4/1=4 et f(0)=4/(−1)=−4... en réalité f(0)=(4−0)/(1−0)=4 (vérification par symétrie : f(0)=f(2)=4) : pour m>4, les deux solutions 1−d et 1+d sont positives (d<1) ; pour m=4, les solutions sont x=0 et x=2 ; pour 3/2<m<4, une solution est négative (1−d<0) et l'autre positive. Pour −1<m≤3/2, l'équation n'a aucune solution (valeurs non atteintes par f).

1. a) Avec u(x)=x+√(2x−x²) et v(x)=x−1 : u'(x)=1+(1−x)/√(2x−x²). En développant g'=(u'v−u)/v² : on obtient u'(x−1)−u = (x−1) − (x−1)²/√(2x−x²) − x − √(2x−x²) = −1 − [(x−1)²+(2x−x²)]/√(2x−x²). Or (x−1)²+(2x−x²) = x²−2x+1+2x−x² = 1, donc u'(x−1)−u = −1−1/√(2x−x²). Ainsi g'(x) = −[1+1/√(2x−x²)]/(x−1)², toujours strictement négatif : g est strictement décroissante sur ]0;1[ et sur ]1;2[. g est bien dérivable sur ces intervalles (composée/quotient de fonctions dérivables, 2x−x²>0 et x≠1). b) g(0)=0. [g(x)−g(0)]/x = [√x+√(2−x)]/[√x(x−1)] → √2/0⁻ = −∞ quand x→0⁺ : g n'est pas dérivable à droite en 0 (tangente verticale). g(2)=2. On montre de même que [g(x)−g(2)]/(x−2) → −∞ quand x→2⁻ : g n'est pas dérivable à gauche en 2 (tangente verticale) non plus. c) Quand x→1, le numérateur x+√(2x−x²) → 1+1=2≠0, tandis que x−1→0. Donc lim[x→1⁻]g(x)=−∞ et lim[x→1⁺]g(x)=+∞ : (𝒞_g) admet l'asymptote verticale x=1.
2. (𝒞_g) est formée de deux branches strictement décroissantes : sur [0;1[, la courbe part de (0;0) avec tangente verticale et décroît vers −∞ en se rapprochant de l'asymptote x=1 ; sur ]1;2], elle vient de +∞ près de x=1 et décroît jusqu'à (2;2) avec tangente verticale.
3. g(1+t) = [(1+t)+√(1−t²)]/t et g(1−t) = [(1−t)+√(1−t²)]/(−t) = −[(1−t)+√(1−t²)]/t (en utilisant 2(1±t)−(1±t)² = 1−t²). Somme : g(1+t)+g(1−t) = {[(1+t)+√(1−t²)] − [(1−t)+√(1−t²)]}/t = [2t]/t = 2, pour tout t. Ω(1;1) est bien un centre de symétrie de (𝒞_g), puisque g(1+t)+g(1−t) = 2×1.