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1. Intégration par parties (IPP)

Formule

∫u'v = [uv] - ∫uv'. Choisir v=polynôme et u'=eˣ/sin/cos pour que uv' soit plus simple.

Exemples fondamentaux

∫x·eˣdx=(x-1)eˣ+C. ∫ln x dx=x·ln x-x+C. ∫x²cos x dx par deux IPP.

2. Changement de variable

Méthode

u=g(x), du=g'(x)dx. Adapter les bornes : ∫_a^b f(g(x))g'(x)dx=∫_{g(a)}^{g(b)} f(u)du.

3. Fractions rationnelles et F(x)=∫f

Primitives clés

∫1/x dx=ln|x|+C. ∫u'/u dx=ln|u|+C. ∫1/(x²+a²)dx=(1/a)arctan(x/a)+C.

F(x)=∫_a^x f(t)dt → F'(x)=f(x), F(a)=0.

d/dx[∫_{u(x)}^{v(x)} f(t)dt]=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x).

À retenir

  • IPP : ∫u'v=[uv]-∫uv'
  • ∫ln x dx=x·ln x-x+C
  • Changement u=g(x) : adapter bornes
  • F'(x)=f(x) pour F(x)=∫_a^x f(t)dt
1

Intégration par parties

● Moyen
  1. ∫₀¹ x·eˣ dx
  2. ∫₁ᵉ ln x dx
  3. ∫ x²sin x dx
Correction
  1. [(x-1)eˣ]₀¹=1.
  2. [x·ln x-x]₁ᵉ=1.
  3. -x²cos x+2x sin x+2cos x+C.
2

Changement de variable

● Moyen
  1. ∫x/√(1-x²)dx (u=1-x²)
  2. ∫₀¹ x·e^(x²)dx (u=x²)
Correction
  1. -√(1-x²)+C.
  2. (e-1)/2.
3

Fraction rationnelle

● Moyen

∫(2x+1)/(x²-1)dx.

Correction

A/(x-1)+B/(x+1). A=3/2, B=1/2. (3/2)ln|x-1|+(1/2)ln|x+1|+C.

4

Fonction définie par une intégrale

● Moyen

F(x)=∫_0^x(t²-1)/(t²+1)dt. (1) F'(x). (2) Variations. (3) G'(x) si G(x)=∫_x^(x²) eᵗdt.

Correction

(1) (x²-1)/(x²+1). (2) F'<0 sur ]-1;1[, F'>0 ailleurs. (3) G'=e^(x²)·2x-eˣ.

5

Récurrence d'intégrales

● Difficile

Iₙ=∫₀¹ xⁿeˣdx. (1) I₀ et I₁. (2) Montrer Iₙ=e-n·I_{n-1}. (3) Calculer I₂.

Correction

(1) I₀=e-1. I₁=1. (2) IPP: [xⁿeˣ]₀¹-n·I_{n-1}=e-n·I_{n-1}. (3) I₂=e-2.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Soit Iₙ=∫₀¹ xⁿ·eˣ dx.

  1. I₁ : Calculer I₁ par IPP.
  2. Récurrence : Montrer Iₙ=e-n·I_{n-1}.
  3. I₂ : Déduire I₂.
  4. Encadrement : Montrer 0≤Iₙ≤e/(n+1). En déduire lim Iₙ.
  5. Signe : Iₙ est-elle positive ? Justifier sans calcul.
  6. Aire : Calculer l'aire sous y=x²eˣ entre 0 et 1, en fraction de l'aire du rectangle [0;1]×[0;e].
Correction
  1. I₁=[(x-1)eˣ]₀¹=1.
  2. IPP (u'=eˣ, v=xⁿ): [xⁿeˣ]₀¹-n∫₀¹xⁿ⁻¹eˣdx=e-n·I_{n-1}.
  3. I₂=e-2·I₁=e-2≈0,718.
  4. 0≤xⁿ≤1 et eˣ≤e: 0≤Iₙ≤e∫₀¹xⁿdx=e/(n+1)→0. lim Iₙ=0.
  5. Intégrande xⁿeˣ≥0 sur [0;1] → Iₙ>0.
  6. I₂=e-2. Rectangle=e. Rapport=(e-2)/e≈26,4%.

QCM

10 questions

0Score
0/10Repondues
Q1/10

IPP : ∫u'v=

Q2/10

∫ln x dx=

Q3/10

∫x·eˣdx=

Q4/10

F(x)=∫_a^x f(t)dt → F'(x)=

Q5/10

∫1/(x²+a²)dx=

Q6/10

∫₀¹ x·eˣdx=

Q7/10

∫x/√(1-x²)dx (u=1-x²)=

Q8/10

Iₙ=∫₀¹xⁿeˣdx. Relation de récurrence :

Q9/10

d/dx[∫_x^(x²) f(t)dt]=

Q10/10

∫_a^a f(t)dt=