(1) l=3. (2) vₙ=uₙ-3=-2·(1/3)ⁿ. uₙ=3-2·(1/3)ⁿ. (3) →3.

(1) r²-5r+6=0. r=2 et r=3. (2) uₙ=A·2ⁿ+B·3ⁿ. A+B=2, 2A+3B=5 → A=B=1. uₙ=2ⁿ+3ⁿ.

(1) l=±1. (2) w_{n+1}=wₙ/3. Géom. r=1/3. (3) w₀=-1. wₙ=-(1/3)ⁿ. uₙ=(1-wₙ)/(1+wₙ)→1.

Toutes → 0 (exponentielle et puissance dominent).

a_{n+1}-aₙ=1/(n+1)-ln(n+1)+ln n=1/(n+1)-ln(1+1/n). Inégalité ln(1+x)>x/(1+x): a croissante. aₙ bornée par 1. Converge vers la constante d'Euler γ≈0,5772.

Pour tout n≥1 : u_{n+1} − uₙ = (2n+1)/(3n+1) − (2n−1)/(3n−2) = [(2n+1)(3n−2) − (2n−1)(3n+1)] / [(3n+1)(3n−2)].

Le numérateur vaut (6n²−n−2) − (6n²−n−1) = −1. Comme n≥1, on a 3n+1>0 et 3n−2>0, donc le dénominateur est strictement positif.

Ainsi u_{n+1} − uₙ = −1/[(3n+1)(3n−2)] < 0 pour tout n≥1 : la suite (uₙ) est strictement décroissante (elle tend vers 2/3).

a) Minoration par −8. Initialisation : u₀ = 3 > −8, la propriété est vraie au rang 0. Hérédité : supposons uₙ > −8. Alors u_{n+1} = (1/2)uₙ − 4 > (1/2)(−8) − 4 = −4−4 = −8. La propriété est donc vraie au rang n+1. Par récurrence, uₙ > −8 pour tout n∈ℕ (le point fixe de la relation, L = (1/2)L−4 ⟹ L = −8, est la meilleure minorante).

b) Décroissance. u_{n+1} − uₙ = (1/2)uₙ − 4 − uₙ = −(1/2)uₙ − 4. Comme uₙ > −8, on a −(1/2)uₙ < 4, donc −(1/2)uₙ − 4 < 0. Ainsi u_{n+1} < uₙ pour tout n : la suite (uₙ) est strictement décroissante. Étant décroissante et minorée, elle converge — nécessairement vers son point fixe L = −8.

1) v_{n+1} = u_{n+1}+a(n+1)+b = (1/3)uₙ − n − 4/3 + an+a+b = (1/3)uₙ + (a−1)n + (a+b−4/3). Pour que (vₙ) soit géométrique de raison 1/3 (coefficient de uₙ), il faut (1/3)vₙ = (1/3)uₙ + (a/3)n + b/3. En identifiant : a−1 = a/3 ⟹ a = 3/2 ; puis a+b−4/3 = b/3 ⟹ b = −1/4.

Donc vₙ = uₙ + (3/2)n − 1/4, géométrique de raison 1/3, avec v₀ = u₀ − 1/4 = 1. D'où vₙ = (1/3)ⁿ, puis uₙ = (1/3)ⁿ − (3/2)n + 1/4.

2) Sₙ est la somme des n+1 premiers termes d'une géométrique de premier terme 1 et de raison 1/3 : Sₙ = (1−(1/3)^{n+1})/(1−1/3) = (3/2)[1−(1/3)^{n+1}].

Tₙ = Σuₖ = Σ[vₖ − (3/2)k + 1/4] = Sₙ − (3/2)·[n(n+1)/2] + (n+1)/4, soit Tₙ = (3/2)[1−(1/3)^{n+1}] + (n+1)(1−3n)/4.

1) w_{n+1} = v_{n+1}−u_{n+1} = (uₙ+3vₙ)/4 − (uₙ+2vₙ)/3 = [3(uₙ+3vₙ) − 4(uₙ+2vₙ)]/12 = (−uₙ+vₙ)/12 = wₙ/12. (wₙ) est géométrique de raison 1/12, avec w₁ = v₁−u₁ = 1−12 = −11. Donc wₙ = −11·(1/12)^{n−1}.

2) u_{n+1}−uₙ = (uₙ+2vₙ)/3 − uₙ = (2/3)(vₙ−uₙ) = (2/3)wₙ. Comme wₙ < 0 pour tout n (produit de −11 par une puissance positive), u_{n+1} < uₙ : (uₙ) est décroissante. De même v_{n+1}−vₙ = (uₙ+3vₙ)/4 − vₙ = (uₙ−vₙ)/4 = −wₙ/4 > 0 : (vₙ) est croissante.

3) uₙ − vₙ = −wₙ = 11·(1/12)^{n−1} > 0, donc uₙ ≥ vₙ pour tout n. Comme (uₙ) est décroissante, uₙ ≤ u₁ pour tout n ; comme (vₙ) est croissante, vₙ ≥ v₁ pour tout n. En combinant : u₁ ≥ uₙ ≥ vₙ ≥ v₁ (les deux suites sont adjacentes et convergent vers une limite commune).

1) f'(x) = 12/(x+3)² > 0 : f est strictement croissante sur ]−3;+∞[. Points fixes : f(x)=x ⟺ x²−2x−3=0 ⟺ x=3 ou x=−1. On a f(x)−x = −(x−3)(x+1)/(x+3), négatif pour x>3 : donc f(x)<x sur ]3;+∞[. De plus f(x)−3 = 2(x−3)/(x+3) > 0 pour x>3 : l'intervalle ]3;+∞[ est stable par f. Comme u₁=4>3, par récurrence uₙ>3 pour tout n, et u_{n+1}=f(uₙ)<uₙ : (uₙ) est décroissante, minorée par 3, donc convergente vers un point fixe ≥3, nécessairement L=3.

2a) Comme uₙ>3>−1 pour tout n, uₙ≠−1 : vₙ est bien défini.

2b) u_{n+1}−3 = 2(uₙ−3)/(uₙ+3) et u_{n+1}+1 = 6(uₙ+1)/(uₙ+3), donc v_{n+1} = [2(uₙ−3)/(uₙ+3)] / [6(uₙ+1)/(uₙ+3)] = (1/3)vₙ. (vₙ) est géométrique de raison 1/3, avec v₁ = (4−3)/(4+1) = 1/5.

2c) vₙ = (1/5)(1/3)^{n−1}. De vₙ=(uₙ−3)/(uₙ+1) on tire uₙ = (3+vₙ)/(1−vₙ). Comme vₙ→0, uₙ→3 (on retrouve le résultat de la question 1).

2d) w₁ = 3 est exactement le point fixe de f (f(3) = 18/6 = 3), donc w_{n+1} = f(wₙ) = wₙ pour tout n : la suite (wₙ) est constante égale à 3, donc trivialement convergente, de limite 3.

Initialisation : u₀ = 2, donc 3/2 ≤ u₀ ≤ 2 : la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : supposons que 3/2 ≤ uₙ ≤ 2 pour un certain n∈ℕ. La fonction x↦1/x étant strictement décroissante sur ]0;+∞[, on a 1/2 ≤ 1/uₙ ≤ 2/3 (en inversant l'encadrement de uₙ). En ajoutant 1 partout : 3/2 ≤ 1+1/uₙ ≤ 5/3, c'est-à-dire 3/2 ≤ u_{n+1} ≤ 5/3. Or 5/3 ≤ 2, donc a fortiori 3/2 ≤ u_{n+1} ≤ 2 : la propriété est vraie au rang n+1.

Conclusion : par le principe de récurrence, pour tout n∈ℕ, 3/2 ≤ uₙ ≤ 2 (on obtient même l'encadrement plus fin 3/2 ≤ uₙ ≤ 5/3 dès n≥1 ; la suite converge en réalité vers le nombre d'or (1+√5)/2 ≈ 1,618, point fixe de x↦1+1/x).

1) Étude graphique. On pose f(x) = (−7x−8)/(2x+1), homographique, de courbe une hyperbole d'asymptotes x = −1/2 et y = −7/2. Ses points fixes vérifient f(x)=x ⟺ 2x²+8x+8=0 ⟺ (x+2)²=0 : x = −2 est point fixe double (la courbe de f est tangente à la droite y=x au point (−2;−2)). Sur la branche x<−1/2 (qui contient u₁=−5), f'(x) = 9/(2x+1)² > 0 : f est strictement croissante. En construisant l'escalier à partir de u₁=−5 : u₂=f(−5)=27/(−9)=−3, u₃=f(−3)=13/(−5)=−2,6, u₄=f(−2,6)≈−2,43… La suite « monte » régulièrement vers l'unique point fixe −2 sans jamais l'atteindre : graphiquement, l'escalier se rapproche en spirale (ici en escalier simple, car f croissante) de l'intersection de la courbe avec la droite y=x. On lit ainsi que (uₙ) est croissante et converge vers −2.

2) Récurrence. Initialisation : u₁ = −5 ≠ −2, la propriété est vraie au rang 1.

Hérédité : supposons uₙ ≠ −2 pour un rang n∈ℕ*. Raisonnons par l'absurde en supposant u_{n+1} = −2 : (−7uₙ−8)/(2uₙ+1) = −2 ⟹ −7uₙ−8 = −2(2uₙ+1) = −4uₙ−2 ⟹ −3uₙ = 6 ⟹ uₙ = −2, ce qui contredit l'hypothèse de récurrence uₙ ≠ −2. Donc u_{n+1} ≠ −2 : la propriété est héréditaire.

Conclusion : par récurrence, uₙ ≠ −2 pour tout n∈ℕ* (ce qui légitime, dans un exercice ultérieur, l'introduction d'une suite auxiliaire du type wₙ = 1/(uₙ+2)).

En utilisant la propriété ln(aᵇ) = b·ln(a), on peut écrire directement : uₙ = 2n·ln(1 + 1/(2n)).

Posons xₙ = 1/(2n). Comme n→+∞, xₙ→0⁺, et 2n = 1/xₙ. Donc uₙ = ln(1+xₙ)/xₙ.

Or on sait que lim[x→0] ln(1+x)/x = 1 (limite fondamentale, nombre dérivé en 0 de la fonction x↦ln(1+x), de dérivée 1/(1+x) qui vaut 1 en 0). Comme xₙ→0 quand n→+∞, on obtient par composition :

lim[n→+∞] uₙ = lim[n→+∞] ln(1+xₙ)/xₙ = 1.

Interprétation : ce résultat traduit le fait que (1+1/(2n))^(2n) → e quand n→+∞ (limite classique de type (1+a/n)ⁿ→eᵃ), et donc uₙ = ln[(1+1/(2n))^(2n)] → ln(e) = 1.

1) Étude graphique. On remarque que u_{n+1} = uₙ/2 + 1/(2uₙ) = (uₙ + 1/uₙ)/2 : f(x) = (x+1/x)/2 est la « moyenne » de x et 1/x. Sur ]0;+∞[, f admet un minimum en x=1 (f(1)=1) : f est strictement décroissante sur ]0;1] puis strictement croissante sur [1;+∞[, sa courbe étant tangente à la droite y=x uniquement au point (1;1). Partant de u₀=10 (à droite du minimum), la courbe de f étant au-dessus de la droite y=x pour x>1, la construction en escalier montre que la suite descend régulièrement vers le point fixe 1 sans jamais l'atteindre.

2) uₙ > 1. Initialisation : u₀ = 10 > 1. Hérédité : supposons uₙ > 1 (donc uₙ > 0 et uₙ ≠ 1/uₙ). Par l'inégalité arithmético-géométrique stricte (car uₙ ≠ 1/uₙ) : u_{n+1} = (uₙ+1/uₙ)/2 > √(uₙ·1/uₙ) = 1. Donc u_{n+1} > 1 : la propriété est héréditaire. Par récurrence, uₙ > 1 pour tout n∈ℕ.

3) Décroissance. u_{n+1} − uₙ = (1+uₙ²)/(2uₙ) − uₙ = (1+uₙ²−2uₙ²)/(2uₙ) = (1−uₙ²)/(2uₙ). Comme uₙ > 1 (question 2), on a 1−uₙ² < 0 et 2uₙ > 0, donc u_{n+1} − uₙ < 0 : (uₙ) est strictement décroissante.

4) Convergence. (uₙ) est décroissante et minorée par 1 : elle converge donc vers une limite L ≥ 1. Par passage à la limite dans u_{n+1}=(1+uₙ²)/(2uₙ) (uₙ ne s'annulant jamais puisque uₙ>1), L vérifie L=(1+L²)/(2L), soit 2L²=1+L², soit L²=1, donc L=1 ou L=−1. Comme L≥1, on retient L = 1 : la suite converge vers 1.

1) Encadrement. Pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ n, on a n²+1 ≤ n²+k ≤ n²+n (car 1≤k≤n). La fonction racine carrée étant croissante : √(n²+1) ≤ √(n²+k) ≤ √(n²+n), puis, en passant à l'inverse (fonction décroissante sur ]0;+∞[) : 1/√(n²+n) ≤ 1/√(n²+k) ≤ 1/√(n²+1). En sommant cette double inégalité pour k allant de 1 à n (soit n termes identiques encadrant chacun des n termes de uₙ) : n/√(n²+n) ≤ uₙ ≤ n/√(n²+1).

2) Limite. On factorise n² sous chaque racine : n/√(n²+n) = n/(n√(1+1/n)) = 1/√(1+1/n), qui tend vers 1/√1 = 1 quand n→+∞. De même, n/√(n²+1) = 1/√(1+1/n²) → 1. Les deux suites encadrant (uₙ) tendent vers la même limite 1 ; par le théorème des gendarmes, lim[n→+∞] uₙ = 1.

1) a = 2. La relation devient u_{n+2} = 2u_{n+1} + (9−6−4)uₙ = 2u_{n+1} − uₙ, soit u_{n+2} − 2u_{n+1} + uₙ = 0. Alors v_{n+1} = u_{n+2} − u_{n+1} = (2u_{n+1}−uₙ) − u_{n+1} = u_{n+1} − uₙ = vₙ : (vₙ) est constante, égale à v₀ = u₁−u₀ = 3−1 = 2. Comme u_{n+1}−uₙ = 2 pour tout n, (uₙ) est arithmétique de raison r = 2 et de premier terme u₀ = 1, donc uₙ = 1+2n. On en déduit Sₙ = (n+1)(u₀+uₙ)/2 = (n+1)(1+1+2n)/2 = (n+1)(n+1) = (n+1)².

2) a = −4. La relation devient u_{n+2} = −4u_{n+1} + (9+12−16)uₙ = −4u_{n+1} + 5uₙ. Alors v_{n+1} = u_{n+2}−u_{n+1} = (−4u_{n+1}+5uₙ) − u_{n+1} = −5u_{n+1}+5uₙ = −5(u_{n+1}−uₙ) = −5vₙ : (vₙ) est géométrique de raison −5, de premier terme v₀ = u₁−u₀ = 2. Donc vₙ = 2·(−5)ⁿ. Par somme géométrique : Tₙ = v₀·(1−(−5)^{n+1})/(1−(−5)) = 2[1−(−5)^{n+1}]/6, soit Tₙ = [1−(−5)^{n+1}]/3. Par ailleurs, vₖ = u_{k+1}−uₖ pour tout k, donc la somme v₀+v₁+…+vₙ est télescopique : Tₙ = (u₁−u₀)+(u₂−u₁)+…+(u_{n+1}−uₙ) = u_{n+1} − u₀. On a bien démontré Tₙ = u_{n+1} − u₀ (soit ici Tₙ = u_{n+1} − 1).

3) Unicité. D'après la relation de récurrence, v_{n+1} = u_{n+2}−u_{n+1} = (a−1)u_{n+1} + (9−3a−a²)uₙ. En écrivant u_{n+1} = uₙ+vₙ, il vient v_{n+1} = (a−1)(uₙ+vₙ) + (9−3a−a²)uₙ = (a−1)vₙ + [(a−1)+(9−3a−a²)]uₙ = (a−1)vₙ − (a²+2a−8)uₙ = (a−1)vₙ − (a−2)(a+4)uₙ. Pour que (vₙ) soit géométrique (v_{n+1} proportionnelle à vₙ pour tout n, indépendamment de uₙ, sachant u₀=1≠0), il faut que le coefficient de uₙ s'annule, c'est-à-dire (a−2)(a+4) = 0, soit a = 2 ou a = −4. Le cas a=2 donne une raison (a−1)=1, c'est-à-dire une suite (vₙ) constante (cas déjà traité en 1) ; le cas a=−4 donne une raison (a−1)=−5≠1, donc une suite géométrique non constante. a = −4 est donc bien la seule valeur, en dehors de a=2, rendant (vₙ) géométrique non constante.

1) Pour tout n, u_{n+1}/uₙ = e^(2(n+1)+1)/e^(2n+1) = e^(2n+3−2n−1) = e². Le rapport est constant : (uₙ) est géométrique de raison q = e² (et de premier terme u₀ = e).

2a) S_0,n = u₀·(1−q^(n+1))/(1−q) = e(1−e^(2n+2))/(1−e²), soit, en multipliant haut et bas par −1 : S_0,n = e(e^(2n+2)−1)/(e²−1).

2b) Quand n→+∞, e^(2n+2)→+∞ (car 2>0), et e/(e²−1) est une constante strictement positive (e²−1≈6,39). Donc lim S_0,n = +∞.

2c) On calcule S_0,n pour quelques valeurs : S_0,6 = e(e^14−1)/(e²−1) ≈ 2,718×(1 202 604−1)/6,389 ≈ 511 656 < 10⁶. S_0,7 = e(e^16−1)/(e²−1) ≈ 2,718×(8 886 111−1)/6,389 ≈ 3 780 500 ≥ 10⁶. La suite S_0,n étant strictement croissante (somme de termes positifs), la valeur minimale est n = 7.

3a) vₙ = ln(uₙ) = ln(e^(2n+1)) = 2n+1 : v₀,v₁,…,vₙ sont les n+1 premiers nombres impairs consécutifs (1,3,5,…,2n+1). Leur somme vaut, par la formule classique des sommes de premiers impairs (ou en sommant une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1) : v₀+v₁+…+vₙ = (n+1)·(1+(2n+1))/2 = (n+1)(n+1) = (n+1)².

3b) u₀·u₁·…·uₙ = e^(v₀)·e^(v₁)·…·e^(vₙ) = e^(v₀+v₁+…+vₙ) = e^((n+1)²), d'après le résultat de la question 3a.

1) u₁ = (1/2)(2/3) + 2/(2√2) = 1/3 + 1/√2 = 1/3 + √2/2 = (2+3√2)/6 ≈ 1,040. u₂ = (1/2)u₁ + 3/(2√2) = (2+3√2)/12 + 3√2/4 = (2+3√2)/12 + 9√2/12 = (2+12√2)/12 = (1+6√2)/6 ≈ 1,581.

2) v_{n+1} = √2·u_{n+1} − (n+1) = √2[(1/2)uₙ + (n+2)/(2√2)] − (n+1) = (√2/2)uₙ + (n+2)/2 − (n+1). Or (n+2)/2 − (n+1) = −n/2. Comme uₙ = (vₙ+n)/√2, on a (√2/2)uₙ = (vₙ+n)/2. D'où v_{n+1} = (vₙ+n)/2 − n/2 = vₙ/2. (vₙ) est géométrique de raison 1/2, de premier terme v₀ = √2·u₀ − 0 = 2√2/3.

3) vₙ = v₀·(1/2)ⁿ = (2√2/3)(1/2)ⁿ. Alors uₙ = (vₙ+n)/√2 = vₙ/√2 + n/√2 = (2/3)(1/2)ⁿ/1 ... plus précisément vₙ/√2 = (2√2/3)(1/2)ⁿ/√2 = (2/3)(1/2)ⁿ = 2^(1−n)/3, et n/√2 = n√2/2. Donc uₙ = 2^(1−n)/3 + n√2/2 (on vérifie u₀ = 1/(3/2) + 0 = 2/3 ✓, et u₁ = 1/3+√2/2 ✓). Quand n→+∞, le terme 2^(1−n)/3 tend vers 0 tandis que n√2/2 tend vers +∞ : (uₙ) diverge et tend vers +∞.

4) S_0,n = Σ[2^(1−k)/3 + k√2/2] = (1/3)Σ2^(1−k) + (√2/2)Σk. La première somme (géométrique de raison 1/2, premier terme 2) vaut Σ_{k=0}^n 2^(1−k) = 4[1−(1/2)^(n+1)] = 4 − 2^(1−n). La seconde vaut Σ_{k=0}^n k = n(n+1)/2. Donc S_0,n = (4−2^(1−n))/3 + √2·n(n+1)/4. Quand n→+∞ : (4−2^(1−n))/3 → 4/3 (borné), tandis que √2·n(n+1)/4 → +∞. Donc lim S_0,n = +∞.

1) Une double intégration par parties (ou vérification directe) donne la primitive F(x) = −e^(−x)(sin x+cos x)/2 de la fonction x↦e^(−x)sin x (on vérifie F'(x) = e^(−x)sin x). Comme sin(kπ)=0 et cos(kπ)=(−1)^k pour tout entier k : F(nπ) = −(−1)ⁿe^(−nπ)/2 et F((n+1)π) = (−1)ⁿe^(−(n+1)π)/2 (car (−1)^(n+1+2)=(−1)^n après simplification des signes). D'où Iₙ = F((n+1)π)−F(nπ) = (−1)ⁿe^(−(n+1)π)/2 + (−1)ⁿe^(−nπ)/2 = (−1)ⁿe^(−nπ)(1+e^(−π))/2, soit Iₙ = [(1+e^(−π))/2]·(−e^(−π))ⁿ.

2) On lit directement sur l'expression précédente que (Iₙ) est géométrique, de premier terme I₀ = (1+e^(−π))/2 et de raison r = −e^(−π) (on vérifie I₀=∫[0,π]e^(−x)sinx dx = F(π)−F(0) = e^(−π)/2+1/2, conforme).

3) S_0,n = I₀(1−rⁿ⁺¹)/(1−r) = [(1+e^(−π))/2]·[1−(−e^(−π))^(n+1)]/(1+e^(−π)) = [1−(−e^(−π))^(n+1)]/2. Comme |−e^(−π)| = e^(−π) < 1, (−e^(−π))^(n+1) → 0 quand n→+∞. Donc lim S_0,n = 1/2.

4) Interprétation graphique. La courbe y = e^(−x)sin x oscille en changeant de signe sur chaque intervalle [nπ,(n+1)π] (d'où l'alternance de signe (−1)ⁿ de Iₙ, qui représente l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des abscisses sur cet intervalle), tout en restant piégée entre les deux courbes enveloppes f(x)=e^(−x) et g(x)=−e^(−x) = −f(x) (car |sin x|≤1) : c'est cet amortissement exponentiel des enveloppes qui explique la décroissance géométrique de raison e^(−π)<1 en valeur absolue observée pour |Iₙ|. La somme S_0,n représente l'aire algébrique cumulée entre la courbe et l'axe des abscisses sur [0,(n+1)π] ; sa limite 1/2 correspond à l'aire algébrique totale (convergente) de la courbe amortie sur [0,+∞[.

1) f(x) = 2^(−x) est une exponentielle décroissante : f(0)=1, f est strictement décroissante sur ℝ, tend vers +∞ quand x→−∞ et vers 0⁺ quand x→+∞ (asymptote horizontale y=0 en +∞) ; sa courbe passe par les points (−1;2), (0;1), (1;1/2), (2;1/4).

2) Une primitive de x↦2^(−x) est x↦−2^(−x)/ln2 (car d/dx[2^(−x)] = −ln2·2^(−x)). Donc uₙ = [−2^(−x)/ln2]_n−1ⁿ = (2^(−(n−1))−2^(−n))/ln2 = 2^(−n)(2−1)/ln2 = 2^(−n)/ln2. Le rapport u_{n+1}/uₙ = 2^(−(n+1))/2^(−n) = 1/2 est constant : (uₙ) est géométrique de raison 1/2 (premier terme u₁ = 1/(2ln2)). Interprétation graphique : uₙ est l'aire sous la courbe de f entre x=n−1 et x=n ; décaler l'intervalle d'une unité vers la droite multiplie la hauteur de la courbe (donc l'aire de la tranche) par f(1)=2^(−1)=1/2 en tout point, par auto-similarité de l'exponentielle : les aires des tranches successives de largeur 1 forment donc naturellement une suite géométrique de raison 1/2.

3a) S_1,n = u₁·(1−(1/2)ⁿ)/(1−1/2) = 2u₁[1−(1/2)ⁿ] = 2·[1/(2ln2)]·[1−(1/2)ⁿ] = (1−2^(−n))/ln2.

3b) Par la relation de Chasles, comme les intervalles [0,1],[1,2],…,[n−1,n] recouvrent exactement [0,n] : S_1,n = Σ_{k=1}^n ∫[k−1,k] 2^(−x)dx = ∫[0,n] 2^(−x)dx = [−2^(−x)/ln2]₀ⁿ = (1−2^(−n))/ln2, ce qui confirme le résultat du a).

4) Quand n→+∞, 2^(−n)→0, donc lim S_1,n = 1/ln2 ≈ 1,4427. Interprétation graphique : S_1,n = ∫[0,n]2^(−x)dx est l'aire sous la courbe de f entre 0 et n ; quand n→+∞, cette aire tend vers l'aire totale (impropre, mais finie) sous la courbe sur [0,+∞[, égale à 1/ln2 — la décroissance exponentielle de f est assez rapide pour que cette aire, bien que portant sur un domaine non borné, reste finie.