Ch. 05 Étude complète de fonctions — courbes planes — Terminale D Mathématiques

1. Asymptotes et directions asymptotiques

Types d'asymptotes

• Asymptote horizontale y=L : lim[x→±∞] f(x) = L.

• Asymptote verticale x=a : lim[x→a] |f(x)| = +∞.

• Asymptote oblique y=ax+b : lim[x→±∞] [f(x)−(ax+b)] = 0, avec a = lim f(x)/x.

Direction asymptotique parabolique

Si lim[x→±∞] f(x)/x = ±∞ mais lim f(x)/x² = k ≠ 0, la courbe a une branche parabolique de direction y = kx².

2. Points singuliers

Différents types

• Point ordinaire : f dérivable en a, tangente unique de pente f'(a).

• Point anguleux : f continue en a mais lim[x→a⁻] f'(x) ≠ lim[x→a⁺] f'(x) (ex : |x| en 0).

• Point de rebroussement : les demi-tangentes existent et sont confondues (tangente verticale ou la courbe rebrousse).

• Point d'inflexion : f''(a)=0 et f'' change de signe en a. La tangente traverse la courbe.

3. Éléments de symétrie

Recherche des symétries

• Axe de symétrie x=a : f(a+t) = f(a−t) pour tout t (courbe symétrique / droite x=a).

• Centre de symétrie (a;b) : f(a+t) + f(a−t) = 2b pour tout t.

Si f est paire → axe Oy. Si f est impaire → centre O.

Méthode : substituer x ↦ 2a−x et vérifier f(2a−x)+f(x)=2b.

4. Positions relatives — Transformations

Positions relatives de deux courbes

Chercher les valeurs de x pour lesquelles f(x)=g(x), puis étudier le signe de f(x)−g(x).

Image d'une courbe par une transformation

Si M(x;y) est sur C, son image M'(x';y') par la transformation T vérifie T(M)=M'.

Exprimer x,y en fonction de x',y' et substituer dans l'équation de C pour obtenir C'.

Exemples : T(x;y)=(x+a;y+b) → translation ; T(x;y)=(kx;ky) → homothétie.

🧠 À retenir

Asymptote oblique : a=lim f(x)/x, b=lim[f(x)−ax]
Point d'inflexion : f''(a)=0 ET f'' change de signe
Centre de symétrie (a;b) : f(a+t)+f(a−t)=2b
Position relative : signe de f(x)−g(x)
Tangente en a : y=f'(a)(x−a)+f(a)

Asymptotes

● Moyen

Déterminer les asymptotes de f(x)=(x²+2x−1)/(x−1).

Correction

AV : x=1. Division euclidienne : x²+2x−1=(x−1)(x+3)+2. f=x+3+2/(x−1). Asymptote oblique y=x+3. En x=1⁺ : f→+∞. En x=1⁻ : f→−∞.

Points d'inflexion

● Moyen

Trouver les points d'inflexion de f(x)=x³−3x²+x−1.
Montrer que f admet un centre de symétrie et le trouver.

Correction

f'=3x²−6x+1. f''=6x−6=0 → x=1. f''<0 pour x<1, f''>0 pour x>1. Point d'inflexion en (1;f(1))=(1;−2).
Tester (1;−2) : f(1+t)+f(1−t)=(1+t)³−3(1+t)²+(1+t)−1+(1−t)³−3(1−t)²+(1−t)−1=−4=2×(−2). Centre de symétrie (1;−2).

Éléments de symétrie

● Moyen

Montrer que la courbe de f(x)=1/(x−1)+x/2 admet un centre de symétrie. Trouver ce centre.

Correction

Candidat : a=1 (AV), b=f'... Méthode : f(1+t)+f(1−t)=1/t+(1+t)/2+1/(−t)+(1−t)/2=0+(1+t+1−t)/2=1. Centre : (1;1/2).

Positions relatives

● Moyen

Étudier la position relative de f(x)=eˣ et g(x)=ex (droite tangente à l'origine).

Correction

h(x)=eˣ−ex. h(1)=0. h'=eˣ−e=0 → x=1. h''=eˣ>0 : minimum en x=1, h(1)=0. Donc eˣ≥ex avec égalité seulement en x=1 (la courbe est au-dessus de la tangente en 1).

Étude complète

● Difficile

f(x)=x+1+e^(−x). (1) Domaine, limites, asymptote. (2) f', variations. (3) Convexité. (4) Représentation.

Correction

(1) D=ℝ. x→+∞ : e^(−x)→0, f~x+1 (asymptote oblique y=x+1). x→−∞ : e^(−x)→+∞. (2) f'=1−e^(−x)=0 → e^(−x)=1 → x=0. f'<0 sur ]−∞;0[, f'>0 sur ]0;+∞[. Min en 0 : f(0)=2. (3) f''=e^(−x)>0 : toujours convexe, pas de point d'inflexion. (4) Courbe au-dessus de son asymptote oblique, minimum (0;2).

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Soit f(x) = x − 1 + 2/x définie sur ]0;+∞[.

Limites et asymptotes : Calculer lim[x→0⁺] f(x) et lim[x→+∞] f(x). Identifier l'asymptote oblique.
Dérivée et variations : Calculer f'(x). Dresser le tableau de variations complet sur ]0;+∞[.
Point d'inflexion : Calculer f''(x). Y a-t-il un point d'inflexion ?
Position relative : Étudier la position de la courbe par rapport à son asymptote oblique y=x−1. Interpréter géométriquement.
Symétrie : Montrer que f n'est ni paire ni impaire. Existe-t-il un centre de symétrie ? (Tester x=1.)
Tangente en x=2 : Écrire l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse x=2. Cette tangente coupe-t-elle la courbe en un autre point ?

Correction

lim[x→0⁺] f(x) = −1 + 2/0⁺ = +∞. lim[x→+∞] f(x)/x = 1 (a=1) ; f(x)−x = −1+2/x → −1 (b=−1). Asymptote oblique : y=x−1.
f'(x)=1−2/x²=(x²−2)/x². Zéros : x=√2 (sur ]0;+∞[). f'<0 sur ]0;√2[, f'>0 sur ]√2;+∞[. Min en x=√2 : f(√2)=√2−1+√2=2√2−1≈1,83.
f''(x)=4/x³>0 sur ]0;+∞[. Toujours positif → pas de point d'inflexion, courbe convexe.
f(x)−(x−1)=2/x>0 sur ]0;+∞[. La courbe est toujours au-dessus de son asymptote oblique. Elle s'en rapproche quand x→+∞.
D=]0;+∞[ non symétrique par rapport à 0 → question de parité sans sens direct. Centre en (1;b) : f(1+t)+f(1−t)=(1+t−1+2/(1+t))+(1−t−1+2/(1−t))=2/[(1+t)(1−t)]×2(1)... Calcul : f(1+t)+f(1−t)=t+2/(1+t)+(−t)+2/(1−t)=2[1/(1+t)+1/(1−t)]=2×2/(1−t²). Pas constant → pas de centre de symétrie.
f(2)=2−1+1=2. f'(2)=1−1/2=1/2. Tangente : y=(1/2)(x−2)+2=(1/2)x+1. Intersection avec f : (1/2)x+1=x−1+2/x → 2/x=−(1/2)x+2 → 4=−x²+4x → x²−4x+4=0 → (x−2)²=0. Tangente oscule en x=2 (point de tangence double), elle ne coupe pas la courbe ailleurs.

QCM

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

Asymptote oblique y=ax+b : a vaut :

Q2/10

Point d'inflexion en a : condition nécessaire :

Q3/10

f(x)=x³. Point d'inflexion en :

Q4/10

Centre de symétrie (a;b) : f(a+t)+f(a−t) vaut :

Q5/10

Position relative de f et g : étudier :

Q6/10

Asymptote verticale x=a : lim |f(x)| vaut :

Q7/10

Asymptote oblique de f(x)=(x²+x)/(x−1) :

Q8/10

f paire → axe de symétrie :

Q9/10

f impaire → :

Q10/10

f''(x)>0 sur ]a;b[ → la courbe est :