Ch. 12 Probabilités — lois et probabilités conditionnelles — Terminale D Maths

1. Axiomes et propriétés

Définition et propriétés

P(Ω)=1. P(∅)=0. P(Ā)=1-P(A). P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

A et B incompatibles (disjoints) : P(A∪B)=P(A)+P(B).

2. Probabilité conditionnelle

Définition et propriétés

P(A|B)=P(A∩B)/P(B) pour P(B)>0.

A et B indépendants ⟺ P(A∩B)=P(A)·P(B) ⟺ P(A|B)=P(A).

3. Formules de probabilités totales et de Bayes

Probabilités totales

Si B₁,...,Bₙ forment une partition de Ω : P(A)=Σ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ).

Formule de Bayes

P(Bᵢ|A)=P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ)/P(A). Permet de « remonter » aux causes à partir des effets.

Test médical

Maladie M (P(M)=0,01), test positif T. P(T|M)=0,99. P(T|M̄)=0,02.

P(T)=0,01×0,99+0,99×0,02=0,0099+0,0198=0,0297.

P(M|T)=0,0099/0,0297=1/3≈33%. Valeur prédictive positive !

4. Probabilité sur un espace produit

Expériences répétées indépendantes

Si on répète n fois une expérience indépendante :

P(séquence exacte s₁,s₂,...,sₙ) = P(s₁)·P(s₂)·...·P(sₙ).

À retenir

P(Ā)=1-P(A) ; P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
Indépendance : P(A∩B)=P(A)·P(B)
Prob. totales : P(A)=ΣP(A|Bᵢ)P(Bᵢ)
Bayes : P(Bᵢ|A)=P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)/P(A)

Probabilités élémentaires

● Facile

Dé équilibré à 6 faces. A={pair}, B={>3}. Calculer P(A), P(B), P(A∩B), P(A∪B).

Correction

P(A)=1/2, P(B)=1/2, A∩B={4,6}: P=1/3. P(A∪B)=1/2+1/2-1/3=2/3.

Probabilité conditionnelle

● Moyen

Urne : 3R, 2B, 5V. On tire 2 boules sans remise. P(2ème rouge | 1ère rouge).

Correction

P(1ère R)=3/10. P(1ère R ∩ 2ème R)=3/10×2/9=6/90=1/15. P(2ème R|1ère R)=(1/15)/(3/10)=2/9.

Probabilités totales

● Moyen

2 usines : U₁ (60% prod., 2% défauts), U₂ (40% prod., 5% défauts). P(défaut d'un produit).

Correction

P(D)=P(D|U₁)P(U₁)+P(D|U₂)P(U₂)=0,02×0,6+0,05×0,4=0,012+0,02=0,032=3,2%.

Formule de Bayes

● Moyen

Suite ex. 3. Un produit est défectueux. P(il vient de U₂).

Correction

P(U₂|D)=P(D|U₂)·P(U₂)/P(D)=0,05×0,4/0,032=0,02/0,032=5/8=62,5%.

Indépendance

● Difficile

P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,2. (1) A et B indépendants ? (2) P(A|B). (3) P(A∪B). (4) A et B̄ indépendants ?

Correction

P(A)·P(B)=0,2=P(A∩B) ✓. Oui.
0,2/0,5=0,4=P(A). ✓
0,4+0,5-0,2=0,7.
P(A∩B̄)=P(A)-P(A∩B)=0,2. P(A)·P(B̄)=0,4×0,5=0,2. Oui.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Une maladie touche 1% de la population. Un test diagnostique a une sensibilité de 98% (P(T⁺|M)=0,98) et une spécificité de 95% (P(T⁻|M̄)=0,95).

P(T⁺) : Calculer la probabilité d'un test positif (probabilités totales).
Valeur prédictive positive : Calculer P(M|T⁺) par Bayes.
Faux positifs : Quelle proportion de positifs sont des faux positifs ?
Valeur prédictive négative : Calculer P(M̄|T⁻).
Paradoxe : Interpréter pourquoi un test positif ne garantit pas la maladie, même avec un très bon test.
Amélioration : Si la prévalence passe à 10%, recalculer P(M|T⁺). Conclusion sur l'importance de la population testée.

Correction du problème de synthèse

P(T⁺)=P(T⁺|M)P(M)+P(T⁺|M̄)P(M̄)=0,98×0,01+0,05×0,99=0,0098+0,0495=0,0593.
P(M|T⁺)=0,0098/0,0593≈16,5%. Seulement 16,5% des positifs sont vraiment malades!
Faux positifs = P(T⁺|M̄)P(M̄)/P(T⁺)=0,0495/0,0593≈83,5%.
P(T⁻)=1-0,0593=0,9407. P(M∩T⁻)=P(T⁻|M)P(M)=0,02×0,01=0,0002. P(M̄|T⁻)=P(T⁻|M̄)P(M̄)/P(T⁻)=0,95×0,99/0,9407≈99,98%.
La prévalence de 1% est très faible. Même avec 5% de faux positifs sur les 99% de non-malades, ce flux est bien plus grand que les vrais positifs (1% de malades). C'est le paradoxe du dépistage de masse.
P(T⁺)=0,98×0,1+0,05×0,9=0,098+0,045=0,143. P(M|T⁺)=0,098/0,143≈68,5%. La VPP est bien meilleure quand on teste une population à risque.

QCM

10 questions

0Score

0/10Répondues

Q1/10

P(A∪B)=

Q2/10

P(A|B)=

Q3/10

A et B indépendants ⟺

Q4/10

Formule des prob. totales : P(A)=

Q5/10

Bayes : P(B|A)=

Q6/10

P(Ā)=

Q7/10

A et B incompatibles → P(A∪B)=

Q8/10

Test avec P(M)=0,01, P(T⁺|M)=0,98, P(T⁺|M̄)=0,05. P(T⁺)≈

Q9/10

Espace produit : expériences indépendantes. P(A₁∩A₂)=

Q10/10

P(A)=0,4, P(B)=0,5, indépendants → P(A∩B)=