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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 08
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1. Équations du 1er ordre

y'=ay et y'+ay=b

y'=ay : y=Ce^(ax). y'+ay=b : yₕ=Ce^(-ax), y*=b/a. Sol. gén. : y=Ce^(-ax)+b/a.

2. Équations du 2ème ordre

y''+py'+qy=0 — Équation caractéristique r²+pr+q=0
Δ=p²-4qSolution générale Δ>0y=Ae^(r₁x)+Be^(r₂x) Δ=0y=(A+Bx)e^(r₀x) Δ<0y=e^(αx)(A·cos βx+B·sin βx)
Équation complète

Sol. gén. = homogène + particulière. Pour y''+py'+qy=a·cos(ωx) : chercher y*=A·cos+B·sin.

À retenir

  • y'=ay → Ce^(ax) ; y'+ay=b → Ce^(-ax)+b/a
  • Éq. car. r²+pr+q=0, selon signe Δ
  • f''+ω²f=0 → oscillations A·cos(ωx)+B·sin(ωx)
1

1er ordre

● Moyen
  1. y'=3y, y(0)=2
  2. y'+4y=8, y(0)=1
Correction
  1. y=2e^(3x).
  2. y=-e^(-4x)+2.
2

2ème ordre homogène

● Moyen
  1. y''-5y'+6y=0
  2. y''-4y'+4y=0
  3. y''+y=0
Correction
  1. Ae^(2x)+Be^(3x).
  2. (A+Bx)e^(2x).
  3. A·cos x+B·sin x.
3

Équation complète

● Moyen

y''-y=2eˣ.

Correction

yₕ=Aeˣ+Be^(-x). eˣ est racine → y*=Cxeˣ. 2Ceˣ=2eˣ → C=1. y=Aeˣ+Be^(-x)+xeˣ.

4

Application — Refroidissement

● Moyen

dT/dt=-k(T-20), T(0)=80, T(5)=60. (1) Résoudre. (2) Trouver k. (3) Quand T=30 ?

Correction

(1) T=Ce^(-kt)+20. (2) C=60. e^(-5k)=2/3 → k=ln(3/2)/5≈0,081. (3) 60e^(-kt)=10 → t=ln6/k≈22 min.

5

Oscillateur

● Difficile

y''+4y=0. y(0)=1, y'(0)=4. (1) Sol. gén. (2) A et B. (3) Forme R·cos(2x-φ).

Correction

(1) A·cos(2x)+B·sin(2x). (2) A=1, B=2. (3) R=√5, tan φ=2. y=√5·cos(2x-arctan2).

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Chute avec résistance : mv'=mg-kv, soit v'+(k/m)v=g, v(0)=0.

  1. Résolution : Poser a=k/m. Résoudre et exprimer v(t).
  2. Vitesse limite : lim v(t) et interprétation physique.
  3. Position : x(t) avec x(0)=0.
  4. Numérique : m=70 kg, k=14. Calculer v_L et x(5s).
  5. Parachute : k=1400 après t=10s. Nouvelle vitesse limite. Résoudre avec v(10)=v₁.
  6. Énergie : Montrer dE/dt=mgv-kv² avec E=mv²/2.
Correction
  1. v(t)=(g/a)(1-e^(-at)), a=k/m.
  2. lim=g/a=mg/k. Équilibre poids-frottement.
  3. x(t)=(g/a)[t+(e^(-at)-1)/a].
  4. a=0,2. v_L=49 m/s. x(5)≈239 m.
  5. a'=20. v_L'=0,49 m/s. v converge rapidement.
  6. dE/dt=mv·v'=v(mg-kv)=mgv-kv². ✓

QCM

10 questions

0Score
0/10Repondues
Q1/10

y'=3y → sol. gén.

Q2/10

y'+2y=4 → sol. part. constante

Q3/10

Éq. car. r²-5r+6=0. Racines

Q4/10

Δ=0 → sol.

Q5/10

y''+y=0 → sol.

Q6/10

y'+ay=b. lim y (a>0)

Q7/10

y''-4y=0. Racines car.

Q8/10

f''+ω²f=0. Période

Q9/10

y''+y=2eˣ. y* si eˣ non racine

Q10/10

Demi-vie T=