Objectif Général 2 — Suites et fonctions numériques. Sens de variation, asymptotes, parité et méthode complète de tracé de la courbe représentative d'une fonction.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
• f est croissante sur I si pour tous x₁, x₂ de I : x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≤ f(x₂).
• f est décroissante sur I si pour tous x₁, x₂ de I : x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≥ f(x₂).
Soit f dérivable sur un intervalle I.
• Si f'(x) > 0 sur I (sauf en un nombre fini de points), alors f est strictement croissante sur I.
• Si f'(x) < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
• Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.
Étudier les variations de f(x) = x³ − 3x sur ℝ.
f'(x) s'annule en x = −1 et x = 1. Un trinôme du second degré est négatif entre ses racines et positif à l'extérieur, donc f'(x) > 0 sur (−∞,−1), f'(x) < 0 sur (−1,1), f'(x) > 0 sur (1,+∞).
f est donc croissante sur (−∞,−1], décroissante sur [−1,1], croissante sur [1,+∞). f(−1) = −1+3 = 2 (maximum local) ; f(1) = 1−3 = −2 (minimum local).
• Asymptote verticale : la droite x = a est asymptote verticale à la courbe de f si lim(x→a) f(x) = ±∞ (à gauche ou à droite de a).
• Asymptote horizontale : la droite y = b est asymptote horizontale si lim(x→+∞) f(x) = b ou lim(x→−∞) f(x) = b.
• Asymptote oblique : la droite y = ax + b (a ≠ 0) est asymptote oblique si lim(x→±∞) [f(x) − (ax+b)] = 0.
Pour f(x) = P(x)/Q(x), on effectue la division euclidienne : P(x) = Q(x)×(ax+b) + R, avec deg R < deg Q. On obtient f(x) = ax + b + R/Q(x). Comme R/Q(x) → 0 quand x→±∞, la droite y = ax+b est asymptote (oblique si a≠0, horizontale si a=0).
Étudier les asymptotes de f(x) = (x²+1)/(x−2), définie sur ℝ\{2}.
Quand x→2, le numérateur 5 ≠ 0 et le dénominateur → 0 : f(x) → ±∞, donc x = 2 est asymptote verticale. Quand x→±∞, 5/(x−2) → 0, donc y = x + 2 est asymptote oblique.
Soit f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à 0 (x∈D ⟹ −x∈D).
• f est paire si pour tout x∈D, f(−x) = f(x) : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• f est impaire si pour tout x∈D, f(−x) = −f(x) : la courbe est symétrique par rapport à l'origine O.
f(x) = x⁴ − 3x² + 1 : f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² + 1 = x⁴ − 3x² + 1 = f(x). Donc f est paire.
g(x) = x³ − x : g(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x = −(x³−x) = −g(x). Donc g est impaire.
Une fonction n'est pas nécessairement paire ou impaire : il suffit qu'une des deux égalités échoue en un seul point du domaine pour l'exclure.
Étudier f(x) = (x²−2x−3)/(x−1), domaine D_f = ℝ\{1}.
Asymptotes : x = 1 est asymptote verticale ; y = x−1 est asymptote oblique. Quand x→1⁻, f(x)→+∞ ; quand x→1⁺, f(x)→−∞.
Dérivée : f'(x) = 1 + 4/(x−1)², qui est toujours strictement positive (somme de 1 et d'un carré positif divisé par un carré positif). f est donc strictement croissante sur ]−∞,1[ et sur ]1,+∞[ : elle n'admet aucun extremum.
Points particuliers : f(x)=0 ⟺ x²−2x−3=0 ⟺ (x−3)(x+1)=0 ⟺ x=3 ou x=−1. f(0) = (0−0−3)/(0−1) = 3, la courbe passe par (0 ; 3).
Soit f(x) = −x² + 6x − 5, définie sur ℝ. Déterminer f'(x), étudier son signe, en déduire les variations de f et la valeur maximale de f.
f'(x) = −2x + 6 = −2(x − 3).
f'(x) > 0 ⟺ x < 3 ; f'(x) < 0 ⟺ x > 3.
f est croissante sur ]−∞ ; 3], décroissante sur [3 ; +∞[.
f(3) = −9 + 18 − 5 = 4 : c'est le maximum de f, atteint en x = 3.
Soit f(x) = (3x−1)/(x+2), domaine ℝ\{−2}. Déterminer les asymptotes verticale et horizontale de f.
Quand x→−2, le numérateur −7 ≠ 0 et le dénominateur → 0, donc x = −2 est asymptote verticale.
Quand x→±∞, −7/(x+2) → 0, donc y = 3 est asymptote horizontale.
Étudier la parité des fonctions suivantes, définies sur ℝ : p(x) = x² − 5 ; q(x) = x³ + 2x ; r(x) = x² − x.
Soit f(x) = (x²−x+1)/(x+1), domaine ℝ\{−1}. Déterminer les asymptotes de f.
Asymptote verticale : x = −1.
Comme 3/(x+1) → 0 quand x→±∞, asymptote oblique : y = x − 2.
Soit f(x) = (2x²−x+1)/(x−1), domaine ℝ\{1}. Déterminer les asymptotes, étudier les variations de f et préciser ses extrema locaux.
Asymptote verticale : x = 1. Asymptote oblique : y = 2x + 1.
Dérivée : f'(x) = 2 − 2/(x−1)² = 2[(x−1)² − 1] / (x−1)².
(x−1)² − 1 = 0 ⟺ (x−1)² = 1 ⟺ x = 0 ou x = 2. Ce facteur est négatif entre 0 et 2 (sauf en 1), positif à l'extérieur.
f est croissante sur ]−∞ ; 0], décroissante sur [0 ; 1[ et sur ]1 ; 2], croissante sur [2 ; +∞[.
f(0) = 1 + 2/(−1) = 1 − 2 = −1 : maximum local en x = 0.
f(2) = 5 + 2/1 = 7 : minimum local en x = 2.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors f est :
Pour f(x) = 1/(x−3), la droite d'équation x = 3 est :
L'asymptote horizontale de f(x) = (2x+1)/(x−4) en +∞ est :
La fonction f(x) = x² est :
La fonction g(x) = x³ est :
Si f(x) = x + 3 + 2/(x−1), l'asymptote oblique de f est :
Si f'(x) < 0 sur un intervalle I, alors f est :
Une fonction f admet une asymptote verticale x = a lorsque :
Si f est paire, sa courbe représentative est symétrique par rapport :
Pour f(x) = (x²+2)/x = x + 2/x, l'asymptote oblique en ±∞ est :
