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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 14
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1. Densité de probabilité

Définition

f est une densité si f(x)≥0 et ∫_{-∞}^{+∞} f(x)dx=1.

P(a≤X≤b)=∫_a^b f(x)dx (aire sous la courbe entre a et b).

P(X=a)=0 pour tout réel a (variable continue).

2. Fonction de répartition

Définition et propriétés

F(x)=P(X≤x)=∫_{-∞}^x f(t)dt. F'(x)=f(x). F croissante, F(-∞)=0, F(+∞)=1.

P(a≤X≤b)=F(b)-F(a).

3. Espérance et variance

Formules

E(X)=∫_{-∞}^{+∞} x·f(x)dx. E(X²)=∫ x²f(x)dx. V(X)=E(X²)-[E(X)]².

Mêmes propriétés que le cas discret : E(aX+b)=aE+b, V(aX+b)=a²V.

4. Lois classiques

LoiDensitéE(X)V(X) Uniforme U[a;b]1/(b-a) sur [a;b](a+b)/2(b-a)²/12 Exponentielle Exp(λ)λe^(-λx) (x≥0)1/λ1/λ² Normale N(μ,σ²)(1/σ√2π)e^(-(x-μ)²/2σ²)μσ²

À retenir

  • ∫f(x)dx=1 ; P(a≤X≤b)=∫_a^b f(x)dx
  • F'(x)=f(x) ; P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)
  • Uniforme : E=(a+b)/2, V=(b-a)²/12
  • Exponentielle : E=1/λ, sans mémoire
  • P(X=a)=0 toujours pour V.A. continue
1

Vérification et calcul

● Facile

f(x)=3x² sur [0;1], 0 ailleurs. (1) Vérifier que f est une densité. (2) P(X≤1/2). (3) E(X).

Correction
  1. ∫₀¹3x²dx=[x³]₀¹=1 ✓, f≥0 ✓.
  2. ∫₀^(1/2)3x²dx=1/8.
  3. E=∫₀¹3x³dx=3/4.
2

Fonction de répartition

● Moyen

f(x)=2x sur [0;1]. (1) F(x). (2) Médiane m (F(m)=1/2). (3) V(X).

Correction
  1. F(x)=x² sur [0;1].
  2. m²=1/2 → m=1/√2=√2/2.
  3. E=∫₀¹2x²dx=2/3. E(X²)=∫₀¹2x³dx=1/2. V=1/2-4/9=1/18.
3

Loi uniforme

● Moyen

Bus toutes les 20 min. Temps d'attente X~U[0;20]. (1) Densité. (2) E(X). (3) P(X>15). (4) P(5≤X≤10).

Correction
  1. f=1/20 sur [0;20].
  2. E=10 min.
  3. 5/20=1/4.
  4. 5/20=1/4.
4

Loi exponentielle

● Moyen

Durée de vie d'un composant : X~Exp(λ=0,1). (1) E(X). (2) P(X>20). (3) Propriété sans mémoire : P(X>30|X>10).

Correction
  1. E=10 ans.
  2. P(X>20)=e^(-2)≈0,135.
  3. P(X>30|X>10)=P(X>20)=e^(-2). Sans mémoire! ✓
5

Espérance par intégrale

● Difficile

X de densité f(x)=λe^(-λx) (x≥0). Prouver E(X)=1/λ et V(X)=1/λ² par intégration par parties.

Correction

E(X)=∫₀^∞ xλe^(-λx)dx. IPP: u'=λe^(-λx), v=x. [-xe^(-λx)]₀^∞+∫₀^∞e^(-λx)dx=0+1/λ=1/λ. E(X²)=2/λ². V=2/λ²-1/λ²=1/λ². ✓

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Soit X de densité f(x)=k·x·e^(-x²) pour x≥0, f(x)=0 pour x<0.

  1. Constante k : Déterminer k pour que f soit une densité. (∫₀^∞ x·e^(-x²)dx=1/2.)
  2. Fonction de répartition : Calculer F(x) pour x≥0.
  3. Médiane : Trouver m tel que F(m)=1/2.
  4. Espérance : Calculer E(X)=∫₀^∞ x·f(x)dx. (∫₀^∞ x²e^(-x²)dx=√π/4.)
  5. Mode : Trouver la valeur x₀ qui maximise f(x). (C'est le mode.)
  6. Probabilités : Calculer P(X>1) et P(0,5≤X≤1).
Correction du problème de synthèse
  1. k·∫₀^∞ xe^(-x²)dx=k/2=1 → k=2.
  2. F(x)=∫₀^x 2te^(-t²)dt=[-e^(-t²)]₀^x=1-e^(-x²).
  3. 1-e^(-m²)=1/2 → e^(-m²)=1/2 → m²=ln2 → m=√(ln2)≈0,832.
  4. E(X)=∫₀^∞ 2x²e^(-x²)dx=2·√π/4=√π/2≈0,886.
  5. f'(x)=2e^(-x²)+2x·(-2x)e^(-x²)=2e^(-x²)(1-2x²). f'=0 → x=1/√2. Mode x₀=1/√2≈0,707.
  6. P(X>1)=1-F(1)=e^(-1)≈0,368. P(0,5≤X≤1)=F(1)-F(0,5)=e^(-0,25)-e^(-1)≈0,779-0,368=0,411.

QCM

10 questions

0Score
0/10Répondues
Q1/10

∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx= pour une densité

Q2/10

P(X=3) pour une VA continue=

Q3/10

F'(x)=

Q4/10

U[a;b] : E(X)=

Q5/10

Exp(λ): E(X)=

Q6/10

P(a≤X≤b)=

Q7/10

Densité f(x)=1/2 sur [0;2]. P(X>1)=

Q8/10

Propriété sans mémoire : P(X>s+t|X>s)=

Q9/10

V(X) pour X~U[0;1]=

Q10/10

Normale N(μ,σ²) : la courbe est symétrique par rapport à