Ch. 16 Forme trigonométrique — module et argument — Terminale D Maths

1. Argument d'un nombre complexe

Définition

Pour z≠0, l'argument arg(z) est l'angle θ (modulo 2π) tel que z=|z|(cos θ+i sin θ).

z=r(cos θ+i sin θ) est la forme trigonométrique avec r=|z| et θ=arg(z).

Calcul : cos θ=Re(z)/|z|, sin θ=Im(z)/|z|.

2. Propriétés de l'argument

Règles de calcul

arg(z·w) = arg(z) + arg(w) [mod 2π].

arg(z/w) = arg(z) - arg(w) [mod 2π].

arg(z̄) = -arg(z). arg(zⁿ) = n·arg(z). arg(-z)=arg(z)+π.

Exemples

z=1+i : |z|=√2, θ=π/4. Forme trig : √2(cos π/4+i sin π/4).

z=-√3+i : |z|=2, cos θ=-√3/2, sin θ=1/2 → θ=5π/6.

3. Multiplication et division en forme trigonométrique

Formules

z=r(cos α+i sin α), w=s(cos β+i sin β).

z·w = rs[cos(α+β)+i sin(α+β)].

z/w = (r/s)[cos(α-β)+i sin(α-β)].

Ces formules donnent immédiatement le module et l'argument du produit/quotient.

À retenir

Forme trig : z=r(cos θ+i sin θ), r=|z|, θ=arg(z)
cos θ=Re(z)/r, sin θ=Im(z)/r
arg(zw)=arg(z)+arg(w) ; arg(z/w)=arg(z)-arg(w)
arg(zⁿ)=n·arg(z) ; |zⁿ|=|z|ⁿ

Forme trigonométrique

● Facile

Écrire en forme trigonométrique : (1) z=1+i√3. (2) w=-2. (3) v=-i.

Correction

|z|=2, θ=π/3. 2(cos π/3+i sin π/3).
|w|=2, θ=π. 2(cos π+i sin π).
|v|=1, θ=-π/2. cos(-π/2)+i sin(-π/2).

Multiplication et argument

● Moyen

z=√2(cos π/4+i sin π/4), w=2(cos π/3+i sin π/3). (1) z·w en forme trig. (2) arg(z³).

Correction

|zw|=2√2, arg=π/4+π/3=7π/12. zw=2√2(cos 7π/12+i sin 7π/12).
3×π/4=3π/4.

Calcul d'argument

● Moyen

z=3(cos 2π/3+i sin 2π/3), w=2(cos π/6+i sin π/6). Calculer z/w en forme algébrique.

Correction

z/w=(3/2)(cos(2π/3-π/6)+i sin(π/2))=(3/2)(cos π/2+i sin π/2)=(3/2)(0+i)=3i/2.

Puissances

● Moyen

z=1+i. (1) Forme trig. (2) Calculer z⁸. (3) Calculer z¹² en forme algébrique.

Correction

√2(cos π/4+i sin π/4).
(√2)⁸(cos 8π/4+i sin 2π)=16(1+0)=16.
z¹²=(√2)¹²(cos 3π+i sin 3π)=64(-1+0)=-64.

Géométrie dans ℂ

● Difficile

Ensemble E={z : |z-1|=|z+1|}. (1) Donner E. (2) Ensemble F={z : |z-1|/|z+1|=2}.

Correction

|z-1|=|z+1|: z est équidistant de 1 et -1 → axe imaginaire (Re(z)=0).
|z-1|=2|z+1|. z=a+bi. (a-1)²+b²=4[(a+1)²+b²]. a²-2a+1+b²=4a²+8a+4+4b². 3a²+10a+3b²+3=0. Cercle de centre (-5/3;0) et rayon 4/3.

★

Problème de synthèse

● Niveau Bac

Soit z un complexe de module r et d'argument θ. On étudie la suite (zₙ) avec z₀=i et z_{n+1}=z_n·(1+i)/√2.

Module et argument de (1+i)/√2 : Calculer |(1+i)/√2| et arg((1+i)/√2).
Module de zₙ : Montrer |zₙ|=1 pour tout n.
Argument de zₙ : Exprimer arg(zₙ) en fonction de n.
Expression de zₙ : Écrire zₙ sous forme trigonométrique, puis algébrique.
Périodicité : La suite (zₙ) est-elle périodique ? Si oui, trouver la période.
Représentation : Les points zₙ se trouvent sur quel cercle ? Combien de positions distinctes ?

Correction du problème de synthèse

|(1+i)/√2|=√2/√2=1. arg=(1+i)/√2: cos=1/√2, sin=1/√2 → arg=π/4.
|z₀|=|i|=1. |z_{n+1}|=|zₙ|×|(1+i)/√2|=|zₙ|×1=|zₙ|. Par récurrence |zₙ|=1 ∀n.
arg(z₀)=π/2. arg(z_{n+1})=arg(zₙ)+π/4. Suite arithm. arg(zₙ)=π/2+nπ/4.
zₙ=cos(π/2+nπ/4)+i sin(π/2+nπ/4). z₀=i, z₁=(-1+i)/√2, z₂=-1, z₃=(-1-i)/√2, z₄=-i...
z_{n+8}: arg augmente de 8×π/4=2π → même valeur. Période 8.
Cercle unité (tous de module 1). 8 positions distinctes (sommets d'un octogone régulier).

QCM

10 questions

0Score

0/10Répondues

Q1/10

arg(1+i)=

Q2/10

z=2(cos π/3+i sin π/3). Re(z)=

Q3/10

arg(z·w)=

Q4/10

|-1+i√3|=

Q5/10

|zⁿ|=

Q6/10

arg(z̄)=

Q7/10

z=r(cos α+i sin α), w=s(cos β+i sin β). arg(z/w)=

Q8/10

arg(-z)=

Q9/10

z=1+i. z⁴=

Q10/10

Ensemble {z:|z|=1} est