Ch. 10 Statistiques à deux variables — inertie du nuage — Terminale D Maths

1. Nuage de points et inertie

Inertie du nuage

G=(x̄;ȳ). I_G=(1/n)Σ||MᵢG||²=Vₓ+Vᵧ (somme des variances).

2. Théorème de Huygens

Énoncé

Pour tout point A : (1/n)Σ||MᵢA||²=I_G+||GA||².

L'inertie est minimale par rapport à G.

3. Droite de régression

Moindres carrés

a=cov(X,Y)/V(X), b=ȳ-ax̄. cov(X,Y)=Σxᵢyᵢ/n-x̄ȳ.

r=cov/(σₓσᵧ)∈[-1;1]. |r|→1 : forte corrélation linéaire.

La droite passe toujours par G.

À retenir

I_G=Vₓ+Vᵧ ; Huygens : I_A=I_G+GA²
a=cov/V(X), b=ȳ-ax̄
cov=Σxᵢyᵢ/n-x̄ȳ
r=cov/(σₓσᵧ)∈[-1;1]

Point moyen et inertie

● Facile

Points : (1;2),(3;4),(5;2),(7;4). (1) G. (2) I_G.

Correction

(1) G=(4;3). (2) Vₓ=5, Vᵧ=1. I_G=6.

Théorème de Huygens

● Moyen

I_G=6, G=(4;3). Vérifier Huygens pour A=(0;0).

Correction

GA²=25. I_A=31. Direct: (5+25+29+65)/4=31 ✓.

Droite de régression

● Moyen

x2468y3579

(1) G. (2) cov, V(X). (3) Droite. (4) r.

Correction

(1) G=(5;6). (2) cov=5, V(X)=5. (3) y=x+1. (4) r=1 (alignés).

Prévision

● Moyen

x °C51015202530y MWh907055403020

Calculer G, a, b et y(35).

Correction

G=(17,5;50,8). a≈-2,77. b≈99,3. y(35)≈2,3 MWh. Corrélation négative forte.

Minimum par dérivation

● Difficile

Minimiser f(a,b)=Σ(yᵢ-axᵢ-b)² en dérivant partiellement. Retrouver a=cov/V(X).

Correction

∂f/∂b=0 → ȳ=ax̄+b. ∂f/∂a=0 → cov(X,Y)=aV(X) → a=cov/V(X). ✓

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Années d'expérience x et salaire y (milliers F) de 8 employés :

x1235781012 y150180200240280300340380

Point moyen : Calculer G.
Cov et variances : V(X), V(Y), cov(X,Y).
Droite de régression.
Coefficient r.
Prévision pour x=15 ans et commentaire si réel=410.
Inertie : Calculer I_G et vérifier Huygens pour A=(0;0).

Correction

x̄=6, ȳ=258,75. G=(6;258,75).
V(X)=13,5. V(Y)=5640,9. cov=276,25.
a≈20,46, b≈136. y=20,46x+136.
r≈0,998. Corrélation quasi-parfaite.
ŷ(15)≈443 kF. Écart=33 (7,4%). Prévision acceptable.
I_G=5654,4. GA²=67007,6. I_A=72662. Vérif directe ✓.

QCM

10 questions

0Score

0/10Repondues

Q1/10

Inertie I_G=

Q2/10

Huygens : I_A=

Q3/10

Inertie minimale par rapport à

Q4/10

cov(X,Y)=

Q5/10

Pente a de la droite y/x

Q6/10

La droite de régression passe par

Q7/10

r=1 signifie

Q8/10

I_G=Vₓ+Vᵧ. Si tous yᵢ=ȳ

Q9/10

r=0 : les 2 droites de régression

Q10/10

Les 2 droites de régression identiques ssi

Exercices supplémentaires tirés du CIAM Terminale SE (Collection Inter-Africaine de Mathématiques), section « Entraînement » du chapitre correspondant — énoncés fidèles au manuel, corrections rédigées pour ce site.

Régression salaire / candidatures

● Facile

Diverses sociétés de gardiennage proposent différents salaires mensuels X (en francs) ; Y désigne le nombre de candidats qui se sont présentés à l'embauche pour ce salaire.

X (salaire)440004500046000470004800049000Y (candidats)101317192125

Représenter le nuage de points associé à cette série statistique double.
Trouver une équation de la droite de régression de Y en X.
Une 7ᵉ société a reçu 30 candidats. Estimer le salaire qu'elle a proposé.

Correction

1. Le nuage de 6 points est croissant et quasi aligné : il suggère un ajustement affine.

2. x̄=46500, ȳ=17,5. cov(X,Y)=(1/6)ΣXᵢYᵢ−x̄ȳ=822166,67−813750=8416,67. V(X)=(1/6)ΣXᵢ²−x̄²=2165166,67−2162250=2916,67. a=cov/V(X)=8416,67/2916,67≈0,002886. b=ȳ−ax̄≈17,5−134,19≈−116,69. Droite : Y≈0,002886X−116,69.

3. Pour Y=30 : 30=0,002886X−116,69 → X=(30+116,69)/0,002886≈50832 F. La 7ᵉ société a donc probablement proposé environ 50 830 F.

Méthode de Mayer — résistance et température

● Moyen

Un conducteur électrique a une résistance R (en ohms), fonction affine de la température θ (en °C) : R=aθ+b. On a mesuré :

θ (°C)102030405060R (Ω)100105107111114119

En utilisant la méthode de Mayer (on posera t=θ−35, moyenne des θᵢ, pour simplifier les calculs — changement d'origine), déterminer une équation de la droite d'ajustement puis estimer R pour θ=45°C.

Correction

On pose t=θ−35. Les points ordonnés selon θ se répartissent en deux groupes de 3 :

Groupe 1 (θ=10,20,30) : t̄₁=−15, R̄₁=(100+105+107)/3=104.

Groupe 2 (θ=40,50,60) : t̄₂=15, R̄₂=(111+114+119)/3≈114,67.

La droite de Mayer passe par G₁(t̄₁;R̄₁) et G₂(t̄₂;R̄₂) : a=(R̄₂−R̄₁)/(t̄₂−t̄₁)=(114,67−104)/30≈0,3556 Ω/°C.

Ordonnée en t : b'=R̄₁−a·t̄₁=104−0,3556×(−15)≈109,33. En revenant à θ : R=a(θ−35)+109,33≈0,3556θ+96,89.

Pour θ=45 : R≈0,3556×45+96,89≈16,0+96,89≈112,9 Ω.

Ajustements affine et exponentiel — cours boursier

● Moyen

(Exercice repris du TP « Ajustement affine et exponentiel » du manuel CIAM) Voici le cours moyen d'une action à la bourse d'Abidjan, relevé chaque 1ᵉʳ janvier :

Année199119921993199419951996Cours (F)55058064085010501120

Calculer le point moyen G du nuage.
Calculer le coefficient de corrélation linéaire r. Un ajustement affine est-il justifié ? Écrire l'équation de la droite de régression (𝒟). Estimer le cours au 1ᵉʳ janvier 2000, puis l'année à partir de laquelle le cours dépassera 2000 F.
On cherche un ajustement exponentiel f(x)=ab^x (x=année−1991) passant par A(0;550) et B(5;1120). Déterminer a et b, étudier le sens de variation de f, puis résoudre f(x)>2000.

Correction

On pose t=année−1991 : t=0,1,2,3,4,5.

1. t̄=2,5 (année 1993,5), ȳ=4790/6≈798,3. G(1993,5 ; 798,3).

2. cov(t,y)=(1/6)Σtᵢyᵢ−t̄ȳ=2368,33−1995,83=372,5. V(t)=9,1667−6,25=2,9167. V(y)≈50647,2. r=cov/(σₜσᵧ)=372,5/(1,708×225,05)≈0,969, proche de 1 : l'ajustement affine est justifié.

a=cov/V(t)=372,5/2,9167≈127,7. b=ȳ−a·t̄≈798,3−319,3≈479,0. Droite (en t) : y≈127,7t+479,0, soit y≈127,7(x−1991)+479,0.

Pour 2000 (t=9) : y≈127,7×9+479,0≈1628 F. Le cours dépasse 2000 F quand 127,7t+479>2000, soit t>11,91, donc à partir de 2003 (t=12 → y≈2012).

3. a·b⁰=550 → a=550. a·b⁵=1120 → b⁵=1120/550=2,0364 → b=2,0364^(1/5)≈1,1528. Comme b>1, f est strictement croissante sur ℝ.

f(x)>2000 ⟺ 1,1528^x>2000/550≈3,636 ⟺ x>ln(3,636)/ln(1,1528)≈9,08, soit à partir de t=10, c'est-à-dire dès l'année 2001 (le modèle exponentiel prévoit le dépassement plus tôt que le modèle affine).

Tension artérielle — deux droites de régression

● Difficile

Le tableau suivant donne l'âge X et la moyenne Y des maxima de tension artérielle (en cmHg) d'une population féminine :

X (âge)364248546069Y (tension)11,814,012,615,015,515,1

Calculer la moyenne et la variance de X, puis de Y.
Calculer cov(X,Y).
Trouver une équation de la droite de régression de Y en X, puis de X en Y.
Calculer le coefficient de corrélation linéaire r.
Une personne de 70 ans a une tension maximale de 16,2. Cela vous paraît-il normal ?

Correction

1. X̄=309/6=51,5. V(X)=2773,5−2652,25=121,25. Ȳ=84/6=14,0. V(Y)=197,88−196=1,877.

2. cov(X,Y)=(1/6)ΣXᵢYᵢ−X̄Ȳ=733,25−721=12,25.

3. Régression de Y en X : a=cov/V(X)=12,25/121,25≈0,1010 ; b=Ȳ−aX̄≈14−5,20≈8,80. Y≈0,1010X+8,80. Régression de X en Y : a'=cov/V(Y)=12,25/1,877≈6,528 ; b'=X̄−a'Ȳ≈51,5−91,39≈−39,89. X≈6,528Y−39,89.

4. r=cov/(σₓσᵧ)=12,25/(11,01×1,370)≈0,812 (vérification : r²=a·a'≈0,660). Corrélation positive assez forte.

5. Prévision à 70 ans par la droite de Y en X : Y≈0,1010×70+8,80≈15,87. La valeur observée 16,2 est proche de cette prévision (écart d'environ 0,3, soit 2 %) : compte tenu de la dispersion du nuage (r≈0,81, pas de corrélation parfaite), cette tension paraît normale, cohérente avec la tendance générale.

Problème de synthèse — notes groupées en classes

● Difficile

Un lycée a soumis à 100 candidats bacheliers deux épreuves : histoire H (note x) et sciences économiques et sociales S.E.S. (note y). Les notes ont été regroupées en classes, de centres respectifs xᵢ et yⱼ, selon le tableau à double entrée suivant (effectifs n_ij) :

H \ S[0;4[[4;8[[8;12[[12;14[[14;18]Total[0;4[6400010[4;8[21490025[8;12[04256035[12;14[00612220[14;18]0004610Total82240228100

On prendra pour centres de classes x=(2;6;10;13;16) en histoire et y=(2;6;10;13;16) en S.E.S.

Calculer la moyenne x̄ des notes d'histoire et la moyenne ȳ des notes de S.E.S.
Pour chaque classe de centre xᵢ, calculer la moyenne ȳᵢ des notes de S.E.S. ; en déduire une équation de la droite de régression de ȳ en x sous la forme ȳ=αx+β.
Pour chaque classe de centre yⱼ, calculer la moyenne x̄ⱼ des notes d'histoire ; en déduire une équation de la droite de régression de x̄ en y sous la forme x̄=α'y+β'.
Calculer le coefficient de corrélation linéaire r (on utilisera r²=αα'). La corrélation semble-t-elle bonne ?

Correction

1. x̄=(10×2+25×6+35×10+20×13+10×16)/100=940/100=9,4. ȳ=(8×2+22×6+40×10+22×13+8×16)/100=962/100=9,62.

2. Moyennes conditionnelles ȳᵢ (S.E.S. pour chaque classe d'histoire) : ȳ₁=(6×2+4×6)/10=3,6 ; ȳ₂=(2×2+14×6+9×10)/25=7,12 ; ȳ₃=(4×6+25×10+6×13)/35≈10,06 ; ȳ₄=(6×10+12×13+2×16)/20=12,4 ; ȳ₅=(4×13+6×16)/10=14,8.

En sommant sur les 100 candidats : ΣΣn_ij·xᵢ·yⱼ=10252, donc cov(X,Y)=10252/100−9,4×9,62=102,52−90,428=12,092. V(X)=Σn_i.·xᵢ²/100−x̄²=103,8−88,36=15,44. D'où α=cov/V(X)=12,092/15,44≈0,783 ; β=ȳ−αx̄≈9,62−7,36≈2,26. ȳ≈0,783x+2,26.

3. Moyennes conditionnelles x̄ⱼ (histoire pour chaque classe de S.E.S.) : x̄₁=(2×6+6×2)/8=3,0 ; x̄₂=(2×4+6×14+10×4)/22=6,0 ; x̄₃=(6×9+10×25+13×6)/40=9,55 ; x̄₄=(10×6+13×12+16×4)/22≈12,73 ; x̄₅=(13×2+16×6)/8=15,25.

V(Y)=Σn_.j·yⱼ²/100−ȳ²=105,9−92,54=13,36. α'=cov/V(Y)=12,092/13,36≈0,905 ; β'=x̄−α'ȳ≈9,4−8,71≈0,69. x̄≈0,905y+0,69.

4. r²=α×α'≈0,783×0,905≈0,709, donc r≈0,84 (positif car α et α' sont positifs). La corrélation linéaire est assez bonne, ce qui justifie les deux ajustements affines.

Cinq exercices supplémentaires tirés de la rubrique « Entraînement et Problèmes » du chapitre Statistique du manuel CIAM Terminale SE (Collection Inter-Africaine de Mathématiques) — énoncés fidèles au manuel, distincts de ceux de l'onglet précédent, corrections entièrement rédigées pour ce site.

Trois risques d'assurance — additivité des régressions

● Facile

Une compagnie d'assurance d'un pays de l'UEMOA garantit à ses clients trois types de risques principaux : Vie, Accidents, Incendie. Elle a établi le tableau statistique suivant (montants en unités monétaires ; sur l'axe des abscisses, l'année 1980 a le rang 1, 1981 le rang 2, etc.) :

Années xᵢ1980198119821983VIE y₁280325405485ACCIDENTS y₂180210230270INCENDIE y₃90100108122TOTAL T550635743877

Écrire, par la méthode des moindres carrés, les équations des droites y₁=m₁x+P₁, y₂=m₂x+P₂, y₃=m₃x+P₃ et T=mx+P.
Vérifier que m=m₁+m₂+m₃ et P=P₁+P₂+P₃.
Calculer les valeurs probables de y₁, y₂, y₃ et T pour l'année 1990.

Correction

x̄=2,5 ; Σ(x−x̄)²=5 (n=4).

VIE : ȳ₁=373,75, m₁=69,5, P₁=200 → y₁=69,5x+200. ACCIDENTS : ȳ₂=222,5, m₂=29, P₂=150 → y₂=29x+150. INCENDIE : ȳ₃=105, m₃=10,4, P₃=79 → y₃=10,4x+79. TOTAL : T̄=701,25, m=108,9, P=429 → T=108,9x+429.
m₁+m₂+m₃=69,5+29+10,4=108,9=m ✓. P₁+P₂+P₃=200+150+79=429=P ✓ (propriété générale : T=y₁+y₂+y₃, donc cov(x,T)=cov(x,y₁)+cov(x,y₂)+cov(x,y₃) par bilinéarité de la covariance, d'où l'additivité des pentes et des ordonnées à l'origine).
1990 → x=11 : y₁=69,5×11+200=964,5 ; y₂=29×11+150=469 ; y₃=10,4×11+79=193,4 ; T=108,9×11+429=1626,9 (on vérifie bien y₁+y₂+y₃=1626,9=T).

Actifs à temps partiel — prévision

● Facile

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre total d'actifs à temps partiel dans un pays P (xᵢ = rang de l'année, tous les 4 ans ; yᵢ en millions) :

Année1972197619801984198819921996xᵢ0123456yᵢ1,21,71,82,22,62,83,6

Déterminer une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés (coefficients à 10⁻² près).
En supposant que l'évolution se poursuive de la même façon, donner une estimation du nombre d'actifs à temps partiel en 2004.

Correction

n=7, x̄=3, ȳ=15,9/7≈2,2714. Σ(x−x̄)²=28. Σ(x−x̄)(y−ȳ)=10,20.

a=10,20/28≈0,3643≈0,36 ; b=ȳ−a x̄≈2,2714−1,0929≈1,1786≈1,18. Droite : y≈0,36x+1,18.
2004 correspond au rang x=(2004−1972)/4=8. Avec les valeurs non arrondies : y(8)=0,3643×8+1,1786≈2,914+1,179≈4,09 millions d'actifs à temps partiel estimés en 2004.

Prix d'un logiciel — méthode de Mayer et moindres carrés

● Moyen

Une entreprise cherche à déterminer le prix auquel proposer un nouveau logiciel. Une enquête auprès de 600 entreprises a donné :

Prix proposé xᵢ (F)4 000 0003 600 0003 200 0002 800 0002 400 0002 000 0001 600 0001 200 0001 000 000800 000Nb yᵢ d'entreprises disposées à acheter7080150220250260400440450520

Par la méthode de Mayer (deux groupes de 5, classés par prix croissant), déterminer une équation y=Ax+B de la droite d'ajustement (Δ₁) (A à 10⁻⁴ près, B à 10⁻¹ près).
Déterminer, à 10⁻³ près par excès, le coefficient de corrélation linéaire r.
Déterminer par la méthode des moindres carrés l'équation y=ax+b de la droite de régression (Δ₂) de y en x, et comparer avec (Δ₁).

Correction

On pose x'=x/100 000 (prix en centaines de milliers de francs) pour alléger les calculs, classés par x croissant : x'=8,10,12,16,20,24,28,32,36,40 avec y=520,450,440,400,260,250,220,150,80,70.

Mayer : groupe 1 (x'=8,10,12,16,20) : G₁(13,2 ; 414). Groupe 2 (x'=24,28,32,36,40) : G₂(32 ; 154). Pente (en x') = (154−414)/(32−13,2)=−260/18,8≈−13,830, soit en F : A≈−13,830/100 000≈−1,383×10⁻⁴. Ordonnée à l'origine : 414−(−13,830×13,2)=414+182,55≈B≈596,5 (indépendante de l'unité de x). Droite de Mayer : y≈−1,383×10⁻⁴x+596,5.
Moindres carrés (en x') : x̄'=22,6, ȳ=284. cov(x',y)=4818−22,6×284=4818−6418,4=−1600,4. V(x')=624,4−22,6²=624,4−510,76=113,64. V(y)=23224. σx'≈10,660, σy≈152,427. r=−1600,4/(10,660×152,427)≈−0,984 (10⁻³ près par excès). Forte corrélation négative : plus le prix est élevé, moins il y a d'entreprises intéressées, ce qui est cohérent.
a=cov/V(x')=−1600,4/113,64≈−14,083, soit en F : a≈−14,083/100000≈−1,408×10⁻⁴. b=ȳ−a x̄'=284+14,083×22,6≈284+318,3≈602,3. Droite (Δ₂) : y≈−1,408×10⁻⁴x+602,3. Les deux droites (Δ₁) et (Δ₂) sont très proches (pentes −1,383×10⁻⁴ et −1,408×10⁻⁴, ordonnées 596,5 et 602,3), ce qui confirme la qualité de l'ajustement affine.

Dépenses et chiffre d'affaires bimestriels

● Moyen

Les dépenses xᵢ et les chiffres d'affaires yᵢ bimestriels d'une grande entreprise ont donné, après étude statistique, la série suivante (montants en dizaines de millions de francs CFA) :

xᵢ (dépenses)121711133120yᵢ (chiffre d'affaires)9913092108232150

Déterminer une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés.
Calculer le coefficient de corrélation linéaire r. Commenter.
Estimer la dépense correspondant à un chiffre d'affaires bimestriel de 2 milliards de francs, puis le chiffre d'affaires correspondant à une dépense bimestrielle de 300 millions de francs.

Correction

n=6, x̄=104/6≈17,333, ȳ=811/6≈135,167. cov(x,y)=16006/6−17,333×135,167≈2667,667−2343,556≈324,11. V(x)=2084/6−17,333²≈347,333−300,444≈46,89.

a=cov/V(x)=324,11/46,89≈6,913. b=ȳ−a x̄≈135,167−119,822≈15,34. Droite : y≈6,913x+15,34 (unités : dizaines de millions de F CFA).
V(y)=123153/6−135,167²≈20525,5−18270,0≈2255,5, σy≈47,49 ; σx≈6,848. r=324,11/(6,848×47,49)≈0,997. Corrélation positive quasi parfaite : les chiffres d'affaires croissent presque proportionnellement aux dépenses engagées.
2 milliards = 200 (dizaines de millions). 200=6,913x+15,34 → x≈(200−15,34)/6,913≈26,7, soit une dépense d'environ 267 millions de F CFA. Pour une dépense de 300 millions = 30 (dizaines de millions) : y≈6,913×30+15,34≈207,4+15,34≈222,7, soit un chiffre d'affaires estimé à environ 2,227 milliards de F CFA.

Production d'énergie nucléaire — ajustement par une parabole

● Difficile

Le tableau ci-dessous fournit l'évolution de la production d'énergie nucléaire (en TWh) dans un pays P, xᵢ étant le rang de l'année (1985 → rang 0) :

Année19851990199119921993199419951996xᵢ0567891011yᵢ (TWh)213298315322350342359378

On choisit d'ajuster ce nuage par une parabole (𝒫) passant par les points A(0;213), B(5;298) et C(10;363).

(𝒫) a pour équation y=ax²+bx+c. Déterminer a, b et c.
À l'aide de (𝒫), déterminer à partir de quel rang la production dépassera 420 TWh (on résoudra l'inéquation correspondante et on précisera aussi une éventuelle limite du modèle).

Correction

A(0;213) → c=213. B(5;298) : 25a+5b+213=298 → 5a+b=17. C(10;363) : 100a+10b+213=363 → 10a+b=15. En soustrayant : 5a=−2 → a=−0,4 ; b=17−5×(−0,4)=17+2=19. D'où (𝒫) : y=−0,4x²+19x+213.
−0,4x²+19x+213>420 ⟺ −0,4x²+19x−207>0 ⟺ (en multipliant par −1) 0,4x²−19x+207<0 ⟺ (en divisant par 0,4) x²−47,5x+517,5<0. Δ=47,5²−4×517,5=2256,25−2070=186,25, √Δ≈13,65. Racines x₁≈16,93 et x₂≈30,57. L'inéquation est vérifiée pour x∈]16,93 ; 30,57[. Comme x=0 correspond à 1985, on entre dans cette plage au rang 17, soit l'année 1985+17=2002. Limite du modèle : la parabole étant tournée vers le bas (a=−0,4<0), elle prédirait ensuite une décroissance après le rang 30 (≈2015) — ce qui n'est qu'un artefact du modèle quadratique valable seulement au voisinage des données observées, pas une prévision fiable à long terme.

Cinq problèmes de synthèse, plus longs et plus exigeants, tirés de la même rubrique « Entraînement et Problèmes » du manuel CIAM Terminale SE : changement de variable, ajustement exponentiel ou « puissance » par linéarisation logarithmique, optimisation d'une fonction du second degré — corrections détaillées, pour aller plus loin.

Bénéfice et taille d'une exploitation agricole — méthode de Mayer

● Moyen

Dans 10 exploitations agricoles d'une même région, on a mesuré la taille de l'exploitation (en dizaines d'hectares) et le bénéfice annuel net (en milliers de F CFA) :

taille xᵢ12345678910bénéfice yᵢ120030004200−600480054004200180081009600

Écrire l'équation de la droite de Mayer (grouper les 5 premières et les 5 dernières exploitations, classées par taille croissante).
Calculer le coefficient de corrélation linéaire r. L'ajustement affine vous semble-t-il bon ? Comment expliquer sa qualité limitée ?
Déterminer par la méthode des moindres carrés l'équation y=ax+b de la droite de régression, et l'utiliser pour estimer le bénéfice d'une exploitation de 0,5 ha.

Correction

Groupe 1 (x=1..5) : x̄₁=3, ȳ₁=(1200+3000+4200−600+4800)/5=12600/5=2520. Groupe 2 (x=6..10) : x̄₂=8, ȳ₂=(5400+4200+1800+8100+9600)/5=29100/5=5820. Droite de Mayer par G₁(3;2520) et G₂(8;5820) : pente=(5820−2520)/(8−3)=3300/5=660 ; ordonnée=2520−660×3=540. y≈660x+540 (droite de Mayer).
Calculs complets : x̄=5,5, V(x)=8,25 ; ȳ=4170, cov(x,y)=5715, V(y)=8 540 100. r=5715/(√8,25×√8 540 100)≈5715/(2,872×2922,4)≈0,68. La corrélation est modérée (loin de 1) : la valeur atypique de l'exploitation n°4 (bénéfice négatif de −600, sans doute une mauvaise récolte cette année-là) dégrade nettement l'alignement du nuage.
a=cov/V(x)=5715/8,25≈692,7. b=ȳ−a x̄≈4170−3810,0≈360,0. Droite des moindres carrés : y≈692,7x+360,0. Une exploitation de 0,5 ha correspond à x=0,05 (dizaine d'hectares) : y≈692,7×0,05+360,0≈34,6+360,0≈394,6, soit un bénéfice estimé à environ 394 600 F CFA. (Remarque : pour y=0, on trouverait x≈−0,52, valeur négative sans réalité physique — le modèle affine prévoit donc, sur la plage observée, un bénéfice toujours positif.)

Prix de vente d'un magnétoscope — optimisation du chiffre d'affaires

● Difficile

Le tableau suivant indique le prix de vente xᵢ (en F CFA) d'un magnétoscope de marque donnée et le nombre yᵢ d'exemplaires vendus sur six années consécutives :

Rang de l'année123456xᵢ (prix F CFA)200 000140 000180 000250 000260 000270 000yᵢ (exemplaires)196242220160150140

Déterminer une équation de la droite de régression (D) de y en x par la méthode des moindres carrés.
Calculer le coefficient de corrélation linéaire r. Un ajustement affine est-il justifié ?
On note f(x) le chiffre d'affaires réalisé en vendant y(x) magnétoscopes au prix unitaire x F CFA, où y(x) est donné par la droite (D) : f(x)=x·y(x). Montrer que f admet un maximum sur l'intervalle [100 000 ; 800 000] et calculer ce maximum ainsi que le prix x₀ qui le réalise.

Correction

On pose x'=x/10000 pour alléger les calculs. x̄'=21,667, ȳ=184,667. cov(x',y)=22948/6−21,667×184,667≈3824,67−4001,11≈−176,44. V(x')=2950/6−21,667²≈491,67−469,44≈22,22.

a'=cov/V(x')=−176,44/22,22≈−7,940, soit en x réel : a=−7,940/10000≈−7,94×10⁻⁴. b=ȳ−a'x̄'≈184,667+172,03≈356,70. Droite (D) : y≈−7,94×10⁻⁴x+356,70.
V(y)=8469,4/6≈1411,6, σy≈37,57 ; σx'≈4,714. r=−176,44/(4,714×37,57)≈−0,996. |r| très proche de 1 : l'ajustement affine est tout à fait justifié (plus le prix augmente, moins on vend, de façon quasi linéaire).
f(x)=x×(−7,94×10⁻⁴x+356,70)=−7,94×10⁻⁴x²+356,70x : c'est une fonction du second degré, de coefficient dominant négatif, donc f admet un maximum en x₀=−356,70/(2×(−7,94×10⁻⁴))=356,70/(1,588×10⁻³)≈224 684 F, valeur bien comprise dans [100 000 ; 800 000]. Le maximum vaut f(x₀)=−7,94×10⁻⁴×224684²+356,70×224684≈−40 083 423+80 144 783≈40 061 360 F CFA (soit environ 40,06 millions de F CFA).

Distance d'arrêt — changement de variable u=√y

● Difficile

La mesure de la distance d'arrêt effectuée pour sept automobiles roulant à des vitesses différentes a fourni les résultats suivants :

Voiture1234567xᵢ vitesse (km/h)35506835805095yᵢ distance d'arrêt (m)5,3514,5020,326,5038,5511,5250,50

La forme du nuage (xᵢ;yᵢ) ne permet pas de conjecturer un ajustement affine direct. On pose u=√y (y>0).

Calculer les valeurs de u (à 10⁻³ près) et le coefficient de corrélation linéaire r de la série (x;u).
Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation u=ax+b de la droite de régression (coefficients à 10⁻⁴ près).
En déduire une estimation de la distance nécessaire à l'arrêt d'une voiture lancée à 100 km/h.

Correction

u=√y : u≈2,313 ; 3,808 ; 4,508 ; 2,550 ; 6,209 ; 3,394 ; 7,106 (dans l'ordre du tableau).

n=7, x̄=59, ū≈4,270. cov(x,u)≈35,037, V(x)≈447,43, V(u)≈2,804. σx≈21,153, σu≈1,675. r=35,037/(21,153×1,675)≈0,989. La corrélation entre x et u est excellente : l'ajustement en u=√y est bien meilleur qu'un ajustement affine direct sur y.
a=cov/V(x)=35,037/447,43≈0,0783 ; b=ū−a x̄≈4,270−4,621≈−0,3517. Droite : u≈0,0783x−0,3517, soit √y≈0,0783x−0,3517.
Pour x=100 : u≈0,0783×100−0,3517≈7,83−0,35≈7,478. La distance d'arrêt estimée est y=u²≈7,478²≈55,9 m.

Évolution du stock — ajustement exponentiel par linéarisation

● Moyen

Le tableau suivant donne l'évolution du stock (nombre d'articles) d'une entreprise commerciale :

Année198919901991199219931994xᵢ (rang)123456yᵢ (articles)6 4007 2008 70010 40012 60015 000

On pose z=log(yᵢ) (logarithme décimal).

Calculer les valeurs de z (à 10⁻⁴ près) et le coefficient de corrélation linéaire r entre x et z.
Déterminer par la méthode des moindres carrés l'équation de la droite ajustant les valeurs de z à celles de x ; en déduire, sous la forme y=k×λˣ, un ajustement exponentiel de y en x (λ arrondi à 10⁻³ près, k à l'unité près).
Si l'évolution du stock se poursuit de la même manière, peut-on prévoir le nombre d'articles en stock en 2002 ?

Correction

z=log(y) : z≈3,8062 ; 3,8573 ; 3,9395 ; 4,0170 ; 4,1004 ; 4,1761.

n=6, x̄=3,5, z̄≈3,9828. cov(x,z)≈0,2214, V(x)=2,9167, V(z)≈0,01686. σx≈1,7078, σz≈0,1299. r=0,2214/(1,7078×0,1299)≈0,998. Corrélation quasi parfaite : l'ajustement exponentiel est excellent.
a=cov/V(x)=0,2214/2,9167≈0,07589 ; b=z̄−a x̄≈3,9828−0,2656≈3,7171. D'où log(y)≈0,07589x+3,7171. En revenant à y : k=10^3,7171≈5214 et λ=10^0,07589≈1,191. Ajustement : y≈5214×1,191ˣ.
2002 correspond au rang x=1+(2002−1989)=14. En reprenant les valeurs non arrondies : y(14)≈5214×1,191¹⁴≈5214×11,56≈60 250 articles. On peut donc prévoir, si la tendance se poursuit, un stock d'environ 60 000 à 60 300 articles en 2002.

Ajustement « puissance » — production et résultat net

● Difficile

Une entreprise multinationale lancée sur le marché des jeux électroniques dispose, sur cinq années consécutives, de l'évolution de sa production x (en milliers) et de son résultat net y (en millions de F CFA) :

xᵢ (milliers)2004001 6002 0002 800yᵢ (millions FCFA)18841 1881 8006 600

Calculer le coefficient de corrélation linéaire r de la série (ln x ; ln y) (à 10⁻⁴ près). Un ajustement « puissance » y=k·xᵅ semble-t-il justifié ?
Donner une équation de la droite de régression de ln y en ln x (coefficients à 10⁻² près). En déduire l'ajustement « puissance » y=k·xᵅ.
Estimer la variation relative du résultat net de cette entreprise pour une production passant de 4 000 à 4 400 (milliers d'unités).

Correction

ln x : 5,2983 ; 5,9915 ; 7,3778 ; 7,6009 ; 7,9371. ln y : 2,8904 ; 4,4308 ; 7,0798 ; 7,4955 ; 8,7950.

n=5, moyennes : ln x̄≈6,8411, ln y̅≈6,1383. cov(ln x,ln y)≈2,1822, V(ln x)≈1,0337, V(ln y)≈4,6502. σ≈1,0167 et 2,1564. r=2,1822/(1,0167×2,1564)≈0,9953. r est très proche de 1 : un ajustement « puissance » est tout à fait justifié (bien meilleur qu'un ajustement affine direct, car y croît beaucoup plus vite que x).
α=cov/V(ln x)=2,1822/1,0337≈2,11. β=ln y̅−α ln x̄≈6,1383−14,44≈−8,31. Donc ln y≈2,11 ln x−8,31, soit y=k·xᵅ avec α≈2,11 et k=e^(−8,31)≈0,000247.
Pour x=4000 : ln x=8,294, ln y≈2,11×8,294−8,31≈17,50−8,31≈9,19, y≈e^9,19≈9800. Pour x=4400 : ln x=8,389, ln y≈2,11×8,389−8,31≈17,70−8,31≈9,39, y≈e^9,39≈11970. Variation relative ≈(11970−9800)/9800≈+22 % : le résultat net augmenterait d'environ 22 % lorsque la production passe de 4000 à 4400 milliers d'unités.