Ch. 09 Courbes paramétriques et représentations graphiques — Terminale D Maths

1. Représentation paramétrique

Courbe et vecteur tangent

M(t)=(f(t);g(t)). Vecteur tangent T(t)=(f'(t);g'(t)). Pente=g'(t)/f'(t) si f'≠0.

Point singulier : f'(t₀)=g'(t₀)=0. Tangente verticale : f'=0, g'≠0.

2. Courbes classiques

Courbex(t)y(t) Cercle RR·cos tR·sin t Ellipsea·cos tb·sin t CycloïdeR(t-sin t)R(1-cos t) Astroïdecos³tsin³t

3. Fonctions définies par des intégrales

F(x)=∫_a^x f(t)dt

F'(x)=f(x). F(a)=0. Variations de F ↔ signe de f.

Règle de Leibniz : d/dx∫_{u}^{v}f=f(v)v'-f(u)u'.

À retenir

T(t)=(f';g'), pente=g'/f'
Cycloïde : x=R(t-sin t), y=R(1-cos t)
Astroïde : x²/³+y²/³=1
F'(x)=f(x) pour F=∫_a^x f

Tangentes

● Moyen

Γ: x=t²-1, y=t³-t. (1) f', g'. (2) Tangente en t=1. (3) Tangentes horizontale et verticale.

Correction

(1) f'=2t, g'=3t²-1. (2) M(1)=(0;0). Pente=2/2=1. y=x. (3) Horiz: t=±1/√3. Vert: t=0, M(-1;0).

Astroïde

● Moyen

x=cos³t, y=sin³t. (1) Singularités. (2) Tangente en t=π/4. (3) Équation cartésienne.

Correction

(1) f'=-3cos²t·sin t=0 aux t=0,π/2,π,3π/2. (2) Pente=-1. Tangente y=-x+√2/2. (3) x²/³+y²/³=1.

Cycloïde

● Moyen

x=R(t-sin t), y=R(1-cos t). (1) f', g'. (2) Tangente en t=π/2. (3) Cusps.

Correction

(1) f'=R(1-cos t), g'=R·sin t. (2) Pente=1. (3) t=2kπ : points (2kπR;0).

Fonction définie par intégrale

● Moyen

F(x)=∫₀ˣ(t²-1)/(t²+1)dt. (1) F'. (2) Variations. (3) Encadrer F(1).

Correction

(1) (x²-1)/(x²+1). (2) Décroissante sur [-1;1], croissante ailleurs. (3) F'∈[-1;0] sur [0;1] → -1≤F(1)≤0.

Aire d'une ellipse

● Difficile

Ellipse : x=3cos t, y=2sin t. A=(1/2)∫₀^(2π)(x·y'-y·x')dt. Calculer A.

Correction

x·y'-y·x'=3cos t·2cos t-2sin t·(-3sin t)=6. A=(1/2)×6×2π=6π=π×3×2 ✓.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Cycloïde Γ : x=t-sin t, y=1-cos t (R=1), t∈[0;4π].

Extrêmes : Calculer M(0) et M(4π).
Singularités : Trouver les t∈[0;4π] avec point singulier.
Maximum de y : Trouver les t où y est maximale et la valeur.
Tangente en t=π/2 : Pente et équation.
Aire d'une arche : Calculer A=∫₀^(2π) y·x'dt.
Interprétation : Comparer A à l'aire du cercle générateur.

Correction

M(0)=(0;0). M(4π)=(4π;0).
x'=1-cos t=0 et y'=sin t=0 → t=2kπ. Points singuliers en t=0, 2π, 4π.
y'=sin t=0 → max aux t=π, 3π. y(π)=2. Maximum y=2.
M(π/2-1;1). x'=1, y'=1. Pente=1. y-1=1(x-(π/2-1)) → y=x-π/2+2.
A=∫₀^(2π)(1-cos t)²dt=∫₀^(2π)(1-2cos t+cos²t)dt=2π-0+π=3π.
Cercle=π. Arche=3π=3×(aire cercle). Résultat remarquable d'Archimède.

QCM

10 questions

0Score

0/10Repondues

Q1/10

Vecteur tangent d'une courbe para.

Q2/10

Pente en t₀ (f'≠0)

Q3/10

Point singulier : f'(t₀)=g'(t₀)=

Q4/10

Cercle R : ||T(t)||=

Q5/10

F(x)=∫_a^x f(t)dt. F(a)=

Q6/10

Cycloïde : point singulier en

Q7/10

Astroïde : x²/³+y²/³=

Q8/10

Ellipse x=3cos t, y=2sin t

Q9/10

F'(x)=f(x). Si f>0 sur [a;b], F est

Q10/10

Aire ellipse axes a,b