Ch. 06 Suites numériques — types avancés de récurrence — Terminale D Maths

1. Suites arithmético-géométriques

Type u_{n+1}=a·uₙ+b

Point fixe l=b/(1-a). Poser vₙ=uₙ-l → (vₙ) géométrique de raison a. uₙ=l+(u₀-l)·aⁿ.

|a|<1 → uₙ→l. |a|>1 → diverge. a=-1 → oscille.

Exemple

u_{n+1}=(1/2)uₙ+3, u₀=2. l=6. uₙ=6-4·(1/2)ⁿ → 6.

2. Suites d'ordre 2

u_{n+2}=a·u_{n+1}+b·uₙ — Équation caractéristique r²-ar-b=0

Δ>0 : uₙ=A·r₁ⁿ+B·r₂ⁿ. Δ=0 : uₙ=(A+Bn)·r₀ⁿ. Δ<0 : uₙ=ρⁿ(A·cos nθ+B·sin nθ).

Fibonacci : F_{n+2}=F_{n+1}+Fₙ. r=(1+√5)/2=φ (nombre d'or). Fₙ~φⁿ/√5.

3. Suites homographiques

u_{n+1}=(auₙ+b)/(cuₙ+d)

Points fixes : racines de cl²+(d-a)l-b=0. Si l₁≠l₂ : poser wₙ=(uₙ-l₁)/(uₙ-l₂) → géométrique.

4. Croissance comparée

Hiérarchie

ln n ≪ nᵅ ≪ aⁿ (a>1) ≪ n! ≪ nⁿ. lim nᵅ/aⁿ=0 pour tout a>1, α quelconque.

À retenir

u_{n+1}=auₙ+b : point fixe l=b/(1-a), vₙ=uₙ-l géométrique
Convergence ssi |a|<1, limite l
Ordre 2 : r²-ar-b=0 → forme selon signe Δ
nᵅ/aⁿ→0 pour a>1

Suite arithmético-géométrique

● Moyen

u₀=1, u_{n+1}=(1/3)uₙ+2. (1) Point fixe. (2) Expression de uₙ. (3) Limite.

Correction

(1) l=3. (2) vₙ=uₙ-3=-2·(1/3)ⁿ. uₙ=3-2·(1/3)ⁿ. (3) →3.

Suite d'ordre 2

● Moyen

u_{n+2}=5u_{n+1}-6uₙ, u₀=2, u₁=5. (1) Racines de l'éq. car. (2) uₙ.

Correction

(1) r²-5r+6=0. r=2 et r=3. (2) uₙ=A·2ⁿ+B·3ⁿ. A+B=2, 2A+3B=5 → A=B=1. uₙ=2ⁿ+3ⁿ.

Suite homographique

● Moyen

u_{n+1}=(2uₙ+1)/(uₙ+2), u₀=0. (1) Points fixes. (2) wₙ=(uₙ-1)/(uₙ+1) est géométrique. (3) uₙ et limite.

Correction

(1) l=±1. (2) w_{n+1}=wₙ/3. Géom. r=1/3. (3) w₀=-1. wₙ=-(1/3)ⁿ. uₙ=(1-wₙ)/(1+wₙ)→1.

Croissances comparées

● Moyen

lim n³/2ⁿ
lim (ln n)⁵/n
lim n/1,01ⁿ

Correction

Toutes → 0 (exponentielle et puissance dominent).

Convergence par suites adjacentes

● Difficile

aₙ=1+1/2+...+1/n-ln n. Admettre que (aₙ) converge. Calculer a₁-a₀ pour vérifier la monotonie.

Correction

a_{n+1}-aₙ=1/(n+1)-ln(n+1)+ln n=1/(n+1)-ln(1+1/n). Inégalité ln(1+x)>x/(1+x): a croissante. aₙ bornée par 1. Converge vers la constante d'Euler γ≈0,5772.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

u₀=3, u_{n+1}=2uₙ/(uₙ+1).

Points fixes : Résoudre l=2l/(l+1). Points fixes.
Suite auxiliaire : Poser vₙ=1/uₙ. Montrer v_{n+1}=(vₙ+1)/2. En déduire wₙ=vₙ-1 géométrique.
Expression de uₙ : Déduire vₙ puis uₙ.
Convergence : Montrer uₙ→1.
Monotonie : Montrer (uₙ) décroissante.
Vitesse : Pour quel n a-t-on |uₙ-1|<10⁻³ ? (ln2≈0,693)

Correction

l(l+1)=2l → l=0 ou l=1.
v_{n+1}=(uₙ+1)/(2uₙ)=(1/2)vₙ+1/2. wₙ=vₙ-1 → w_{n+1}=wₙ/2. Géom. r=1/2.
w₀=1/3-1=-2/3. wₙ=(-2/3)(1/2)ⁿ. vₙ=1+wₙ. uₙ=1/vₙ→1.
(1/2)ⁿ→0 → vₙ→1 → uₙ→1. Point fixe stable.
u_{n+1}-uₙ=uₙ(1-uₙ)/(uₙ+1). uₙ>1 → négatif → décroissante.
|vₙ-1|=(2/3)(1/2)ⁿ<10⁻³ → 2ⁿ>667 → n≥10 (2¹⁰=1024). n≥10.

QCM

10 questions

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Q1/10

u_{n+1}=auₙ+b. Point fixe l=

Q2/10

|a|<1 pour u_{n+1}=auₙ+b →

Q3/10

Éq. car. de u_{n+2}=5u_{n+1}-6uₙ

Q4/10

Δ>0 → uₙ=

Q5/10

lim n²/3ⁿ=

Q6/10

Fibonacci : F_{n+2}=F_{n+1}+Fₙ. Éq. car.

Q7/10

Nombre d'or φ=(1+√5)/2 vérifie

Q8/10

u_{n+1}=(1/3)uₙ+2. Point fixe

Q9/10

Ordre de croissance : ln n vs nᵅ

Q10/10

Suite géométrique |q|>1