Ch. 16 Forme trigonométrique — module et argument — Terminale D Maths

1. Argument d'un nombre complexe

Définition

Pour z≠0, l'argument arg(z) est l'angle θ (modulo 2π) tel que z=|z|(cos θ+i sin θ).

z=r(cos θ+i sin θ) est la forme trigonométrique avec r=|z| et θ=arg(z).

Calcul : cos θ=Re(z)/|z|, sin θ=Im(z)/|z|.

2. Propriétés de l'argument

Règles de calcul

arg(z·w) = arg(z) + arg(w) [mod 2π].

arg(z/w) = arg(z) - arg(w) [mod 2π].

arg(z̄) = -arg(z). arg(zⁿ) = n·arg(z). arg(-z)=arg(z)+π.

Exemples

z=1+i : |z|=√2, θ=π/4. Forme trig : √2(cos π/4+i sin π/4).

z=-√3+i : |z|=2, cos θ=-√3/2, sin θ=1/2 → θ=5π/6.

3. Multiplication et division en forme trigonométrique

Formules

z=r(cos α+i sin α), w=s(cos β+i sin β).

z·w = rs[cos(α+β)+i sin(α+β)].

z/w = (r/s)[cos(α-β)+i sin(α-β)].

Ces formules donnent immédiatement le module et l'argument du produit/quotient.

À retenir

Forme trig : z=r(cos θ+i sin θ), r=|z|, θ=arg(z)
cos θ=Re(z)/r, sin θ=Im(z)/r
arg(zw)=arg(z)+arg(w) ; arg(z/w)=arg(z)-arg(w)
arg(zⁿ)=n·arg(z) ; |zⁿ|=|z|ⁿ

Forme trigonométrique

● Facile

Écrire en forme trigonométrique : (1) z=1+i√3. (2) w=-2. (3) v=-i.

Correction

|z|=2, θ=π/3. 2(cos π/3+i sin π/3).
|w|=2, θ=π. 2(cos π+i sin π).
|v|=1, θ=-π/2. cos(-π/2)+i sin(-π/2).

Multiplication et argument

● Moyen

z=√2(cos π/4+i sin π/4), w=2(cos π/3+i sin π/3). (1) z·w en forme trig. (2) arg(z³).

Correction

|zw|=2√2, arg=π/4+π/3=7π/12. zw=2√2(cos 7π/12+i sin 7π/12).
3×π/4=3π/4.

Calcul d'argument

● Moyen

z=3(cos 2π/3+i sin 2π/3), w=2(cos π/6+i sin π/6). Calculer z/w en forme algébrique.

Correction

z/w=(3/2)(cos(2π/3-π/6)+i sin(π/2))=(3/2)(cos π/2+i sin π/2)=(3/2)(0+i)=3i/2.

Puissances

● Moyen

z=1+i. (1) Forme trig. (2) Calculer z⁸. (3) Calculer z¹² en forme algébrique.

Correction

√2(cos π/4+i sin π/4).
(√2)⁸(cos 8π/4+i sin 2π)=16(1+0)=16.
z¹²=(√2)¹²(cos 3π+i sin 3π)=64(-1+0)=-64.

Géométrie dans ℂ

● Difficile

Ensemble E={z : |z-1|=|z+1|}. (1) Donner E. (2) Ensemble F={z : |z-1|/|z+1|=2}.

Correction

|z-1|=|z+1|: z est équidistant de 1 et -1 → axe imaginaire (Re(z)=0).
|z-1|=2|z+1|. z=a+bi. (a-1)²+b²=4[(a+1)²+b²]. a²-2a+1+b²=4a²+8a+4+4b². 3a²+10a+3b²+3=0. Cercle de centre (-5/3;0) et rayon 4/3.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Soit z un complexe de module r et d'argument θ. On étudie la suite (zₙ) avec z₀=i et z_{n+1}=z_n·(1+i)/√2.

Module et argument de (1+i)/√2 : Calculer |(1+i)/√2| et arg((1+i)/√2).
Module de zₙ : Montrer |zₙ|=1 pour tout n.
Argument de zₙ : Exprimer arg(zₙ) en fonction de n.
Expression de zₙ : Écrire zₙ sous forme trigonométrique, puis algébrique.
Périodicité : La suite (zₙ) est-elle périodique ? Si oui, trouver la période.
Représentation : Les points zₙ se trouvent sur quel cercle ? Combien de positions distinctes ?

Correction du problème de synthèse

|(1+i)/√2|=√2/√2=1. arg=(1+i)/√2: cos=1/√2, sin=1/√2 → arg=π/4.
|z₀|=|i|=1. |z_{n+1}|=|zₙ|×|(1+i)/√2|=|zₙ|×1=|zₙ|. Par récurrence |zₙ|=1 ∀n.
arg(z₀)=π/2. arg(z_{n+1})=arg(zₙ)+π/4. Suite arithm. arg(zₙ)=π/2+nπ/4.
zₙ=cos(π/2+nπ/4)+i sin(π/2+nπ/4). z₀=i, z₁=(-1+i)/√2, z₂=-1, z₃=(-1-i)/√2, z₄=-i...
z_{n+8}: arg augmente de 8×π/4=2π → même valeur. Période 8.
Cercle unité (tous de module 1). 8 positions distinctes (sommets d'un octogone régulier).

QCM

10 questions

0Score

0/10Répondues

Q1/10

arg(1+i)=

Q2/10

z=2(cos π/3+i sin π/3). Re(z)=

Q3/10

arg(z·w)=

Q4/10

|-1+i√3|=

Q5/10

|zⁿ|=

Q6/10

arg(z̄)=

Q7/10

z=r(cos α+i sin α), w=s(cos β+i sin β). arg(z/w)=

Q8/10

arg(-z)=

Q9/10

z=1+i. z⁴=

Q10/10

Ensemble {z:|z|=1} est

Exercices supplémentaires tirés du CIAM Terminale SE (Collection Inter-Africaine de Mathématiques), section « Entraînement » du chapitre correspondant — énoncés fidèles au manuel, corrections rédigées pour ce site.

Argument d'un nombre complexe

● Facile

Déterminer un argument de z₁ = 1 + i.

Correction

|z₁| = √(1²+1²) = √2. cos θ = Re(z₁)/|z₁| = 1/√2 = √2/2 et sin θ = Im(z₁)/|z₁| = 1/√2 = √2/2. D'où θ = π/4 (à 2π près).

Forme trigonométrique et point image

● Facile

Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe z = −4 + 4i et représenter dans le plan complexe le point image de z.

Correction

|z| = √((−4)²+4²) = √32 = 4√2. cos θ = −4/(4√2) = −√2/2, sin θ = 4/(4√2) = √2/2, d'où θ = 3π/4.

Forme trigonométrique : z = 4√2(cos 3π/4 + i sin 3π/4).

Point image : situé dans le 2ᵉ quadrant (partie réelle négative, partie imaginaire positive), à la distance 4√2 de l'origine O, avec un angle de 135° par rapport à l'axe des réels positifs.

Module et argument d'un quotient

● Moyen

On donne z₁ = (√6 + i√2)/2 et z₂ = 1 − i, et z = z₁/z₂. Déterminer le module et un argument de z₁, z₂ et z. En déduire les valeurs exactes de cos(5π/12) et sin(5π/12).

Correction

Module et argument de z₁ : |z₁| = √[(√6/2)²+(√2/2)²] = √(6/4+2/4) = √2. cos θ₁ = (√6/2)/√2 = √3/2, sin θ₁ = (√2/2)/√2 = 1/2, donc θ₁ = π/6.

Module et argument de z₂ : |z₂| = √(1²+1²) = √2. cos θ₂ = 1/√2, sin θ₂ = −1/√2, donc θ₂ = −π/4.

Module et argument de z : |z| = |z₁|/|z₂| = √2/√2 = 1. arg(z) = θ₁ − θ₂ = π/6 − (−π/4) = 2π/12+3π/12 = 5π/12.

Forme algébrique de z (vérification) : z = z₁/z₂ = (√6+i√2)/[2(1−i)] = (√6+i√2)(1+i)/4 = [(√6−√2)+i(√6+√2)]/4.

Comme |z| = 1 : cos(arg z) = (√6−√2)/4 et sin(arg z) = (√6+√2)/4. Puisque arg(z) = 5π/12, on en déduit cos(5π/12) = (√6−√2)/4 et sin(5π/12) = (√6+√2)/4.

Forme exponentielle

● Moyen

Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe z₁ = 5 − 5i.

Correction

|z₁| = √(5²+5²) = √50 = 5√2. cos θ = 5/(5√2) = √2/2, sin θ = −5/(5√2) = −√2/2, donc θ = −π/4.

D'où z₁ = 5√2 · e^(−iπ/4).

Problème de synthèse — équation trigonométrique

● Difficile

On considère le nombre complexe z = (√3+1) + i(√3−1).

Module et argument de z² : Déterminer le module et un argument de z². En déduire les valeurs exactes de cos(π/12) et sin(π/12).
Équation trigonométrique : Résoudre dans ℝ l'équation (E) : (√3+1)cos x + (√3−1)sin x = √2. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.

Correction du problème de synthèse

1. Module et argument de z² : z² = [(√3+1)+i(√3−1)]². Partie réelle : (√3+1)²−(√3−1)² = [(√3+1)−(√3−1)]×[(√3+1)+(√3−1)] = 2×2√3 = 4√3. Partie imaginaire : 2(√3+1)(√3−1) = 2(3−1) = 4. Donc z² = 4√3 + 4i.

|z²| = √[(4√3)²+4²] = √(48+16) = √64 = 8. cos(arg z²) = 4√3/8 = √3/2, sin(arg z²) = 4/8 = 1/2, donc arg(z²) = π/6.

Or |z²| = |z|², donc |z| = √8 = 2√2. Comme Re(z) = √3+1 > 0 et Im(z) = √3−1 > 0 (car √3 > 1), z est dans le premier quadrant, et arg(z²) = 2arg(z) [mod 2π] donne arg(z) = π/12.

On en déduit : cos(π/12) = Re(z)/|z| = (√3+1)/(2√2) = (√3+1)√2/4, soit cos(π/12) = (√6+√2)/4, et sin(π/12) = (√3−1)/(2√2), soit sin(π/12) = (√6−√2)/4.

2. Résolution de (E) : On a (√3+1) = |z|cos(arg z) et (√3−1) = |z|sin(arg z), avec |z| = 2√2 et arg(z) = π/12. Donc (√3+1)cos x+(√3−1)sin x = |z|[cos(arg z)cos x+sin(arg z)sin x] = |z|cos(x−arg z) = 2√2·cos(x−π/12).

L'équation (E) devient : 2√2·cos(x−π/12) = √2, soit cos(x−π/12) = 1/2.

D'où x−π/12 = π/3 + 2kπ ou x−π/12 = −π/3 + 2kπ (k∈ℤ), soit x = 5π/12 + 2kπ ou x = −π/4 + 2kπ (k∈ℤ).

Sur le cercle trigonométrique, les points images des solutions sont situés aux angles 5π/12 (75°) et −π/4 (soit 315°, ou −45°).

Cinq exercices supplémentaires tirés du CIAM Terminale SE (Collection Inter-Africaine de Mathématiques), section « Entraînement » du chapitre correspondant, niveau intermédiaire — énoncés fidèles au manuel, corrections rédigées pour ce site.

Argument d'un quotient

● Facile

Déterminer un argument du nombre complexe (√3+i)/(2i).

Correction

|√3+i| = √(3+1) = 2, avec cos θ₁ = √3/2 et sin θ₁ = 1/2, donc arg(√3+i) = π/6.

|2i| = 2, arg(2i) = π/2.

Le quotient a pour argument arg(√3+i) − arg(2i) = π/6 − π/2 = −π/3.

Vérification algébrique : (√3+i)/(2i) = (√3+i)(−i)/[2i×(−i)] = (−i√3+1)/2 = 1/2 − i√3/2 = cos(−π/3) + i sin(−π/3). On retrouve bien arg = −π/3 (mod 2π).

Produit et forme trigonométrique

● Moyen

Soit z = (1+i)(1−i√3). Calculer z sous forme algébrique, puis écrire z sous forme trigonométrique.

Correction

Forme algébrique : z = (1+i)(1−i√3) = 1 − i√3 + i − i²√3 = 1 − i√3 + i + √3 = (1+√3) + i(1−√3).

Forme trigonométrique : |1+i| = √2, arg(1+i) = π/4. |1−i√3| = √(1+3) = 2, avec cos = 1/2, sin = −√3/2, donc arg(1−i√3) = −π/3.

Donc |z| = √2 × 2 = 2√2, et arg(z) = π/4 + (−π/3) = 3π/12 − 4π/12 = −π/12.

D'où z = 2√2[cos(−π/12) + i sin(−π/12)]. (On vérifie : (1+√3)²+(1−√3)² = 8, donc |z| = √8 = 2√2, cohérent.)

Modules et arguments — construction de cos(11π/12)

● Difficile

On pose a = √2(1+i), b = √3+i, c = a²b.

Déterminer le module et un argument de a, puis de b. En déduire le module et un argument de c.
En déduire les valeurs exactes de cos(11π/12) et sin(11π/12).

Correction

1. a = √2(1+i) : |1+i| = √2 et arg(1+i) = π/4, donc |a| = √2×√2 = 2 et arg(a) = π/4.

b = √3+i : |b| = √(3+1) = 2, cos = √3/2, sin = 1/2, donc arg(b) = π/6.

c = a²b : |c| = |a|²×|b| = 4×2 = 8, arg(c) = 2×arg(a) + arg(b) = 2×π/4 + π/6 = π/2 + π/6 = 2π/3.

Vérification algébrique : a² = 2(1+i)² = 2×2i = 4i, donc c = 4i(√3+i) = 4i√3 − 4 = −4 + 4i√3 (|c| = √(16+48) = 8 ✓, arg : cos = −1/2, sin = √3/2 → 2π/3 ✓).

2. Considérons le produit a×c. D'une part, |a×c| = |a|×|c| = 2×8 = 16 et arg(a×c) = arg(a) + arg(c) = π/4 + 2π/3 = 3π/12 + 8π/12 = 11π/12.

D'autre part, algébriquement : a×c = (√2+i√2)(−4+4i√3) = −4√2 + 4i√6 − 4i√2 + 4i²√6 = (−4√2−4√6) + i(4√6−4√2) = −4(√2+√6) + 4i(√6−√2).

En identifiant les deux écritures de a×c = 16[cos(11π/12) + i sin(11π/12)] :

cos(11π/12) = −4(√2+√6)/16 = −(√6+√2)/4. sin(11π/12) = 4(√6−√2)/16 = (√6−√2)/4.

Quotient et valeurs remarquables

● Moyen

On donne z₁ = −1−i et z₂ = 1/2+i√3/2.

Écrire z₁/z₂ sous forme algébrique.
En déduire le module et un argument de z₁/z₂.
Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de cos(11π/12) et sin(11π/12).

Correction

1. z₁/z₂ = (−1−i)/(1/2+i√3/2). En multipliant par le conjugué du dénominateur 1/2−i√3/2, dont le produit avec 1/2+i√3/2 vaut (1/2)²+(√3/2)² = 1 :

z₁/z₂ = (−1−i)(1/2−i√3/2) = −1/2 + i√3/2 − i/2 + i²√3/2 = −1/2 − √3/2 + i(√3/2 − 1/2) = (−1−√3)/2 + i(√3−1)/2.

2. |z₁| = √(1+1) = √2, arg(z₁) : cos = −1/√2, sin = −1/√2 → arg(z₁) = −3π/4 (3ᵉ quadrant). |z₂| = √(1/4+3/4) = 1, arg(z₂) = π/3.

Donc |z₁/z₂| = √2/1 = √2, et arg(z₁/z₂) = −3π/4 − π/3 = −9π/12 − 4π/12 = −13π/12 ≡ −13π/12+2π = 11π/12 (mod 2π).

3. z₁/z₂ = √2[cos(11π/12)+i sin(11π/12)]. En identifiant avec la forme algébrique du 1. :

cos(11π/12) = [(−1−√3)/2]/√2 = −(√6+√2)/4. sin(11π/12) = [(√3−1)/2]/√2 = (√6−√2)/4.

Factorisation d'une différence de sinus au carré

● Moyen

Écrire f(x) sous forme de produit : f(x) = sin²2x − sin²3x.

Correction

On utilise l'identité générale sin²a − sin²b = sin(a+b)sin(a−b) (obtenue en factorisant (sin a−sin b)(sin a+sin b) puis en appliquant les formules de transformation de somme en produit).

Avec a = 2x et b = 3x : f(x) = sin(2x+3x)×sin(2x−3x) = sin(5x)×sin(−x) = −sin(x)sin(5x).

Vérification pour x = π/6 : sin²(π/3) − sin²(π/2) = 3/4 − 1 = −1/4, et −sin(π/6)sin(5π/6) = −(1/2)(1/2) = −1/4. ✓

Cinq problèmes de synthèse, plus longs et plus exigeants, tirés de la fin de la banque d'exercices du CIAM Terminale SE — pour aller plus loin et préparer les épreuves de type baccalauréat.

Deux calculs pour un même quotient

● Moyen

On considère le nombre complexe z défini par z = (1+i)/(√3+i). Calculer z de deux façons différentes. En déduire les valeurs exactes de cos(π/12) et sin(π/12).

Correction

Méthode algébrique (en multipliant par le conjugué du dénominateur) : z = (1+i)(√3−i)/[(√3+i)(√3−i)] = (1+i)(√3−i)/4.

(1+i)(√3−i) = √3 − i + i√3 − i² = √3 − i + i√3 + 1 = (√3+1) + i(√3−1). Donc z = [(√3+1)+i(√3−1)]/4.

Méthode trigonométrique : |1+i| = √2, arg(1+i) = π/4 ; |√3+i| = 2, arg(√3+i) = π/6. Donc |z| = √2/2 et arg(z) = π/4 − π/6 = π/12, d'où z = (√2/2)[cos(π/12)+i sin(π/12)].

En identifiant les parties réelles et imaginaires des deux écritures :

(√3+1)/4 = (√2/2)cos(π/12) ⟹ cos(π/12) = (√3+1)/(2√2) = (√6+√2)/4.

(√3−1)/4 = (√2/2)sin(π/12) ⟹ sin(π/12) = (√3−1)/(2√2) = (√6−√2)/4.

Points sur un même cercle centré en O

● Moyen

Déterminer les nombres complexes z tels que les points A, A′ et A″ d'affixes respectives z, 1/z et z−1 soient sur un même cercle de centre O.

Correction

On cherche z (z≠0) tel que |z| = |1/z| = |z−1|.

Condition |z| = |1/z| : comme |1/z| = 1/|z|, cette égalité s'écrit |z| = 1/|z|, soit |z|² = 1, donc |z| = 1.

Condition |z| = |z−1| (avec |z|=1) : posons z = x+iy. |z|=1 donne x²+y²=1. |z−1|=1 donne (x−1)²+y²=1, soit x²−2x+1+y²=1, c'est-à-dire (x²+y²)−2x+1=1, soit 1−2x+1=1 (en utilisant x²+y²=1), d'où x = 1/2.

Alors y² = 1−1/4 = 3/4, donc y = ±√3/2.

On obtient donc z = 1/2 + i√3/2 ou z = 1/2 − i√3/2 (c'est-à-dire z = e^(iπ/3) ou z = e^(−iπ/3)).

Vérification : pour ces deux valeurs, |z|=1 donc 1/z = z̄ et |1/z|=1 automatiquement ; et |z−1| = 1 se vérifie directement (par exemple pour z=1/2+i√3/2 : z−1 = −1/2+i√3/2, de module √(1/4+3/4) = 1).

Suite géométrique complexe et puissance élevée

● Difficile

1. Vérifier que (1+i)² = 2i. Résoudre dans ℂ l'équation z² = 2i.

2. Déterminer toutes les suites géométriques (uₙ) telles que u₂ = 1/2+i√3/2 et u₄ = −√3+i. On considère celle de ces suites dont la raison a une partie réelle positive. Calculer u₁₉, donner son module, un argument et sa forme algébrique.

Correction

1. (1+i)² = 1+2i+i² = 1+2i−1 = 2i. ✓ Comme 2i = (1+i)², l'équation z²=2i équivaut à (z−(1+i))(z+(1+i))=0. D'où z = 1+i ou z = −1−i.

2. Pour une suite géométrique de raison q, u₄ = u₂×q². Donc q² = u₄/u₂ = (−√3+i)/(1/2+i√3/2).

|u₄| = √(3+1) = 2, arg(u₄) = 5π/6 (cos=−√3/2, sin=1/2). |u₂| = 1, arg(u₂) = π/3. Donc |q²| = 2, arg(q²) = 5π/6 − π/3 = π/2, soit q² = 2[cos(π/2)+i sin(π/2)] = 2i.

On retrouve l'équation résolue en 1. : q = 1+i ou q = −1−i. La raison de partie réelle positive est donc q = 1+i (module √2, argument π/4).

Pour calculer u₁₉, on utilise u₁₉ = u₂×q¹⁷ (17 pas de u₂ à u₁₉) :

|u₁₉| = |u₂|×|q|¹⁷ = 1×(√2)¹⁷ = 2⁸·√2 = 256√2.

arg(u₁₉) = arg(u₂) + 17×arg(q) = π/3 + 17π/4 = 4π/12+51π/12 = 55π/12 ≡ 55π/12 − 4π = 55π/12−48π/12 = 7π/12 (mod 2π).

Donc u₁₉ = 256√2[cos(7π/12)+i sin(7π/12)]. Or 7π/12 = π/3+π/4, donc cos(7π/12) = cos(π/3)cos(π/4)−sin(π/3)sin(π/4) = (√2−√6)/4, et sin(7π/12) = sin(π/3)cos(π/4)+cos(π/3)sin(π/4) = (√6+√2)/4.

D'où u₁₉ = 256√2×[(√2−√6)/4 + i(√6+√2)/4] = 64√2×[(√2−√6)+i(√6+√2)] = 128(1−√3) + 128i(1+√3) (forme algébrique).

Linéarisation et calcul intégral

● Difficile

1. Linéariser sin³θ·cos²θ.

2. Calculer ∫[0,π/3] sin³θ·cos²θ dθ.

Correction

1. On écrit sin³θcos²θ = sinθ×(sinθcosθ)² = sinθ×(sin2θ/2)² = (1/4)sinθ·sin²2θ = (1/4)sinθ×(1−cos4θ)/2 = (1/8)[sinθ − sinθcos4θ].

Avec sinθcos4θ = (1/2)[sin(5θ)+sin(−3θ)] = (1/2)(sin5θ−sin3θ), on obtient :

sin³θcos²θ = (1/8)[sinθ − (1/2)(sin5θ−sin3θ)] = (1/8)sinθ + (1/16)sin3θ − (1/16)sin5θ.

(Vérification en θ=π/6 : membre de gauche = (1/2)³×(√3/2)² = 3/32 ; membre de droite = (1/8)(1/2)+(1/16)(1)−(1/16)(1/2) = 1/16+1/16−1/32 = 3/32. ✓)

2. Une primitive est F(θ) = −(1/8)cosθ − (1/48)cos3θ + (1/80)cos5θ.

F(π/3) : cos(π/3)=1/2, cos(π)=−1, cos(5π/3)=1/2. F(π/3) = −1/16+1/48+1/160 = (−30+10+3)/480 = −17/480.

F(0) = −1/8−1/48+1/80 = (−60−10+6)/480 = −64/480 = −2/15.

Donc ∫[0,π/3] sin³θcos²θ dθ = F(π/3)−F(0) = −17/480+64/480 = 47/480.

(Vérification par une autre méthode : en posant u=cosθ, ∫sin³θcos²θ dθ = ∫sinθ(1−cos²θ)cos²θ dθ = ∫(u⁴−u²)(−du) = u⁵/5−u³/3+C, ce qui redonne le même résultat 47/480.)

Étude d'une transformation homographique

● Difficile

z est un nombre complexe différent de 1/2. On considère le nombre complexe Z défini par Z = (z−2)/(2z−1).

a) Déterminer la partie réelle X et la partie imaginaire Y du nombre complexe Z en fonction de la partie réelle x et de la partie imaginaire y du nombre complexe z. b) Dans le plan complexe, construire l'ensemble des points M d'affixe z tels que : Z soit un nombre réel ; Z soit un nombre imaginaire pur.
a) Démontrer que, si le module de z est égal à 1, alors les modules des nombres z−2 et 2z−1 sont égaux. b) Dans la suite on suppose que le module de z est égal à 1. θ et φ désignent des arguments respectifs de z et Z. Calculer cos φ et sin φ en fonction de cos θ et sin θ.

Correction

1a. Avec z = x+iy, Z = (x−2+iy)/(2x−1+2iy). En multipliant par le conjugué du dénominateur :

Z = (x−2+iy)(2x−1−2iy) / [(2x−1)²+4y²].

Numérateur = (x−2)(2x−1) + 2y² + iy[(2x−1)−2(x−2)] = (2x²−5x+2+2y²) + 3iy (car (2x−1)−2(x−2) = 2x−1−2x+4 = 3).

D'où X = (2x²+2y²−5x+2)/[(2x−1)²+4y²] et Y = 3y/[(2x−1)²+4y²].

1b. Le dénominateur (2x−1)²+4y² ne s'annule que pour z=1/2, exclu du domaine ; il est donc toujours strictement positif.

Z réel ⟺ Y=0 ⟺ y=0. L'ensemble cherché est donc l'axe des réels (privé du point d'affixe 1/2).

Z imaginaire pur ⟺ X=0 ⟺ 2x²+2y²−5x+2=0 ⟺ x²+y²−(5/2)x+1=0 ⟺ (x−5/4)²+y² = 25/16−1 = 9/16.

C'est le cercle de centre Ω(5/4;0) et de rayon 3/4. Comme (1/2−5/4)² = (−3/4)² = 9/16, le point d'affixe 1/2 appartient à ce cercle : il faut donc l'exclure (c'est le point où z n'est pas défini).

2a. Si |z|=1, alors zz̄=1. |2z−1|² = (2z−1)(2z̄−1) = 4zz̄−2z−2z̄+1 = 4−2(z+z̄)+1 = 5−2(z+z̄).

|z−2|² = (z−2)(z̄−2) = zz̄−2z−2z̄+4 = 1−2(z+z̄)+4 = 5−2(z+z̄).

Les deux quantités sont égales, donc |z−2|² = |2z−1|², d'où |z−2| = |2z−1| (modules positifs).

2b. D'après 2a, |Z| = |z−2|/|2z−1| = 1. Avec z = cosθ+i sinθ (donc x=cosθ, y=sinθ, x²+y²=1) dans les formules du 1a :

Le dénominateur devient (2x−1)²+4y² = 4x²+4y²−4x+1 = 4−4cosθ+1 = 5−4cosθ.

X = [2(x²+y²)−5x+2]/(5−4cosθ) = (2−5cosθ+2)/(5−4cosθ) = (4−5cosθ)/(5−4cosθ).

Y = 3sinθ/(5−4cosθ).

Comme |Z|=1, Z = cosφ+i sinφ = X+iY directement, donc :

cos φ = (4−5cos θ)/(5−4cos θ) et sin φ = 3sin θ/(5−4cos θ).

(On vérifie que cos²φ+sin²φ=1 : [(4−5cosθ)²+9sin²θ] = 16−40cosθ+25cos²θ+9−9cos²θ = 25−40cosθ+16cos²θ = (5−4cosθ)². ✓)