Ch. 15 Nombres complexes — forme algébrique — Terminale D Maths

1. Construction de ℂ

Définition

i est le nombre imaginaire tel que i²=-1. Un nombre complexe est z=a+bi avec a,b∈ℝ.

a=Re(z) (partie réelle), b=Im(z) (partie imaginaire). ℝ⊂ℂ (b=0).

Égalité : a+bi=a'+b'i ⟺ a=a' et b=b'.

2. Opérations en forme algébrique

Addition, multiplication

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. (Développer et remplacer i²=-1.)

Conjugué : z̄=a-bi. z·z̄=a²+b²=|z|².

Inverse : 1/z=z̄/|z|²=(a-bi)/(a²+b²).

Division : z/w=(z·w̄)/|w|². Multiplier num. et dén. par le conjugué.

3. Module et représentation géométrique

Plan complexe

z=a+bi ↔ point M(a;b) du plan. |z|=√(a²+b²) = distance OM = norme de z.

|z|=0 ⟺ z=0. |z·w|=|z|·|w|. |z/w|=|z|/|w|. |z̄|=|z|. |z+w|≤|z|+|w|.

4. Équations dans ℂ

Équation du 2ème degré

az²+bz+c=0 (a,b,c∈ℂ). Δ=b²-4ac.

Si Δ=ρe^(iθ), les racines sont z=(-b±√Δ)/(2a) où √Δ est une racine carrée de Δ.

Si a,b,c∈ℝ et Δ<0 : les racines sont conjuguées z₁=(-b+i√|Δ|)/(2a) et z₂=z̄₁.

À retenir

i²=-1 ; z=a+bi ; Re(z)=a, Im(z)=b
z̄=a-bi ; |z|=√(a²+b²) ; z·z̄=|z|²
1/z=z̄/|z|² ; z/w=z·w̄/|w|²
|z·w|=|z|·|w| ; |z+w|≤|z|+|w|
Δ<0 (réels) → racines conjuguées

Opérations algébriques

● Facile

z=2+3i, w=1-i. Calculer : (1) z+w. (2) z·w. (3) z̄. (4) |z|. (5) z/w.

Correction

3+2i.
(2+3)(1-i)... (2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i²=2+i+3=5+i.
2-3i.
√13.
(2+3i)(1+i)/2=(2+2i+3i-3)/2=(-1+5i)/2.

Module et conjugué

● Moyen

Vérifier |z·w|=|z|·|w| pour z=1+i, w=2-i.
Calculer 1/(3+4i). Vérifier |1/z|=1/|z|.

Correction

z·w=(1+i)(2-i)=3+i. |z·w|=√10. |z|=√2, |w|=√5. √2·√5=√10 ✓.
1/(3+4i)=(3-4i)/25. |1/z|=5/25=1/5=1/|z|=1/5 ✓.

Équations dans ℂ

● Moyen

z²+2z+5=0 (Δ<0, coefficients réels).
z²-(3+i)z+2+i=0 (Méthode: chercher z=a+bi).

Correction

Δ=4-20=-16. z=(-2±4i)/2=-1±2i.
Δ=(3+i)²-4(2+i)=9+6i-1-8-4i=2i. √(2i)=1+i (car (1+i)²=2i). z=(3+i±(1+i))/2. z₁=(4+2i)/2=2+i. z₂=(2)/2=1. S={1;2+i}.

Plan complexe

● Moyen

Représenter les points z₁=2+i, z₂=-1+3i, z₃=-2-2i. Calculer leurs modules. Identifier le plus éloigné de l'origine.

Correction

|z₁|=√5≈2,24. |z₂|=√10≈3,16. |z₃|=2√2≈2,83. Le plus éloigné : z₂.

Racine carrée d'un complexe

● Difficile

Trouver les racines carrées de z=3+4i (forme a+bi, a,b∈ℝ).

Correction

(a+bi)²=3+4i → a²-b²=3 et 2ab=4 → b=2/a. a²-4/a²=3 → a⁴-3a²-4=0 → (a²-4)(a²+1)=0 → a²=4 → a=±2. b=±1. √(3+4i)=±(2+i).

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

On cherche à résoudre et analyser z⁴-1=0 dans ℂ.

Factorisation : Factoriser z⁴-1=(z²-1)(z²+1). En déduire les 4 racines.
Représentation : Placer les 4 racines dans le plan complexe. Que remarque-t-on ?
Module : Calculer le module de chaque racine.
Somme et produit : Calculer la somme et le produit des 4 racines. Interpréter par Viète.
Généralisation : L'équation zⁿ-1=0 a n racines de module 1 (racines de l'unité). Pour n=4, elles forment un carré. Vérifier en calculant les distances entre racines adjacentes.
Application : Si ω=i est une racine de z⁴=1, calculer ω, ω², ω³, ω⁴ et vérifier le cycle.

Correction du problème de synthèse

(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)=0. Racines : z=1, z=-1, z=i, z=-i.
Points (1;0), (-1;0), (0;1), (0;-1) dans le plan. Forment un carré inscrit dans le cercle unité.
|1|=|-1|=|i|=|-i|=1. Toutes sur le cercle unité.
Somme=1+(-1)+i+(-i)=0. Produit=1×(-1)×i×(-i)=1×(-1)×(-1)=1. Par Viète pour z⁴-1=0 : somme des racines = -coeff z³ = 0 ✓, produit = (-1)⁴×(-1)/1 = -1... Recalc: z⁴+0z³+0z²+0z-1=0. Produit = 1 (Viète : (-1)⁴×(-1)/1 = 1) ✓.
Distance entre 1 et i : |i-1|=√2. Distance entre i et -1 : |-1-i|=√2. ✓ Carré de côté √2.
ω=i. ω²=i²=-1. ω³=-i. ω⁴=1. Cycle de période 4. ✓

QCM

10 questions

0Score

0/10Répondues

Q1/10

i²=

Q2/10

Re(3-4i)=

Q3/10

(2+i)(1-i)=

Q4/10

Conjugué de z=a+bi est

Q5/10

|z|² = z·z̄ = pour z=3+4i

Q6/10

1/i =

Q7/10

z²+4=0 dans ℂ

Q8/10

|z·w|=

Q9/10

Δ<0 (coefficients réels) → racines

Q10/10

z=2-3i, z̄=