f(x)=3x² sur [0;1], 0 ailleurs. (1) Vérifier que f est une densité. (2) P(X≤1/2). (3) E(X).

f(x)=2x sur [0;1]. (1) F(x). (2) Médiane m (F(m)=1/2). (3) V(X).

Bus toutes les 20 min. Temps d'attente X~U[0;20]. (1) Densité. (2) E(X). (3) P(X>15). (4) P(5≤X≤10).

Durée de vie d'un composant : X~Exp(λ=0,1). (1) E(X). (2) P(X>20). (3) Propriété sans mémoire : P(X>30|X>10).

X de densité f(x)=λe^(-λx) (x≥0). Prouver E(X)=1/λ et V(X)=1/λ² par intégration par parties.

Soit X de densité f(x)=k·x·e^(-x²) pour x≥0, f(x)=0 pour x<0.

1. Constante k : Déterminer k pour que f soit une densité. (∫₀^∞ x·e^(-x²)dx=1/2.)
2. Fonction de répartition : Calculer F(x) pour x≥0.
3. Médiane : Trouver m tel que F(m)=1/2.
4. Espérance : Calculer E(X)=∫₀^∞ x·f(x)dx. (∫₀^∞ x²e^(-x²)dx=√π/4.)
5. Mode : Trouver la valeur x₀ qui maximise f(x). (C'est le mode.)
6. Probabilités : Calculer P(X>1) et P(0,5≤X≤1).

Un ascenseur s'arrête de façon aléatoire entre deux étages distants de 3 mètres. On modélise par X la distance (en mètres) entre le point d'arrêt et l'étage inférieur ; X suit la loi uniforme sur [0;3].

1. Donner la densité f de X.
2. Calculer P(X≤1).
3. Calculer E(X).
4. Calculer P(1≤X≤2).

Soit X une variable aléatoire continue de densité f(x)=(1/2)x sur [0;2], f(x)=0 ailleurs.

1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité.
2. Déterminer la fonction de répartition F(x) sur [0;2].
3. Calculer P(X≤1) et P(X>1,5).
4. Déterminer la médiane m de X (telle que F(m)=0,5).

La durée de vie X (en années) d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre λ, de densité f(x)=λe^(-λx) pour x≥0 (rappel : f vérifie l'équation différentielle f'=-λf, cf. Ch.08). On appelle « demi-vie » la durée t₁/₂ telle que P(X>t₁/₂)=0,5. On donne t₁/₂=5 ans.

1. Exprimer P(X>t) en fonction de λ et t.
2. Déterminer λ à partir de la demi-vie t₁/₂=5.
3. Calculer E(X) et interpréter.
4. En utilisant la propriété d'absence de mémoire, calculer P(X<8 | X>3).

Soit X une variable aléatoire continue de densité f(x)=k(4-x²) sur [-2;2], f(x)=0 ailleurs.

1. Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.
2. Justifier que E(X)=0 sans calculer d'intégrale (utiliser la parité de f).
3. Calculer P(-1≤X≤1).
4. Calculer V(X)=E(X²).

Soit X une variable aléatoire continue de densité f(x)=4x·e^(-2x) pour x≥0, f(x)=0 pour x<0. (On admettra que ∫₀^∞ x·e^(-2x)dx=1/4 et ∫₀^∞ x²·e^(-2x)dx=1/4.)

1. Densité : Vérifier que f est bien une densité de probabilité.
2. Fonction de répartition : Calculer F(x) pour x≥0, à l'aide d'une intégration par parties.
3. Probabilité : Calculer P(X>1).
4. Espérance : Calculer E(X)=∫₀^∞ x·f(x)dx.
5. Mode : Déterminer la valeur x₀ qui maximise f(x) (mode de X).
6. Application : Calculer P(0,5≤X≤1).

Un guichet ouvre à 8h00. Un client se présente à un instant aléatoire X (en minutes après l'ouverture), modélisé par une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0;10].

1. Donner la densité f de X.
2. Calculer P(X≤3) et P(4≤X≤8).
3. Calculer E(X).
4. Calculer V(X) et σ(X).

Soit X une variable aléatoire continue de densité f(x)=2x sur [0;1], f(x)=0 ailleurs.

1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité.
2. Calculer P(X≤1/2).
3. Calculer P(X≥3/4).
4. Calculer E(X).

La durée de vie X (en années) d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,2 an⁻¹.

1. Donner la densité f(x) et calculer E(X).
2. Déterminer la fonction de répartition F(x) pour x≥0.
3. Calculer la probabilité que le composant fonctionne encore après 10 ans.
4. Sachant que le composant a déjà fonctionné 5 ans, calculer la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 10 années de plus (propriété d'absence de mémoire).

Soit X une variable aléatoire continue de densité f(x)=k(1-x²) sur [-1;1], f(x)=0 ailleurs.

1. Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.
2. Calculer P(0≤X≤1/2).
3. Justifier, sans calcul d'intégrale, que E(X)=0.
4. Calculer V(X)=E(X²).

La durée de vie X (en années) d'une pièce mécanique critique suit une loi exponentielle de paramètre λ (rappel : f vérifie f'=-λf, cf. Ch.08). On appelle demi-vie la durée t₁/₂ telle que P(X>t₁/₂)=0,5. On donne t₁/₂=8 ans.

1. Exprimer λ en fonction de t₁/₂, puis calculer sa valeur.
2. Calculer E(X) et comparer cette valeur à la demi-vie t₁/₂.
3. Montrer que, pour tout entier n≥1, P(X>n·t₁/₂)=(1/2)ⁿ, puis calculer la probabilité que la pièce dépasse 3 demi-vies (soit 24 ans).
4. En déduire, sans nouveau calcul d'intégrale, la probabilité qu'elle dépasse 4 demi-vies (32 ans).

Les bus d'une ligne passent toutes les 15 minutes. Un usager arrivant à l'arrêt à un instant aléatoire attend un temps X (en minutes) avant le passage du prochain bus. On admet que X suit la loi uniforme sur [0;15].

1. Donner la densité de X. Calculer E(X) et interpréter le résultat.
2. Calculer P(X≤5) (probabilité d'une attente courte, au plus 5 minutes).
3. Calculer P(X>10) (probabilité d'une attente longue, plus de 10 minutes).
4. On dit que l'usager est « satisfait » si son attente ne dépasse pas 6 minutes. Sur une semaine, il utilise ce bus 20 fois, ses arrivées étant indépendantes. Soit N le nombre de fois où il est satisfait. Justifier que N suit une loi binomiale et calculer E(N).
5. Calculer V(X) et σ(X).

La durée de vie X (en heures) d'une ampoule LED suit une loi exponentielle de paramètre λ. Le fabricant indique une durée de vie médiane de 10 000 heures (durée telle que la moitié des ampoules ont dépassé cette valeur).

1. Déterminer λ à partir de la médiane, puis donner sa valeur approchée.
2. Calculer la probabilité qu'une ampoule dépasse 15 000 heures.
3. Une ampoule fonctionne déjà depuis 8 000 heures. À l'aide de la propriété d'absence de mémoire, calculer la probabilité qu'elle fonctionne encore au moins 10 000 heures de plus.
4. Le fabricant vend l'ampoule 2 000 F et rembourse intégralement l'achat si elle tombe en panne avant 5 000 heures. Calculer la probabilité de remboursement, puis le coût moyen de remboursement par ampoule vendue.
5. Calculer E(X) et comparer à la médiane.

Soit X une variable aléatoire continue de densité f(x)=k·x·e^(-x) pour x≥0, f(x)=0 pour x<0.

1. Constante k : Calculer ∫₀^A x·e^(-x)dx par intégration par parties, puis en déduire, en faisant tendre A vers +∞, la valeur de ∫₀^(+∞) x·e^(-x)dx. En déduire k.
2. Densité : Vérifier que f est alors bien une densité de probabilité.
3. Fonction de répartition : Calculer F(x) pour x≥0.
4. Espérance : Calculer E(X)=∫₀^(+∞) x²·e^(-x)dx par intégration par parties.
5. Application : Calculer P(X>2) et interpréter par rapport à E(X).

Au chapitre 13, on a étudié des situations où l'on répète une expérience jusqu'à un premier succès (par exemple des tirages dans une urne) : le nombre d'essais nécessaires suit une loi géométrique discrète. On propose ici l'analogue continu : le temps d'attente T (en minutes) avant qu'un client se présente à un guichet suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,5 min⁻¹, qui joue en temps continu le rôle que joue la loi géométrique en temps discret.

1. Donner la densité de T. Calculer P(T≤2) (probabilité qu'un client se présente dans les 2 premières minutes).
2. Déterminer F(t) pour t≥0 et calculer E(T).
3. Calculer P(T>5) et interpréter.
4. Sachant qu'aucun client ne s'est présenté au cours des 3 premières minutes, calculer la probabilité qu'il faille attendre encore plus de 2 minutes.
5. Expliquer en une phrase pourquoi la loi exponentielle est parfois appelée « loi géométrique du temps continu ».

Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de répartition F est définie par : F(x)=0 si x<0 ; F(x)=x²/4 si 0≤x≤2 ; F(x)=1 si x>2.

1. Vérifier que F est continue en 0 et en 2, et qu'elle est croissante sur [0;2] (justifiant que F est bien une fonction de répartition).
2. En déduire la densité f de X sur chaque intervalle.
3. Vérifier que f est bien une densité de probabilité.
4. Calculer P(1≤X≤2).
5. Calculer E(X).