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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 11
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1. Raisonnement par récurrence

Principe

Pour prouver P(n) vraie pour tout n≥n₀ :

Initialisation : vérifier P(n₀). Hérédité : supposer P(n) vraie, montrer P(n+1).

Exemple — Somme des entiers

Prouver 1+2+...+n=n(n+1)/2. Init: P(1): 1=1 ✓. Hér: supposer vrai pour n, ajouter (n+1) des deux côtés.

2. Arrangements, permutations, combinaisons

ObjetFormuleSignification Arrangement Aₙᵖn!/(n-p)!p éléments parmi n, ordre compte Permutation Pₙn!Ordonner n éléments Combinaison Cₙᵖn!/(p!(n-p)!)p éléments parmi n, ordre indifférent
Propriétés des combinaisons

Cₙ⁰=Cₙⁿ=1. Cₙ¹=n. Cₙᵖ=Cₙⁿ⁻ᵖ. Pascal : Cₙᵖ+Cₙᵖ⁺¹=Cₙ₊₁ᵖ⁺¹.

3. Binôme de Newton

Formule et applications

(a+b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ Cₙᵏ·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ

Corollaires : Σ Cₙᵏ=2ⁿ (a=b=1). Σ(-1)ᵏCₙᵏ=0 (a=1,b=-1). Σk·Cₙᵏ=n·2ⁿ⁻¹.

Triangle de Pascal : chaque Cₙᵖ = somme des deux au-dessus.

À retenir

  • Récurrence : initialisation + hérédité
  • Aₙᵖ=n!/(n-p)! ; Cₙᵖ=n!/(p!(n-p)!)
  • Pascal : Cₙᵖ+Cₙᵖ⁺¹=Cₙ₊₁ᵖ⁺¹
  • Newton : (a+b)ⁿ=ΣCₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ
  • ΣCₙᵏ=2ⁿ
1

Récurrence — Somme

● Moyen

Prouver par récurrence que 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6.

Correction

Init: P(1): 1=6/6=1 ✓. Hér: supposer P(n). Ajouter (n+1)²: n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)²=(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]/6=(n+1)(2n²+7n+6)/6=(n+1)(n+2)(2n+3)/6. C'est P(n+1). ✓

2

Combinaisons

● Moyen
  1. Calculer C₁₀³, C₈⁵.
  2. Vérifier la relation de Pascal : C₅²+C₅³=C₆³.
  3. Nb de mains de 5 cartes parmi 32.
Correction
  1. C₁₀³=120. C₈⁵=56.
  2. 10+10=20=C₆³ ✓.
  3. C₃₂⁵=201376.
3

Binôme de Newton

● Moyen
  1. Développer (1+x)⁴.
  2. Terme en x³ dans (2x-1)⁵.
  3. Calculer Σₖ₌₀¹⁰ Cₖ¹⁰.
Correction
  1. 1+4x+6x²+4x³+x⁴.
  2. C₅³·(2x)³·(-1)²=10·8x³·1=80x³.
  3. 2¹⁰=1024.
4

Identités combinatoires

● Moyen

Montrer que ΣCₙᵏ·k=n·2ⁿ⁻¹. (Dériver (1+x)ⁿ puis poser x=1.)

Correction

(1+x)ⁿ=ΣCₙᵏxᵏ. Dériver: n(1+x)ⁿ⁻¹=ΣCₙᵏ·k·xᵏ⁻¹. x=1: n·2ⁿ⁻¹=ΣCₙᵏ·k. ✓

5

Problème de dénombrement

● Difficile

Un groupe de 10 personnes (6H, 4F). (1) Comités de 4. (2) Exactement 2F. (3) Au moins 1F.

Correction
  1. C₁₀⁴=210.
  2. C₄²·C₆²=6·15=90.
  3. 210-C₆⁴=210-15=195.
★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On considère la suite (aₙ) définie par aₙ=ΣC_{2n}^k pour k de 0 à n.

  1. Valeurs : Calculer a₁, a₂, a₃ directement.
  2. Lien avec 4ⁿ : En utilisant (1+1)^(2n) et la symétrie C_{2n}^k=C_{2n}^{2n-k}, montrer que 2aₙ-C_{2n}^n=4ⁿ.
  3. Valeur de aₙ : En déduire aₙ=(4ⁿ+C_{2n}^n)/2.
  4. Récurrence sur C_{2n}^n : Montrer que C_{2(n+1)}^{n+1}=C_{2n}^n·(4n+2)/(n+1).
  5. Croissance : Montrer que (aₙ) est strictement croissante.
  6. Application : Calculer a₄ et vérifier par la formule.
Correction du problème de synthèse
  1. a₁=C₂⁰+C₂¹=1+2=3. a₂=C₄⁰+C₄¹+C₄²=1+4+6=11. a₃=C₆⁰+C₆¹+C₆²+C₆³=1+6+15+20=42.
  2. (1+1)^(2n)=2ⁿ=4ⁿ... Oops: 2^(2n)=4ⁿ. ΣC_{2n}^k (k=0 à 2n)=4ⁿ. Symétrie: C_{2n}^k=C_{2n}^{2n-k}. Séparer: 2×(somme k=0 à n-1)+C_{2n}^n=4ⁿ. Donc 2aₙ-C_{2n}^n=4ⁿ.
  3. aₙ=(4ⁿ+C_{2n}^n)/2. ✓
  4. C_{2(n+1)}^{n+1}=(2n+2)!/(((n+1)!)²)=(2n)!·(2n+1)(2n+2)/((n!)²·(n+1)²)=C_{2n}^n·(2n+1)·2/(n+1)=C_{2n}^n·(4n+2)/(n+1).
  5. a_{n+1}-aₙ=(4^{n+1}+C_{2n+2}^{n+1}-4ⁿ-C_{2n}^n)/2=(3·4ⁿ+C_{2n}^n·[(4n+2)/(n+1)-1])/2>0. Croissante.
  6. a₄=(4⁴+C₈⁴)/2=(256+70)/2=163. Vérif directe: 1+8+28+56+70=163 ✓.

QCM

10 questions

0Score
0/10Répondues
Q1/10

1+2+...+n=n(n+1)/2 se prouve par

Q2/10

C₁₀³=

Q3/10

Pascal: Cₙᵖ+Cₙᵖ⁺¹=

Q4/10

(1+x)ⁿ=

Q5/10

ΣCₙᵏ (k=0 à n)=

Q6/10

Aₙᵖ (arrangements de p parmi n)=

Q7/10

Terme en x³ dans (1+x)⁵=

Q8/10

Récurrence: hérédité = supposer P(n) et prouver

Q9/10

Cₙᵖ=Cₙⁿ⁻ᵖ est la propriété de

Q10/10

Nb de comités de 3 parmi 8=