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1. Définition et loi de probabilité

Variable aléatoire discrète

X : Ω → {x₁,x₂,...,xₙ} (ensemble fini ou dénombrable). Loi : P(X=xᵢ)=pᵢ avec Σpᵢ=1.

Fonction de répartition : F(x)=P(X≤x)=Σ_{xᵢ≤x} pᵢ.

2. Caractéristiques

Espérance, Variance, Écart type

E(X)=Σxᵢpᵢ (centre de gravité). V(X)=E[(X-E(X))²]=E(X²)-[E(X)]².

σ(X)=√V(X). Interprétation : dispersion autour de la moyenne.

Propriétés : E(aX+b)=aE(X)+b. V(aX+b)=a²V(X). σ(aX+b)=|a|σ(X).

3. Loi binomiale B(n,p)

Définition

n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune de probabilité de succès p.

X=nb de succès. X~B(n,p) : P(X=k)=Cₙᵏ·pᵏ·(1-p)ⁿ⁻ᵏ pour k=0,...,n.

E(X)=np. V(X)=np(1-p). σ(X)=√(np(1-p)).

Application

Pièce équilibrée lancée 10 fois. X~B(10,1/2). E(X)=5. V(X)=2,5. P(X=3)=C₁₀³·(1/2)¹⁰=120/1024≈11,7%.

À retenir

  • E(X)=Σxᵢpᵢ ; V(X)=E(X²)-[E(X)]²
  • E(aX+b)=aE(X)+b ; V(aX+b)=a²V(X)
  • B(n,p) : P(X=k)=Cₙᵏpᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ
  • E(X)=np ; V(X)=np(1-p)
  • F(x)=P(X≤x) croissante, F→0 en -∞, F→1 en +∞
1

Loi de probabilité et espérance

● Facile

X : P(X=-1)=1/4, P(X=0)=1/2, P(X=3)=1/4. (1) Vérifier. (2) E(X). (3) V(X).

Correction
  1. 1/4+1/2+1/4=1 ✓.
  2. E=(-1)(1/4)+0+3(1/4)=2/4=1/2.
  3. E(X²)=1/4+0+9/4=10/4. V=10/4-1/4=9/4.
2

Loi binomiale

● Moyen

Taux de réussite 70%. 5 tentatives. X~B(5,0,7). (1) P(X=3). (2) P(X≥4). (3) E(X) et V(X).

Correction
  1. C₅³·(0,7)³·(0,3)²=10·0,343·0,09=0,3087.
  2. P(4)+P(5)=C₅⁴·0,7⁴·0,3+0,7⁵=5·0,2401·0,3+0,16807=0,36+0,168=0,528.
  3. E=3,5. V=1,05.
3

Fonction de répartition

● Moyen

X~B(4,1/2). Calculer F(0), F(1), F(2), F(3) et tracer l'allure de F.

Correction

P(X=k)=C₄ᵏ/16. F(0)=1/16. F(1)=5/16. F(2)=11/16. F(3)=15/16. F(4)=1.

4

Propriétés de E et V

● Moyen

E(X)=3, V(X)=4. Y=2X-1. Calculer E(Y), V(Y), σ(Y).

Correction

E(Y)=2×3-1=5. V(Y)=4×4=16. σ(Y)=4.

5

Jeu et espérance

● Difficile

On lance 2 dés. X=différence |D₁-D₂|. (1) Loi de X. (2) E(X). (3) Jeu équitable ?

Correction

(1) Issues (i,j) i,j∈{1..6}. P(X=0)=6/36=1/6. P(X=1)=10/36. P(X=2)=8/36. P(X=3)=6/36. P(X=4)=4/36. P(X=5)=2/36. (2) E=Σk·P(X=k)=(0+10+16+18+16+10)/36=70/36≈1,94. (3) Dépend du jeu.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

X~B(n,p). On va établir les propriétés fondamentales de la loi binomiale.

  1. Vérification que ΣP(X=k)=1 : Utiliser le binôme de Newton pour montrer Σ_{k=0}^n Cₙᵏ pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ=1.
  2. Calcul de E(X) : Montrer que E(X)=Σk·Cₙᵏpᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ=np. (Utiliser k·Cₙᵏ=n·Cₙ₋₁ᵏ⁻¹.)
  3. Calcul de V(X) : Montrer V(X)=np(1-p). (Calculer E(X²)=E(X(X-1))+E(X) et E(X(X-1))=n(n-1)p².)
  4. Application numérique : X~B(100,0,3). Calculer E(X), σ(X).
  5. Mode : La valeur k₀=⌊(n+1)p⌋ maximise P(X=k). Pour n=10, p=0,6, trouver le mode.
  6. Simulation : Un QCM de 20 questions, 4 choix chacune, un élève répond au hasard. Probabilité d'obtenir ≥10/20 (en utilisant B(20,1/4), E=5, σ≈1,94).
Correction du problème de synthèse
  1. Σ Cₙᵏpᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ=(p+(1-p))ⁿ=1ⁿ=1. ✓
  2. E(X)=Σk·Cₙᵏpᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ. k·Cₙᵏ=n·Cₙ₋₁ᵏ⁻¹. E(X)=np·Σ_{k=1}^n Cₙ₋₁ᵏ⁻¹pᵏ⁻¹(1-p)ⁿ⁻ᵏ=np·(p+1-p)ⁿ⁻¹=np.
  3. E(X(X-1))=n(n-1)p²·Σ Cₙ₋₂ᵏ⁻²...=n(n-1)p². E(X²)=n(n-1)p²+np. V(X)=n(n-1)p²+np-n²p²=np(1-p).
  4. E=30, σ=√21≈4,58.
  5. k₀=⌊11×0,6⌋=⌊6,6⌋=6. Mode=6.
  6. P(X≥10) avec X~B(20,0,25). Très petite (≈3,4%). La plupart des élèves aléatoires auront 4-6/20.

QCM

10 questions

0Score
0/10Répondues
Q1/10

E(X)=Σxᵢpᵢ avec Σpᵢ=

Q2/10

V(X)=E(X²)-[E(X)]² est la formule de

Q3/10

E(aX+b)=

Q4/10

V(aX+b)=

Q5/10

X~B(n,p): P(X=k)=

Q6/10

E(X) pour X~B(n,p)=

Q7/10

V(X) pour X~B(10,0,4)=

Q8/10

Fonction de répartition F(x)=

Q9/10

Loi de Bernoulli B(1,p): V(X)=

Q10/10

X~B(n,p), p=1/2: distribution