(1) f'=2t, g'=3t²-1. (2) M(1)=(0;0). Pente=2/2=1. y=x. (3) Horiz: t=±1/√3. Vert: t=0, M(-1;0).

(1) f'=-3cos²t·sin t=0 aux t=0,π/2,π,3π/2. (2) Pente=-1. Tangente y=-x+√2/2. (3) x²/³+y²/³=1.

(1) f'=R(1-cos t), g'=R·sin t. (2) Pente=1. (3) t=2kπ : points (2kπR;0).

(1) (x²-1)/(x²+1). (2) Décroissante sur [-1;1], croissante ailleurs. (3) F'∈[-1;0] sur [0;1] → -1≤F(1)≤0.

x·y'-y·x'=3cos t·2cos t-2sin t·(-3sin t)=6. A=(1/2)×6×2π=6π=π×3×2 ✓.

1. g(t) = t² + 1, g'(t) = 2t. g'(t) = 0 pour t = 0 ; g'(t) < 0 sur ]−∞;0[, g'(t) > 0 sur ]0;+∞[. lim(t→±∞) g(t) = +∞. g décroît de +∞ à g(0)=1, puis croît de 1 à +∞.
2. h(t) = t² − 2t + 2 = (t−1)² + 1, h'(t) = 2t − 2 = 2(t−1). h'(t) = 0 pour t = 1 ; h'(t) < 0 sur ]−∞;1[, h'(t) > 0 sur ]1;+∞[. lim(t→±∞) h(t) = +∞. h décroît de +∞ à h(1)=1, puis croît de 1 à +∞.
3. Tableau croisé : pour t < 0, x décroît et y décroît. En t=0, x atteint son minimum (x=1) puis croît ; y continue de décroître jusqu'à t=1 (y=1), où y croît à son tour. Donc : sur ]−∞;0[, x↓ et y↓ ; sur ]0;1[, x↑ et y↓ ; sur ]1;+∞[, x↑ et y↑.
4. Vecteur dérivé : (x'(t);y'(t)) = (2t ; 2t−2). t=−2 : (−4;−6), soit un vecteur directeur (2;3) (point M(5;10)). t=0 : (0;−2), tangente verticale (point M(1;2)). t=1 : (2;0), tangente horizontale (point M(2;1)). t=3 : (6;4), soit un vecteur directeur (3;2) (point M(10;5)).
5. On place les points M(−2)=(5;10), M(0)=(1;2) [tangente verticale], M(1)=(2;1) [tangente horizontale] et M(3)=(10;5), puis on relie ces points en respectant le tableau croisé : la courbe descend de M(−2) vers M(0) (x et y décroissants), continue vers M(1) en tournant (x croît, y décroît encore), puis remonte vers M(3) (x et y croissants).

1. x'(t) = −3sin t, y'(t) = 2cos t.
2. Un point est singulier si x'(t) = y'(t) = 0 simultanément, c'est-à-dire sin t = 0 et cos t = 0. Or sin²t + cos²t = 1, donc sin t et cos t ne peuvent s'annuler en même temps. (𝒞) n'a donc aucun point singulier : la courbe est régulière en tout point.
3. Tangente horizontale : y'(t) = 2cos t = 0 ⟺ t = π/2 ou t = 3π/2. Points : M(π/2) = (0;2) et M(3π/2) = (0;−2). Tangente verticale : x'(t) = −3sin t = 0 ⟺ t = 0 ou t = π. Points : M(0) = (3;0) et M(π) = (−3;0).
4. En t = π/3 : x(π/3) = 3·(1/2) = 3/2, y(π/3) = 2·(√3/2) = √3. x'(π/3) = −3·(√3/2) = −3√3/2, y'(π/3) = 2·(1/2) = 1. Pente = y'/x' = 1/(−3√3/2) = −2/(3√3) = −2√3/9. Équation de la tangente : y − √3 = −(2√3/9)(x − 3/2), soit y = −(2√3/9)x + 4√3/3.

1. g'(t) = 3cos²t·(−sin t) = −3cos²t·sin t. h'(t) = 3sin²t·cos t. Sur ]0;π/2[, sin t > 0 et cos t > 0, donc g'(t) < 0 (g décroît) et h'(t) > 0 (h croît). Tableau croisé : en t=0, x=1 et y=0 ; en t=π/2, x=0 et y=1. x décroît de 1 à 0, y croît de 0 à 1 sur [0;π/2].
2. Vecteur dérivé général : (x'(t);y'(t)) = (−3cos²t sin t ; 3sin²t cos t) = 3sin t cos t·(−cos t ; sin t). Il s'annule lorsque sin t cos t = 0, soit t = 0, π/2, π, 3π/2. Il y a donc quatre points singuliers : (1;0), (0;1), (−1;0), (0;−1).
3. En t = π/6 : cos(π/6)=√3/2, sin(π/6)=1/2. x(π/6) = (√3/2)³ = 3√3/8. y(π/6) = (1/2)³ = 1/8. x'(π/6) = −3·(3/4)·(1/2) = −9/8. y'(π/6) = 3·(1/4)·(√3/2) = 3√3/8. Pente = y'/x' = (3√3/8)/(−9/8) = −√3/3. Équation de la tangente : y − 1/8 = −(√3/3)(x − 3√3/8), soit y = −(√3/3)x + 1/2.

1. x'(t) = 2t − 4, y'(t) = 3t² − 3 = 3(t² − 1).
2. x'(2) = 4 − 4 = 0 et y'(2) = 3(4−1) = 9 ≠ 0 : le vecteur dérivé est vertical, donc la tangente en t=2 est verticale. Point : x(2) = 4−8 = −4, y(2) = 8−6 = 2, soit M(2) = (−4;2). Équation de la tangente : x = −4.
3. Tangente horizontale ⟺ y'(t) = 0 et x'(t) ≠ 0. y'(t) = 3(t²−1) = 0 ⟺ t = 1 ou t = −1. En t=1 : x'(1) = 2−4 = −2 ≠ 0, point M(1) = (1−4;1−3) = (−3;−2), tangente horizontale y = −2. En t=−1 : x'(−1) = −2−4 = −6 ≠ 0, point M(−1) = (1+4;−1+3) = (5;2), tangente horizontale y = 2.
4. Un point singulier vérifierait x'(t) = 0 et y'(t) = 0 simultanément. x'(t) = 0 ⟺ t = 2 ; y'(t) = 0 ⟺ t = ±1. Comme 2 ∉ {−1;1}, il n'existe aucun t annulant les deux dérivées à la fois : (Γ) n'a pas de point singulier, elle est régulière en tout point.

1. x'(t) = 3t², y'(t) = 2t. Le vecteur dérivé s'annule lorsque 3t² = 0 et 2t = 0, ce qui n'a lieu qu'en t = 0. (𝒞) admet un unique point singulier en t = 0, c'est-à-dire au point M(0) = (0;0) (origine du repère).
2. x'(t) = 3t² ≥ 0 pour tout t, et ne s'annule qu'en t=0 : x est donc strictement croissante sur [−2;2] (x(−2)=−8, x(0)=0, x(2)=8). y'(t) = 2t : négatif sur [−2;0[, positif sur ]0;2], donc y décroît de y(−2)=4 à y(0)=0, puis croît de 0 à y(2)=4. Tableau croisé : sur [−2;0], x↑ (de −8 à 0) et y↓ (de 4 à 0) ; sur [0;2], x↑ (de 0 à 8) et y↑ (de 0 à 4).
3. De x = t³ on tire t = x^(1/3) (racine cubique, définie pour tout réel x). En reportant dans y = t² : y = x^(2/3), ou encore, en éliminant les puissances fractionnaires, y³ = x² (courbe appelée « parabole semi-cubique », qui présente un point de rebroussement — cusp — à l'origine, cohérent avec le point singulier trouvé en 1.).
4. En t=1 : x(1)=1, y(1)=1, x'(1)=3, y'(1)=2. Pente = y'/x' = 2/3. Équation de la tangente : y − 1 = (2/3)(x − 1), soit y = (2/3)x + 1/3.
5. Pour t ∈ [0;1], x croît de 0 à 1 et y = t² ≥ 0 : A = ∫₀¹ y(t)·x'(t) dt = ∫₀¹ t²·3t² dt = ∫₀¹ 3t⁴ dt = [3t⁵/5]₀¹ = 3/5. A = 3/5 unité d'aire (soit 0,6 u.a.), aire comprise entre l'arc de (𝒞) allant de l'origine à (1;1), l'axe des abscisses et la droite x=1.

1. x²(t)+y²(t) = 4cos²t+4sin²t = 4(cos²t+sin²t) = 4. (𝒞) est donc le cercle de centre O et de rayon 2.
2. x'(t) = −2sin t, y'(t) = 2cos t.
3. En t=π/4 : x(π/4)=2·(√2/2)=√2, y(π/4)=√2, soit M(π/4)=(√2;√2). x'(π/4)=−2·(√2/2)=−√2, y'(π/4)=2·(√2/2)=√2. Pente = y'/x' = √2/(−√2) = −1. Équation de la tangente : y−√2 = −1(x−√2), soit y = −x + 2√2.

1. Comme x(t)=t, on a directement t=x, donc y=t²=x². (𝒞) est la parabole d'équation y=x².
2. x'(t)=1, y'(t)=2t. La pente de la tangente vaut y'(t)/x'(t) = 2t/1 = 2t (on retrouve bien f'(x)=2x, dérivée usuelle de x↦x², avec t=x).
3. En t=2 : M(2)=(2;4). x'(2)=1, y'(2)=4. Pente=4. Équation de la tangente : y−4=4(x−2), soit y=4x−4.

1. g'(t)=−4sin t, h'(t)=2cos t. Sur ]0;π/2[, sin t>0 et cos t>0, donc g'(t)<0 (g décroît) et h'(t)>0 (h croît). En t=0 : x=4, y=0. En t=π/2 : x=0, y=2. Tableau croisé sur [0;π/2] : x décroît de 4 à 0, y croît de 0 à 2.
2. Un point singulier vérifierait g'(t)=−4sin t=0 et h'(t)=2cos t=0 simultanément, donc sin t=0 et cos t=0, ce qui est impossible car sin²t+cos²t=1. (𝒞) n'a donc aucun point singulier.
3. Tangente horizontale : h'(t)=2cos t=0 ⟺ t=π/2 ou t=3π/2. Points : M(π/2)=(0;2) et M(3π/2)=(0;−2). Tangente verticale : g'(t)=−4sin t=0 ⟺ t=0 ou t=π. Points : M(0)=(4;0) et M(π)=(−4;0).
4. (𝒞) est symétrique par rapport à l'axe (Ox) (car cos(−t)=cos t et sin(−t)=−sin t) et par rapport à l'axe (Oy) (car cos(π−t)=−cos t et sin(π−t)=sin t). Il suffit donc de tracer l'arc obtenu pour t∈[0;π/2] (du point (4;0) au point (0;2)), puis de le compléter par symétrie par rapport à (Oy) pour obtenir l'arc de (0;2) à (−4;0), puis par symétrie par rapport à (Ox) pour obtenir la moitié inférieure : on obtient ainsi l'ellipse complète, tangente aux droites x=±4 et y=±2.

1. g(t)=t²−4, g'(t)=2t. g'(t)=0 pour t=0 ; g'(t)<0 sur ]−∞;0[, g'(t)>0 sur ]0;+∞[. g décroît de +∞ à g(0)=−4, puis croît de −4 à +∞.
2. h(t)=t³−4t, h'(t)=3t²−4. h'(t)=0 pour t=±2√3/3 (≈±1,155). h'(t)>0 sur ]−∞;−2√3/3[, h'(t)<0 sur ]−2√3/3;2√3/3[, h'(t)>0 sur ]2√3/3;+∞[. h(−2√3/3)=16√3/9 (maximum local ≈3,08) et h(2√3/3)=−16√3/9 (minimum local ≈−3,08).
3. Intersection avec (Oy) (x=0) : g(t)=0 ⟺ t²=4 ⟺ t=2 ou t=−2. Or h(2)=8−8=0 et h(−2)=−8+8=0 : les deux valeurs donnent le même point, l'origine (0;0). Intersection avec (Ox) (y=0) : h(t)=t(t²−4)=0 ⟺ t=0, t=2 ou t=−2. t=0 donne le point (−4;0) ; t=±2 redonnent l'origine.
4. D'après la question précédente, (Γ) passe par l'origine pour t=2 et pour t=−2, deux valeurs distinctes : l'origine est un point double de (Γ). Vecteur dérivé : (x'(t);y'(t))=(2t;3t²−4). En t=2 : x'(2)=4, y'(2)=12−4=8, pente=8/4=2, tangente y=2x. En t=−2 : x'(−2)=−4, y'(−2)=8, pente=8/(−4)=−2, tangente y=−2x. (Γ) admet donc deux tangentes distinctes à l'origine, qui se croisent : c'est un point double « en croix » (nœud).

1. x²(t)+y²(t) = 4t²/(1+t²)² + (1−t²)²/(1+t²)² = [4t² + (1−t²)²]/(1+t²)² = [4t²+1−2t²+t⁴]/(1+t²)² = [t⁴+2t²+1]/(1+t²)² = (t²+1)²/(1+t²)² = 1. (𝒞) est donc contenue dans le cercle trigonométrique (centre O, rayon 1).
2. t=0 : x=0, y=1, point (0;1). t=1 : x=2/2=1, y=0/2=0, point (1;0). t=−1 : x=−2/2=−1, y=0/2=0, point (−1;0). Quand t→±∞ : x(t)=2t/(1+t²)→0 (le dénominateur l'emporte) et y(t)=(1−t²)/(1+t²)→−1 (quotient des termes de plus haut degré). Le point (0;−1) est donc le point limite, mais il n'est atteint pour aucune valeur finie de t (l'équation (1−t²)/(1+t²)=−1 donnerait 1−t²=−1−t², soit 1=−1, impossible) : c'est le seul point du cercle que ne balaye pas cette paramétrisation.
3. x'(t) = [2(1+t²)−2t·2t]/(1+t²)² = 2(1−t²)/(1+t²)². y'(t) = [−2t(1+t²)−(1−t²)·2t]/(1+t²)² = −4t/(1+t²)². En t=0 : x'(0)=2, y'(0)=0, tangente horizontale au point (0;1) : y=1. En t=1 : x'(1)=0, y'(1)=−1, tangente verticale au point (1;0) : x=1. En t=−1 : x'(−1)=0, y'(−1)=1, tangente verticale au point (−1;0) : x=−1. (Ces tangentes sont bien perpendiculaires au rayon en chaque point, comme il se doit pour un cercle.)

1. g'(t) = 3cos²t·(−sin t) = −3cos²t sin t. h'(t) = 3sin²t·cos t. On peut factoriser : (x'(t);y'(t)) = (−3cos²t sin t ; 3sin²t cos t) = 3sin t cos t·(−cos t;sin t).
2. Le vecteur dérivé est nul lorsque 3sin t cos t=0, c'est-à-dire sin t=0 ou cos t=0, soit t=0, π/2, π, 3π/2 (dans [0;2π[). Les points singuliers correspondants sont (1;0), (0;1), (−1;0), (0;−1).
3. Sur [0;π/2] : cos t≥0, sin t≥0, donc g'≤0 (g décroît de 1 à 0) et h'≥0 (h croît de 0 à 1). Sur [π/2;π] : cos t≤0, sin t≥0, donc g'≤0 encore (g décroît de 0 à −1) et h'≤0 (h décroît de 1 à 0). Sur [π;3π/2] : cos t≤0, sin t≤0, donc g'≥0 (g croît de −1 à 0) et h'≤0 (h décroît de 0 à −1). Sur [3π/2;2π] : cos t≥0, sin t≤0, donc g'≥0 (g croît de 0 à 1) et h'≥0 (h croît de −1 à 0).
4. x^(2/3)+y^(2/3) = (cos³t)^(2/3)+(sin³t)^(2/3) = cos²t+sin²t = 1. La courbe (𝒞) est donc l'astroïde d'équation x^(2/3)+y^(2/3)=1 : une courbe fermée à quatre « pointes » (points de rebroussement) situées sur les axes en (±1;0) et (0;±1), le tracé étant concave vers l'origine entre deux pointes consécutives — conformément au tableau croisé de la question 3.

1. x'(t)=2t, y'(t)=3t². Le vecteur dérivé s'annule lorsque 2t=0 et 3t²=0, ce qui n'a lieu qu'en t=0. (𝒞) admet un unique point singulier, en t=0, c'est-à-dire à l'origine M(0)=(0;0).
2. Pour t≠0, la pente vaut y'(t)/x'(t) = 3t²/2t = 3t/2. Quand t→0, cette pente tend vers 0 : la tangente à (𝒞) au point de rebroussement (0;0) est donc horizontale, d'équation y=0 (l'axe des abscisses lui-même).
3. x(t)=t² donc t²=x. y(t)=t³, donc y²=t⁶=(t²)³=x³. On obtient bien y²=x³ : c'est la parabole semi-cubique, qui présente un point de rebroussement à l'origine, cohérent avec la question 1.
4. Pour t∈[0;1], A=∫₀¹ t³·2t dt = ∫₀¹ 2t⁴ dt = [2t⁵/5]₀¹ = 2/5 (soit 0,4 unité d'aire).

1. g'(t)=1−cos t, h'(t)=sin t. Comme cos t≤1 pour tout t, g'(t)=1−cos t≥0, avec égalité seulement pour t=0 et t=2π. g est donc croissante sur [0;2π], de g(0)=0 à g(2π)=2π.
2. h'(t)=sin t : positif sur ]0;π[, négatif sur ]π;2π[. h(0)=0, h(π)=1−(−1)=2, h(2π)=0. h croît de 0 à 2 sur [0;π], puis décroît de 2 à 0 sur [π;2π].
3. Un point singulier vérifie g'(t)=1−cos t=0 et h'(t)=sin t=0. La première égalité donne t=0 ou t=2π (sur [0;2π]) ; pour ces deux valeurs, sin t=0 également. Il y a donc deux points singuliers, en t=0 (point (0;0)) et en t=2π (point (2π;0)) — ce sont les deux « pointes » de l'arche, posées sur l'axe (Ox).
4. En t=π : g'(π)=1−cos π=2, h'(π)=sin π=0. Le vecteur dérivé est (2;0), donc la tangente est horizontale au point M(π)=(π;2), sommet de l'arche : équation y=2.
5. L'arche part du point anguleux (0;0) (tangente verticale, cusp), monte en tournant vers le sommet (π;2) où la tangente est horizontale, puis redescend symétriquement jusqu'au point anguleux (2π;0) (nouveau cusp). La courbe est symétrique par rapport à la droite verticale x=π.

1. g(t)=t³−3t, g'(t)=3t²−3=3(t²−1) ; g'(t)=0 pour t=±1. g'(t)>0 sur ]−∞;−1[∪]1;+∞[, g'(t)<0 sur ]−1;1[. g(−1)=−1+3=2 (max local), g(1)=1−3=−2 (min local), lim(t→±∞)g(t)=±∞. h(t)=t², h'(t)=2t ; h'(t)<0 sur ]−∞;0[, h'(t)>0 sur ]0;+∞[, h(0)=0 (min), lim(t→±∞)h(t)=+∞. Tableau croisé : sur ]−∞;−1], x croît (−∞→2) et y décroît (+∞→1) ; sur [−1;0], x décroît (2→0) et y décroît (1→0) ; sur [0;1], x décroît (0→−2) et y croît (0→1) ; sur [1;+∞[, x croît (−2→+∞) et y croît (1→+∞).
2. On cherche t₁≠t₂ avec x(t₁)=x(t₂) et y(t₁)=y(t₂). Comme h(t)=t², l'égalité y(t₁)=y(t₂) impose t₂=−t₁ (pour t₁≠t₂). L'égalité des abscisses donne alors g(t₁)=g(−t₁), soit t₁³−3t₁ = −t₁³+3t₁, c'est-à-dire 2t₁³−6t₁=0, soit 2t₁(t₁²−3)=0. La solution t₁=0 redonne un seul point (exclue), donc t₁²=3, t₁=√3 (on pose t₀=√3>0, l'autre valeur étant −t₀=−√3). Le point double est M=(g(√3);h(√3)) = (3√3−3√3;3) = (0;3), atteint pour t=√3 et pour t=−√3.
3. Vecteur dérivé : (x'(t);y'(t))=(3t²−3;2t). En t=√3 : x'=3·3−3=6, y'=2√3, pente=2√3/6=√3/3, tangente y=(√3/3)x+3. En t=−√3 : x'=6, y'=−2√3, pente=−√3/3, tangente y=−(√3/3)x+3. (Γ) présente donc en (0;3) un point double où deux branches de la courbe se croisent, chacune avec sa propre tangente.

1. g(t)=t², g'(t)=2t ; g décroît de g(−√3)=3 à g(0)=0 sur [−√3;0], puis croît de 0 à g(√3)=3 sur [0;√3]. h(t)=t³−3t, h'(t)=3(t²−1), nulle en t=±1 ; h croît sur [−√3;−1] (de 0 à h(−1)=2), décroît sur [−1;1] (de 2 à h(1)=−2), croît sur [1;√3] (de −2 à 0). Tableau croisé : sur [−√3;−1], x↓(3→1), y↑(0→2) ; sur [−1;0], x↓(1→0), y↓(2→0) ; sur [0;1], x↑(0→1), y↓(0→−2) ; sur [1;√3], x↑(1→3), y↑(−2→0).
2. M(−√3) = (g(−√3);h(−√3)) = (3;(−√3)³−3(−√3)) = (3;−3√3+3√3) = (3;0). M(√3) = (g(√3);h(√3)) = (3;(√3)³−3√3) = (3;3√3−3√3) = (3;0). Les deux points coïncident : M(−√3)=M(√3)=(3;0). Le point de départ (t=−√3) et le point d'arrivée (t=√3) sont donc confondus : (𝒞) est une courbe fermée, parcourue une seule fois pour t décrivant [−√3;√3].
3. y(t)=0 ⟺ t³−3t=0 ⟺ t(t²−3)=0 ⟺ t=0 ou t=±√3. t=0 donne le point (0;0) (l'origine) ; t=±√3 donnent le point (3;0) (point de fermeture de la boucle, cf. question 2). (𝒞) coupe donc (Ox) en (0;0) et (3;0).
4. x'(t)=2t, donc y(t)·x'(t) = (t³−3t)·2t = 2t⁴−6t². ∫₋√3^√3(2t⁴−6t²)dt = 2∫₋√3^√3 t⁴dt − 6∫₋√3^√3 t²dt (fonctions paires) = 2×(18√3/5) − 6×(2√3) = 36√3/5 − 12√3 = 36√3/5 − 60√3/5 = −24√3/5. On a donc A = |−24√3/5| = 24√3/5 unités d'aire (soit environ 8,31 u.a.).